2025届河南省高考数学适应性考试仿真模拟试题（附答案）

2025届河南省高考数学适应性考试仿真模拟试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.设集合4={A#2-5X+6>0},B={X\X-1<0},则{CiB=()

A.{x\x<1}B.{x|-2<x<1]

C.{x|-3<x<-1}D.[x\x>3}

2.已知(l-i)2z=3+2i,则z=()

3BT+3C-4+i

3.如图，在四面体048c中，04=a，OB=b^次=3点。为AC的中点，0E=^ED,则

BE=()

0

A

A.^-a-b+^-cB.^a-b+yc

121266

C.~a—/?+D.~a—b4-|c

JJ44

4.已知Sn为等差数列{%}的前n项和，且。4一。2=12,则2S6-3S4=()

A.24B.36C.48D.72

5.DNA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成.它看上去

就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合.在DNA中只有4种类型的

碱基，分别用小C、G和7表示，0N4中的碱基能够以任意顺序出现.两条链之间能形成氢键的

碱基或者是力一7，或者是C—G,不会出现其他的联系.因此，如果我们知道了两条链中一条链上

碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序.如图所示为一条DM4单链模型示意图,

现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A,2个碱基G和1个碱基7\则不同的插入

方式的种数为()

•••AGGATCGG-

A.20B.40C.60D.120

6.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数

据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

7.已知定义在R上的函数/(%)满足/(x)=1-/(I-x),若函数y=与函数y=/(%)的图象

的交点为(打,力)，(％2i2)，…，(“2025，，2025)，则(修+%)=()

B等6075

A.0C.2025D.—

8.已知过抛物线C：y2=2Px(p>0)的焦点F且倾斜角为:的直线交C于4,B两点,M是的

中点，点P是。上一点，若点M的纵坐标为1,直线，：3%+2y+3=0,则P到C的准线的距

离与P到1的距离之和的最小值为()

<3<13宜5>H3厂3<13门9713

A-B-C—D'—

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/(x)=sin(2x+巧+cos(2x+巧，则()

44

A.函数为偶函数

B.曲线y=/(%)的对称轴为％=k?r,kEZ

C./(x)在区间《3)单调递增

DJQ)的最小值为一2

10.函数/(x)=炉-3x2+bx+c(b<0,ceR)的图象可能是()

11.已知集合M=/(<)},若对于任意实数对(々Ji)€M,存在(42，丫2)€时，使

与七+yiy2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的

是()

A.M={(x,y)|y=十}B.M={(%y)|y=sinx4-1)

C.M={(x,y)|y=2*-2}D.M={(x,y)|y=log2x}

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知(:。$(。-9=/则sin(2a-看)=.

13,设0为坐标原点，力为椭圆E：3+/=l(a>b>0)的上顶点，点B在E上，线段48交4

轴于点M若乙1OB=135。，且18Ml=则E的离心率等于

14.已知三极锥P—48C的顶点P,A,B,C均在半径为2的球面上，P4_L平面48C,AB1AC,

PA=2,则二面角P-8C-4的正切值最小为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,(sinA+sinB)(a-b)=c­(sinC-sinB),a=2/7,

PUABC的面积为6c.

⑴求4

(2)求△48C的周长.

16.(本小题15分)

某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对

话.聊天机器人的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，如果输入的问题没

有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%,当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%.

(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4

个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望；

(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p,若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%,求p的值.

17.(木小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，把个图形绕定点G旋转•个定角。的图形变换叫作旋转变换.定点

G叫作旋转中心，定角6叫作旋转角(规定逆时针方向为正).如果图形上的点P(x,y)经过旋转变为点

P'(My')，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点.现将曲线xy=m(m丰0)绕G顺时针旋转*

后,得到新曲线E,其变换关系为匕=，的公”吗，点几在曲线后上

(y=xsinG+ycosO

(1)求曲线E的方程并确定点G的位置；

(2)点Pi的坐标为(1,0),按照如下方式依次构造点Pn(7i=2,3,...)：过点乙_1作斜率为2的直线交E

于另一点Q-1，设P”是点Q“_1关于X轴的对称点.记Pn的坐标为I%"外).

(i)求数列｛%n+%｝的前n项和5”；

(ii)记M为直线P/n+2与直线Q/n+l的交点，N为直线P1Q”与直线Q“+IP”+2的交点，R为直线

MN与直线Pn+1Q“+1的交点，证明：R在定直线上.

18.(本小题17分)

如图，四棱锥P-48。。的底面为正方形，^PAB=60°,APAD=45O,且4P=24B=2.

(1)求证：平面/1BP1平面BCP.

(2)若所=〃荏(〃>0),且三棱锥Q-BCP的体积是四棱锥P-ABCD体积的一半.

⑴求点C到平面APQ的距离：

(ii)求平面APQ与平面BCQ夹角的余弦值.

19.(本小题15分)

已知函数/'(%)=abix—X—1,aER.

(1)讨论/'(x)的单调性；

(2)n为正整数，当Q=1时，曲线y=f(x)在点5/(72)处的切线记为4,直线，与y轴交点的

纵坐标记为力,证明：yi+丫2+丫3+…十%工吧产•

答案和解析

1.【正确答案】4

【分析】

本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，涉及到不等式的求解，属于基础题.

根据题意，求出集合48,由交集的定义计算可得答案.

解：根据题意，4={x|%2-5x+6>0}={x|x>3或％V2},

R=(x\x-1<0}=[x\x<1},

则从AB={M%V1),

故选：A.

2.【正确答案】B

【分析】

本题考查复数的运算，是基础题型.

根据复数的运算法则即可求得答案.

解：由(l-i)2z=3+2i,得2=泻=写=-1+、，

故选B.

3.【正确答案】B

【分析】

本题考查空间向量的线性运算，属于基础题.

根据空间向量的线性运算求解即可.

解：•.•赤=河，

二

OE=-3OD,

.♦•屁=丽+丽=一而+\OD=一而+：x：(而+说)=为-3+；乙

33266

故选：B.

4.【正确答案】D

解：设等差数列{册}的公差为d,则Q4-Q2=2d=12,

所以d=6,

贝I]2s6-3S4=2(6°i+^d)-3(4%+等d)=30d-18d=12d=72.

故选：D.

5.【正确答案】C

【分析】

本题考查乘法计数原理和组合数的应用，属于基础题.

分三步，利用计数原理即可求解.

解：总共需要插入6个碱基，所以先选出3个位置放碱基人有1种；

再选2个位置放碱基G,有玛种；

剩下一个位置放碱基7,有C；种；

所以一共有磴04=60种:

故选：C.

6.【正确答案】C

【分析】

本题考查了频率分布直方图的应，书，属于中档题.

利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项A,B,D,利用平均值的计

算方法，即可判断选项C.

解：对于力，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为(0.02+0.04)x1=0.06=6%,故

选项A正确：

对于B,该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.04+0.02x3)x1=0.1=10%,

故选项B正确：

对于C,估计该地农户家庭年收入的平均值为3x0.02+4x0.04+5x0.1+6x0.14+7x0.2+

8x0.2+9x0.14-10x0.1+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68>6.5万元，

故选项C错误：

对于。，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.1+0.14+0.2+0.2)x1=0.64>

0.5,

故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确.

故选：C.

7.【正确答案】C

【分析】

本题考查了函数的性质、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

函数f(x)满足f(x)=1-〃1一©，可得函数f(x)的图象关于点(；,；)中心对称，函数、=总

乙乙4十/

的图象关于点以鼻)中心对称.根据对称性即可得出答案.

解：v/(x)=1-7(1-x),g(x)=

。(无)+9(1-乃二高+岳=昼+/=1,

二函数f(x)、9。)的图象关于点G，力中心对称，/(1)=1=

二两函数的图象交点成对出现，每一对都关于点《看)对称,

且点(；/)在函数/(%)、g(x)的图象上，

£誉5勺=1X1012+；等，£普为=1X1012+g=拳,

所以瑞"々+%)=蹬9+蹬吃=2025.

故选C.

8.【正确答案】D

【分析】

本题考直了直线与抛物线的位置关系及其应用，属丁中档题.

首先联立48与抛物线方程，结合己知、韦达定理求得p,进一步通过抛物线定义、三角形三边

关系即可求解，注意检验等号成立的条件.

解：由题得C的焦点为F《,0)，设倾斜角为抽直线48的方程为y=%T，

设力(41，为)，B(孙乃)，

.(y=x-^

联立方程12,化简得：y2—Zpy-p2=0,A=4p2+4p2>0,

ly2=2px

则yi+，2=2p=2,p=l,故C的方程为V=2x,F(g,0),

由抛物线定义可知，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,

联立方程+3=0，化简得：9x2+10x+9=0,

由△=100-4x9x9=-224<0得。与1相离，

如图，Q,S,R分别是过点P向准线、直线/：3x+2y+3=0以及过点户向直线2：3x+2y+3=0

引垂线的垂足，连接FP,FS,

所以点P到C的准线的距离与点P到直线I的距离之和|PQ|+\PS\=\PF\+\PS\>|FS|>\FR\,

当且仅当点P为线段FR与抛物线的交点时等号成立，

所以0到C的准线的距离与P到I的距离之和的最小值为点F弓,0）到直线/：3x+2y+3=0的

距离，即|广川=单空!=史亘.

1171^26

故选：D.

9.【正确答案】AC

【分析】

本题主要考杳了判断正弦型函数的单调性或求解单调区间、求正弦型函数的值域或最值、求正弦

（型）函数的对称轴、正弦型函数的奇偶性，属于中档题.

化简函数解析式，结合正弦函数的奇偶性、单调性、对称性、三角函数的最值逐项判断即可求解.

解：f(x)=sin(2x+；)+cos(2x+：)

r—3nn

=y/2sin(2x+—+-)

=—\flsin2x,

对于4f(x-=-y[2sin2(_x-^)=>l~2cos2x,则/'(》-*)为偶函数，故A正确：

对于B,由2%=]+k7r,keZ,piijx=^+17r,keZ,即/(%)对称轴％=彳+^V，keZ,故B

错误:

对于C,住弓<%<得?<2x<n,

由于正弦函数在(gn)上单调递减，

所以"乃在弓卷)单调递增，故C正确；

对于D,当s出2x=l时，/。)取到最小值，最小值为一42故D错误.

故选AC.

10.【正确答案】BD

【分析】

本题考查了函数图象的识别和利，书导数研究极值，是基础题.

利用导数研究极值点可得结论.

解：因为/(%)=炉一3炉+6%+C,

所以/''(%)=3必—6%+小

由bV0知，

△=(-6)2-4x3xb=36-12b>0,

即/'(")一定有两个不等的变号零点，设为％1，x2»不妨取勺<文2，

所以必+x2=2>0f

Xix2=1<0,

所以无］<0V%2，且W1IVMl，

故/(幻有两个极值点，其中左极值点为负，右极值点为正，

且左极值点比右极值点离y轴的距离更近，

对比选项可知，B和。符合题意.

故选：BD.

11.【正确答案】ABC

【分析】

本题主要以集合新定义为载体，考查指对密函数以及三角函数图象的点集，属于较难题.

根据新定义，数形结合逐一分析各选项即可.

解：选项A,任取（力,力）wM,则力=能，取%2=一;，

故勺汹+力及=M（_；）+靛=勺•（—一+土吊=0,

所以存在这样的32=一口变得勺应+yi72=0成无，选项A正确；

*1

选项B:任取点4（%”%）eM,取点B（x2,y2）WM,

V户2+y^yz=0表示的几何意义是。＜1OB,

即对曲线每一个点与原点构成的直线。4,与之垂直的直线。8与曲线都存在交点，如图,

当点A运动时直线与曲线y=sinx+1均有交点，故选项B是正确的；

选项C:任取点力（孙力）€M，取点伙》242）€M,

xxx2+y02=0表示的几何意义是。力1。8,

即对曲线每一个点与原点构成的直线。4与之垂直的直线。8与曲线都存在交点，如图,

当点4运动时，直线。8与曲线y=2*-2均有交点，选项C是正确的；

0

选项D:在函数y=log2x上取点［1,0）时,若存在（如y?）使得%1%2+XiXz=成立，

则1•M+o•y2=o，

则一定有3=0,不满足函数的定义域，

故不能满足题意中的任意一点这一条件，选项D不正确；

故选：ABC.

12.【正确答案】一^

【分析】

本题考查诱导公式，以及二倍角余弦公式，是基础题.

利用诱导公式以及二倍角的余弦化简求解即可.

解：cos(a-g)=g

7T

sin(2a--)

6

=sin[2(a_g)+g]

n

=cos2(a--)

=2cos2(a--)-1

1,

=2x(-)2-l

J

7

9,

故答案为-g.

13.【正确答案】今

解：如图：

设Bg%),M(t,0).

过8作80J.X轴，交x轴于0,则△AOMs^BDM,因此鼠二制.

因嘴M=鼠，而力(。，以所以空/

因为Z40B=135°,因此粤=1,即|%|=%|=口.

M0I5

因为点8在E上，所以塔+竺=1,即匕2=白02,因此由。2=廿+°2得C2=£Q2,

25a2251616

所以椭圆£1的离心率e=£=C.

a4

故先

4

14.【正确答案】第

【分析】

本题考查二面角的求解，属于较难题.

设三楼锥的外接球的半径为R,MB|=a,|<。=从根据条件，将三极锥P-71B。放

置到长方体中，从而可得Q2+/=i2,过4作4。_LBC交8c于。，根据条件可得到乙P。力为

二面角P—8C—4的平面角，从而有£曲乙。》4=粤，再利用基本不等式，即可求解.

解：由题意，三棱锥P-4BC的顶点P,A,B,C均在半径为2的球面上，且PA1平面Z1BC,

且481/1C,可将三棱锥P-4BC放置到如图所示的长方体中，如图：

设三棱锥P-4BC的外接球的半径为R,|力用=跖|AC|=b,

因为PA_L平面4BC,PA=2,flAB1.AC,

由长方体的性质知R=\AP\2+\AB\2+\AC\2=1V4+a2+/?2,

又R=2,得到次+/=i2,所以|BC|=2V，,

过4作J.8C交8ct于D,连接PD,

因为P41平面4BC,8Cu平面,48C,所以PA18C,

又4018C,PAC\AD=A,PA,ADcYffiPAD,所以8cl平直PAO,

因为PDu平面PAD,所以8C_LP。，所以4P/M为二面角P-8C-4的平面角,

又由12=a?+/工2ab,得abW6,当且仅当Q=b=V~^时，等号成立，

所以|4叫=雷=号式泵=门，

则tanz.PDA=>4==却二面角P—BC—A的正切值最小为

\AD\V333

15.【正确答案】解：(1)(sin4+sin8)(a—b)=c•(sinC-sin8),

二由正弦定理可得，(Q+b)(Q-b)=(c-b)c,化简可得，b2+c2-a2=be,

由余弦定理可得，cosA==1,

。二2：bc-。2

,­0<A<n,

二4=全

(2)va=2\f7,4=3，△RBC的面积为6>/3=:besinA=Jxfxbe.

•••解得：be=24,

由余弦定理层=b2+c2-2bccos4可得:28=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-72,

解得：(b+c)2=100,解得：b+c=10,

•••△ABC的周长Q+b+c=10+2/7.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能

力和转化思想，属于基础题.

(1)由已知结合正弦定理可得，b2+c2-a2=be,然后结合余弦定理可求cos4进而可求人

(2)由已知根据三角形面积公式可求be的值，根据余弦定理可求b+c的值，即可得解三角形的

周长.

16.【正确答案】解：(1)由题可知X的所有取值为1,2,3,4,

P(X=D=等％$

P(X=2)=等若=*

P(X=3)噌若吗

P(X=4)=等*/

所以X的分布列：

X1234

1331

p

147714

则E(X)=1x-^+2x1+3x14-4x^=1：

147714L

(2)记“输入的问题没有语法错误”为事件4,记“输入的问题有语法错误”为事件B,

记“回答被采纳”为事件C,

由已知得，P(C)=0.7,P(C|4)=0.8,P(C|B)=0.4,P(B)=p,P(/l)=l-p,

所以由全概率公式得P(C)=P(4)•P(C\A)+P(8)•P(C|B)=0.8(1-p)+0.4p=0.8-0.4p=

0.7,

解得p=0.25.

本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，概率的求法，属于中档题.

(1月的所有取值为1，2,3,4,求出对应的概率，可得分布列及数学期望；

(2)由全概率公式表示出回答被采纳的概率，结合已知可得关于p的方程，解方程即可得解.

，=三X+匹(/-/t

“一1了,即信：；7，

｛y-2%+2,

y')(x'+y')=2xy=2m,故曲线方程为d一y?=2m,

•・•点(J21)在曲线上，故曲线方程为无2-y2=1,

由对称性可知，点G为坐标原点O^

(x^-y2=]

(2)(1)由题意得，2_1，得(a-4+1)(4+%n+l)=(%-+%+1)①，

lXn+l-、n+lT

又・••直线4Q”的斜率为2且尸式小,%)，QK&+1，-%+1)，二%+%+1=Z&-Xn+1)②，

将②代入①中，得a+&+1=2(yn-yn+1)③，

将②和③相加，得3(xn+1+yn+1)=%”+yn,从而见誓=1,｛Xn+y”｝是首项为1,公比

%十%J

为的勺等比数列,

•・0=誓="；

(ii)点/?在定直线％=1上，证明如下:

•••冬+18+1%+1)，Qn+l(Xn+2,-yn+2),

二直线Pn+lQn+1的方程为:

一｝'"+2-〉'”+1

y-%+1(x-x),

*n+2-*n+ln+1

Xn+2++1+Xn+1%+2-yn+L%+2

令x=1,得y=

^-n+2-^n-1

•・•直线匕乙+2的方程为y=-7(X—1)，直线的方程为X=xn+1，

(X=+1

联立y=

I0+2・1

解得M(小+I，3”产).

孙+2-1

•・•直线PlQn的方程为y=1),直线。计/"2的方程为％=4+2,

孙+1-1

联立。=至（％_D，解得NI^+2,呼三『）

V%+LIn+1

)%”(I.+2)%+2@什1-】)

•••直线MN的方程为y-2?="+厂|-(%_Xn+i)t

。+2-1*>«+2-0+1

令X=1,得^=01+2>^+1+。1+1>^+2-3巾+1一)’1+2

xn-¥2^xn-l

二直线L+lQn+l与直线MN的交点坐标为（1,3型业汕也"&±口坦）,

41+2-Xjt+】

故点R在定直线4=1上.

详细解答和解析过程见【正确答案】

18.【正确答案】解：（1）在ABP中,COSNP/1B='+I丁>=；,得|P8|=C，

则|4砰+呼|2=|明2,即4818P,

因为四边形力8c。为正方形，则A81BC,

又因8Pn8C=8,BPcYffiBCPf8Cu平面8CP,则48_L平面8CP,

又因ABu面ABP,则平面48P1平面BCP；

(2)(i)以。点为坐标原点，DA.DC分别为％、y轴，过点D且垂直于平面ABC”的苴线为z釉,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则0(000),4(1,0,0),8(1,1,0),。(0.1,0),

设P(a,b,c),则湘