2024高考数学二轮复习专题练四考前冲刺高分考前冲刺四考前回归教材成功赢得高考含解析

考前冲刺四考前回来教材，胜利赢得高考

解决“会而不对，对而不全”问题是确定高考成败的关键，高考数学考试中出现错误的缘由

许多，其中错解类型主要有：学问性错误、审题或忽视隐含条件错误、运算错误、数学思想

方法运用错误、逻辑性错误、忽视等价性变形错误等.下面我们分几个主要专题对易错的学问

点和典型问题进行剖析，为你提个醒，力争做到“会而两，对而全

I回扣溯源I者缺补漏扣要点防失误

回扣一集合、复数与常用逻辑用语

1.描述法表示集合时，肯定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{My=igk—

函数的定义域；{)tv=lgx}----函数的值域；{(x,y)ly=lg-v)----函数图象上的点集.

［回扣问题1］已知集合N={书+91},则MPN=()

A.0B.{(4,0),(3,())}

C.L3,31D.［-4,4］

解析由曲线方程，知M=b诲Wl}=［—4,4］,

又2={5『+1=|}=&，MnN=L4,4］,

答案D

2.遇到AnB=0时，需留意到“极端”状况：4=0或B=。；同样在应用条件

=A=AGB时，不要忽视4=。的状况.

［回扣问题2］已知集合人={.小<-3或x>7},8={x|m+lWxW2加一1},若BGA,则实数〃?

的取值范围是.

阳+1W2〃L1,"?+1W2H;-1,

解析当8=。时，有〃?+1>2加-1,则〃?V2.当BW。时，有或，,

2〃?一1<一3ZH+1>7,

解得〃?>6.综上可知，实数机的取值范围是(一8,2)U(6,+8).

答案(一8,2)u(6,+8)

3.留意数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算,

求解时要特殊留意端点值的取舍.

［回扣问题3］设集合4=国一1«2},8={也<4},若AC18W。，则。的取值范围是()

A.(—1,2JB.(2,4-oo)

C.［-L+8)D.(—1,+8)

解析因为AGBW。，所以集合4,8有公共元素，利用数轴可知。>—1.

答案D

4以数z为纯虚数的充要条件是〃=0且b^O(z=a+bi(a,北R)).还要留意奇妙运用参数问题

和合理消参的技巧.

［回扣问题4］设i为虚数单位，2=2+於9，则归|=()

A.lB.^TOC.巾D.手

5.复平面内，复数z=a+历3,力£R)对应的点为Z(m不是Z(mbi)；当且仅当O为坐标

原点时，向量而与点Z对应的复数相同.

［回扣问题5］在复平面内，复数z=N誓的共知复数;对应的点位于()

A.第一象限B.其次象限

C.第三象限D.第四象限

解析=l-i,所以；=l+i,故Z在复平面内对应的点为

(1,1),在第一象限.

答案A

6.对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.“A的充分不必要条件是B”说

明“B是条件”且8推出A,但A不能推出8,而“A是B的充分不必要条件”表明“八是条

件”，A能推出B,但B不能推出A.

［logzX，A>0»

［回扣问题6］函数凡r)=1八有且只有一个零点的一个充分不必要条件是()

［―2+。，xWO,

A.aVOB.0<a<!

C^<a<\口.4<0或。>1

解析因为函数yu)的图象恒过点(i,0),所以函数人0有且只有一个零点=函数>，=-2'+

a（xWO）没有零点=函数y=2x（xW0）的图象与直线无交点.数形结合可得aWO或即

函数7U）有且只有一个零点的充要条件是aWO或。＞1.分析选项知，“aVO”是函数有且只有

一个零点的充分不必要条件.

答案A

7.存在性或恒成立问题求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想.

［回扣问题7］若二次函数凡0=4«—2（〃一2以一2〃2—〃+1在区间［-1,I］内至少存在一人值c,

使得次c）＞0，则实数〃的取值范围为.

解析假如在［-1,1］内没有值满意;UAO,

(/(-I)WO,依一聂p21,

3

-

则「=〈2

r(1)wov->3

z3

^-

取补集,\2

答案（-3,D

回扣二函数与导数

1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式（组）求解，如

开偶次方根，被开方数肯定是非负数；分式中分母不为0;对数式中的真数是正数；列不等式

时，应列出全部的不等式，不应遗漏.

［回扣问题1］函数/U）=lg（l—x）+Y3x+l的定义域是.

1-A>0,

解析由题意，得

3x+120,

1

答案一？

2.分段函数求解时，要尽量避开探讨；若不能避开分类探讨，分类时肯定要理清层次，做到不

重不漏.

［4,xWO,

［回扣问题2］设函数凡丫）=、人则满意不等式人『一6）刁"）的工的取值范围是

—4*+5,%＞0,

()

A.(—2»3)B.(—8,-2)U(V6,+8)

C.(一8,一佝u(#,+oo)D.(—8,-A/6)U(3,+8)

解析易知当£＞0时，函数人》=-4「+5是单调递增函数，且次＞）＞4：当xWO时,儿r）=

x>0,启0,

4.由人"-6)＞人幻，得或2解得X＞3或xV一%，所以X的取值范围是(一

X2-6>X

00,—A/6)U(3,+°°).

答案D

3.定义域必需关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶性时，务必先

判定函数定义域是否关乎原点对♦称.

10(1—P)

［回扣问题3］函数的奇偶性是_______.

解析由I一片＞0且以一2|-2X(),知儿v)的定义域为(一1,O)U(O,I),关于原点对称，则府)

1g(1—x2)

—x'

rlg(1—X1)

又大一%)=r=一九1)，

:.函数贝X)为奇函数.

答案奇函数

4.记住周期函数的几个结论：

由周期函数的定义“函数_/u)满意yu)=Aa+x)s＞。)，则」心)是周期为。的周期函数”得：

(1)函数7U)满意_/(a+x)=—/U),则7U)是周期T=2a的周期函数；

(2)若/U+a)=/(［)(aWO)成立,则T=2a：

⑶若於+〃)=—/(；)(aHO)成立,则T=2a；

(4)若於+0=於一〃)3=0)成立，则T=2a.

［回扣问题4］已知定义在R上的函数段)，若危)是奇函数，於+1)为偶函数，当OqW1时，

儿0=/，则＜2021)=()

A.-lB.lC.OD.20192

解析因为yu+l)是偶函数，所以4r+1)=/(—%+1),则人-x)=/U+2).又儿0是奇函数，所

以大-x)=-/U)，所以火入斗2)=—/5),所以＜x+4)=—,依+2)=凡1),所以函数7U)是以4为

周期的周期函数，又当OWxWl时，/U)=f,所以＜2O21)=A4X5O5+1)=_/(1)=1.

答案B

5.理清函数奇偶性的性质.

(1)/U)是偶函数=八一x)=41)=人因)：

(2VU)是奇函数一1)=一/U)：

(3)定义域含0的奇函数满意直0)=0.

/一千，0<xW4,

［回扣问题5］已知函数/?(x)(xWO)为偶函数，且当x>0时,力。)=14若〃(/)>力⑵,

［4—2x,x>4,

则实数/的取值范围为.

f—T，0〈xW4,

解析因为当人>0时，/G)=j4

1.4—lx,r>4.

所以函数力(x)在(0,+8)上单调递减，

因为函数〃(x)aW0)为偶函数，且h(t)>h(2),

所以〃皿)>版2),所以0v*2,

MO,M0,

所以即

m<2,—2<r<2,

解得一2y<0或0</<2.

综上，所求实数/的取值范围为(一2,0)U(0,2).

答案(一2,0)U(0,2)

6.图象变换的几个留意点.

⑴弄清平移变换的方向与单位长度.

(2)区分翻折变换:人。一孤工)|与人丫)一川工|).

(3)两个函数图象关于直线或关于某点的对称.

［回扣问题6］若函数儿r)=4'3>0且aXl)在R上为减函数，则函数y=log«(k|—1)的图象可

以是()

解析由于火幻=优(a>0,aW1)在R上为减函数，则0<“<1.又1>0,得Q1或xv—1.当x>l

时，y=k>g”(x—1)是减函数，易知D正确.

答案D

7.精确理解基本初等函数的定义和性质.避开探讨函数），=必3＞0,aWl）的单调性忽视对字母。

的取值探讨或忽视Q0,对数函数），=lo&x（a＞。，忽视真数与底数的限制条件等错误的

出现.

I回扣问题7］若函数«r）=a'—1伍＞0且。#1）的定义域和值域都是［0,2］,则实数〃的值为

解析当0＜a＜］时，fix）=ax-I在［0,2］上单调递减，

故於）max=/（O）=a°—1=0.

这与已知条件函数./U）的值域是［0,2］相冲突.

当。＞1时，凡6="-1在［0,2］上单调递增，

又函数«丫）的定义域和值域都是［0,2］.

f（0）=0,

所以《/（2）=〃2—1=2,解得。=小，所以实数〃的值为小.

1«>1,

答案小

8.割裂图象与性质解题时致误，解有关抽象函数的问题时要抓住两点：一是会推断抽象函数的

性质，常需推断其奇偶性、周期性与图象的对•称性，为面函数的图象做打算：二是在面函数

图象时，切忌顺手一画，留意“草图不草”，画图时应留意基本初等函数图象与性质的应用.

［回扣问题8］已知函数人幻是定义在R上的偶函数，且对随意的x£R，7U+2）=/U）,当OWiWl

时，./U）=f,若直线），=x+a与函数火x）的图象在［0,2］内恰有两个不同的公共点，则实数。

的值是（）

A.OB.0或;

（2.-；或一；口.0或一；

解析因为对随意的x£R,7U+2）=/（x）,

所以函数_/u）是以2为周期的周期函数，

画出函数./(x)在［0,2］上的图象与直线)，=x+“，如图.

由图知，直线y=x+a与函数./U)的图象在区间［0,2］内恰有两个不同的公共点时，直线y=x

+。经过点(1,1)或与_/U)=f的图象相切于点A,

由l=l+a,解得a=0；

由f=x+a得x2—x—。=0,所以/=1+4〃=0,解得〃=一；.

综上所述，实数。的值是。或一".

答案D

9.易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端

点值进行精确互化.

［回扣问题9］若函数/*)=如一由4一1有零点，则实数”的取值范围是.

解析令J(x)=ar—Inx—1=0,贝Ua=-~~(x>0),

、nlnx+1…-Inx

设g(x)=~■一，则g'(x)=~，

由g'(x)=0,得x=l.

当x£(0,I)时，g")>0,g(.i)单调递增，

当x£(l,+8)时，g，(x)vO,g(x)单调递减,

・・・g(x)nm=g(l)=l,则aWL

答案(一8,1］

10.混淆y=/")的图象在某点(xo，光)处的切线与y=凡丫)过某点(xo，yo)的切线，导致求解失误.

I回扣问题10J函数“r)=J—25•的图象在x=l处的切线方程为.

/I

解析由25，得/a)=e-c—b.・7/U)=—l,/(l)=o,故/(x)在X=1处的切线方

程为y=—i.

答案j=-1

11.混淆“极值”与“最值”.函数的极值是通过比较极值点旁边的函数值得到的，它不肯定是

最值，而函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得到的，可能在极值点处取得，也可

能在区间端点处取得.

［回扣问题ill已知定义在R上的函数y(x),其导函数/(*)的大致图象如图所示，则下列叙述

正确的是()

②函数贝x)在x=c处取得微小值，在工=e处取得极大值；

③函数人外在x=c处取得极大值，在x=e处取得微小值；④函数人。的最小值为1d).

A.③B.①@C.③④D.①®

解析依据图象知，当xWc时，人%)20.所以函数/5)在(-8,c］上单调递增.又aV/2Vc,所

以大〃)<火切<_/('),故①不正确.因为/(c)=0,/(e)=0,且xVc时，/(x)>0；c〈x〈e时，/(x)

<0；£>e时，/(x)>0.所以函数1/U)在x=c处取得极大值，在x=e处取得微小值，故②错误，

③正确.当dWxWe时，，(x〕W0,所以函数/U)在［d,e］上单调递减，从而所以④不

正确.综上所述，叙述正确的是③.

答案A

12.混淆”函数的单调区间”与“函数在区间上单调”.

(I)若函数人外在区间。上单调递减，则/(x)W0在区间。上恒成立(且不恒等于0),若函数人工)

在区间D上单调递增，则y(x)20在区间D上恒成立(且不恒等于0)；

(2)利用导数：求函数7U)的单调递减区间的方法是解不等式/(x)V0,求函数_/U)的单调递增区

间的方法是解不等式/。)>0.解题时肯定要弄清题意，勿因“=”出错.

［回扣问题12］已知函数/(x)=aln工+//+3+1>+1.

(I)当。=-1时，求函数7U)的单调递增区间;

(2)若函数7U)在(0,+8)上单调递增，求实数”的取值范围.

解(1)当a=-1时，fix)=—\nx+2^4-l(x>0),

..1,(x+1)(x—1)y(X)>0,

r由

则/(A-)=-人-+X=----------A----------U>0.

解得1.所以函数4r)的单调递增区间为(1,+8).

(2)因为y(x)=Hnx+*+(〃+1)x+1,

sia,,1f+(a+l)x+a(x+1)(工+。)

所以/(x)=；+x+〃+1=--------：-------=--------7------

人人人

又函数7(x)=alnx+52+g+l)x+1在(0,+8)上单调递增，

所以/(X)—。对随意的x£(O,+8)恒成立,

贝i」x+aeO对随意x£(0,+8)恒成立，所以o20.

故实数。的取值范围是［0,+8).

13.对于可导函数y=fix),误以为/(xo)=0是函数)，=八)在x=M)处有极值的充分条件.

［回扣问题13］已知函数负幻=.户+加+以+/在x=1处有极值10,则.*2)等于()

A.11或18B.1I

C.I8D.17或18

解析•・•函数/5)=丁+&/+云+〃2在x=l处有极值10,又八幻=3/+2依+匕，/./(!)=10,

且/⑴=0,

1+a+/?4-a2=10,(〃=—3,a=4,

即解得或

[3+2〃+方=0,必=3h=-ll.

a——3,

而当Lc时，函数在x=i处无极值，故舍去.

仍=3

・\/(戈)=丁+4/—15+16,・\/(2)=18.

答案C

回扣三三角函数与平面对量

1.三角函数值是一个比值，是实数，这个实数的大小和点P(x,y)在终边上的位置无关，只由

角的终边位置确定.

［回扣问题1］己知角。的终边为射线y=2x(x>0),贝i］cos2a+cosa=.

解析：a的终边为射线y=2x(x20),

不妨在射线上取点P(l,2),则cosa=t，

1+4=巾-3

:.cos2a+cosa=2cos2a—I+cosa=2X飞5•

答案殍

2.求三角函数值易忽视角的范围.对于角的范围限定可从以下两个方面考虑：①题目给定的角

的范围；②利用给定的各个三角函数值来限定，如由三角函数值的正负可挖掘角的范围，也

可借助特殊角的三角函数值和函数的单调性来确定角的范围，留意应尽量使角的范围精准，

避开产生增根.

［回扣问题2］设a为锐角，若cos(a+§=-;，则sin(2a+间的值为()

7g一8

A

-25B.18

J7A/2D.罕或罕

C.

50

解析因为a为锐角，所以0V”W，«7<a+z<T.

乙UUD

1入行4、历〜

设/?=Q+》由cos1Q,得sin4=-.sin2夕=2sin0cos6=一―^~,cos2夕=2cos.

I=—所以sin（2a+$）=sin（2a+1-j）=sin（2//—£）=sin20cosj-cos2^sinj=7^g

答案B

3.求函数/U）=Asin3>x+0）的单调区间时，要留意A与口的符号，当s<0时，需把s的符号

化为正值后再求解.

［回扣问题引函数产sin传一2x）的单调递减区间是.

号），令2&儿一3WZi—,W2&〃+今，&WZ,得版一盍书I,女£Z.

解析＞=—sii

答案［hr—有E+\（AWZ）

4.求三角函数周期错用对称中心与对称轴.因而求三角函数周期需驾驭下面结论：

①若对称中心到相邻对称轴之间的距离为d,则周期7=44②若相邻两条对称轴之间的距离

为小,则周期丁=24；③若相邻两对称中心之间的距离为办，则周期丁=2必；④若相邻的两

个最高点（或最低点）之间的距离为为，则T=di.

［回扣问题4］已知函数危）=Asin（5+9）（A>0,（y>0,［切<与）的图象的一个对■称中心到相

邻对称轴的距离峙且图象上有一个最低点蝙，一3）.则危尸.

解析由函数7U）的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为?可知函数«r）的最小正周期

为丁=4义今=兀，所以口=普=2.又函数启）图象上有一个最低点M修，一3）,|夕|<宏所以A

=3,2X普+e=4+2E（A£Z）,即0=2E+］（kWZ）.由刚〈冬得夕=今故7（x）=3sin（2x+W）.

答案3sin（2x+5）

5.三角函数图象变换中，留意由），=sincox的图象变换得到），=sin（sx+9）的图象时，平移量为

会|，而不是夕，另外要弄清晰平移的方向.

I回扣问题5］设s>0,函数），=2<：031”+?）的图象向右平移楙个单位长度后与函数），=

2sin(s+5)的图象重合，则①的最小值是()

A.1B.|C.|D.1

解析将函数y=2cos(k垮)的图象向右平移g个单位长度，得>=2cos[cG—5+方=

2cos(s+5一?，的图象，由已知得y=2cos(3x+F一去，的图象与y=2sin(ftzr一=

2sin(sx一言+?=2cos(3一带)的图象重合，

则⑦x+三一%>=2E+cox-解得①=J—10”,A£Z.又①>0,所以①的最小值为不

JJ1V/44

答案C

6.已知三角形两边及•边对角，利用正弦定理解三角形时，留意解的个数探讨，可能有。解、

两解或无解.并谨记在△A8C中,4>3=sinA>sinB.

[回扣问题6]在△A4。中，内角A,B,。的对功分别为小b,c,若〃sinbcosC+csinBcosA

=*,且a>b,贝I」8=()

兀兀2n5兀

A.T6B.3TC.3-rD.6L

解析由asin4cosC+csinBcosA=^b及正弦定理，可得sinAsin8cosC+sinC

sinBcosA=zsinB,即sin8(sinAcosC+sinCeosA)=xsinB,则sinBsin(A+C)=zsin3,因为

sin8W0,所以sin(A+C)=；,即sin.因为所以A>B,可知8为锐角，故8=看.

答案A

7.混淆向量共线与垂直的坐标表示.向量共线与向量垂直的坐标表示是两个极易混淆的运算，

其运算口诀可表达为“平行交叉减，垂直依次加”，即对于非零向量〃=(片，》)，6=8,儿)，

a//b<^>x\y2~X2y\=0,而a±h<^>x\X2+>>1)>2=0.

I回扣问题7](1)已知向量。=(2,1),h=(x,-1),且。一力与力共线，则x的值为.

(2)已知向量。=(4,3),力=(-2,1),假如向量。+弱与力垂直，那么|2°一劝|的值为.

解析(1)因为a=(2,1),力=(x,-1),

所以。一力=(2—x,2),

又a—b与b共线,所以2A=-2+x,解得x=-2.

(2)由题意知0+动=(4,3)+"—2,1)=(4一2九3+2),因为向量a+Ab与b垂直，所以(。+劝)6

=0,即(4-22,3+分(-2,1)=0=(4—22)•(—2)+(3+2)1=0,解得2=1,所以北一乂=(8,

6）一（一2,1）=（10,5）,于是12a-初=#102+52=5小.

答案（1）一2（2）5小

8.活用平面对量运算的几何意义，敏捷选择坐标运算与几何运算.

[回扣问题8]已知△"（?是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，旦|办|=小，则无•（诙

+两）的取值范围是（）

「3"!

A.[0,12]B.[0,J

C.[0,6]D.[0,3]

解析如图，以点8为坐标原点，8c所在直线为x轴，过点8与BC垂直的直线为y轴，建

立平面直角坐标系，则8（0,0）,41,5），C（2,0）,设尸（x,），），因为|西=小，所以。点

轨迹为（X—2）2+）2=3,

Jx=2+小cos仇

则》=（一1一小cos仇小一小sin。）,

小sin0,

丽=（一2-5cos。，一小sin例，

PC=（一小cos8,一小sin9）,

则元:.（以+而）=6惇cos6一；sin0）+6=6+6cos（〃+知

由一6W6cos（6+5）W6,得0W6+6cos（6+器）W12.

答案A

9.忽视向量夹角范围致误.涉及有关向量的夹角问题

要留意两向量夹角的范围是[0,兀],不是（0,兀），其中〃=0表示两向量同向共线，0=兀表示

两向量反向共线.这类问题有下列两个常见结论：①向量％的夹角为锐角=。力＞0且向量。，

力不共线；②向量。，力的夹角为钝角仍＜0且向量。，。不共线.

[回扣问题9]已知向量”，力满意同=|川=1,且依+加=小|"一倒伏＞0）,那么向量。与向量

力的夹角的最大值为.

解析由|履+例=小|0一"|,得★〃+肝=(#|4一倒尸，则标+2N仍+1=3(1—2加功十9)，即

。6=氐及+系)•因为8>°，所以如当且仅当&=1时等号成立.

所以cosQ,b)=心昊，则〈％hyeFo,"即向量Q与力的夹角的最大值为上

答案3

10.切忌混淆三角形“四心”，留意不同的向量表示形式.

［回扣问题10］若。是△A8C所在平面内一点，且满意|无一拉?|=|协+又一2后|,则△48C

的形态为.

解析・.,|5^一氏］=|无+八一2后|,

・・.|为1=1赢+历，W\AB-AC\=\AB+AC\.

故以AB,人。为邻边的平行四边形为矩形.

因此△4BC是以4为直角顶点的直角三角形.

答案直角三角形

回扣四数列与不等式

1.已知数列的前〃项和S,求斯，易忽视〃=1的情形，干脆用S“一S一表示.事实上，当〃=1

时，〃i=Si；当，?>2时，a〃=S〃一S”T.

I回扣问题U数列｛«/满意品+热2+*。3+…+枭“=2〃+1,则数列｛〃”｝的通项公式为

解析由----卜%”=2〃+1,当心2时，----F^;=T«Z,-I=2(H

—1)+1,两式相减，得上斯=2,即〃”=2"”(〃22).又〃=1时，*1=3,则“1=6不符合上式.

6,〃=1,

所以。”=

2〃+i,“22.

6,ft—19

答案斯=

2日，心2.

2.忽视两个“中项”的区分.等差数列a,A,A的等差中项4=亍与m匕之间没有符号的制

约，但等比数列a,G,b的等比中项G=±\［ab(a,b同号且a,b不为0).

［回扣问题2］若a,b,c三个数成等比数列，且a+〃+c=m（，〃>0），则b的取值范围是（）

D.[-w,0)U(0,J

,则破+^+1)=〃?，即b=

解析设公比为q,.当q>0时，OVbW争当6?=1时，取

当gVO时，-"WY0（当g=-l时，取“=”）步以。的取值范围是［-〃［,O）U（O,j.

答案D

3.运用等比数列的前〃项和公式时，易遗忘分类探讨.肯定要分q=\和夕W1两种状况进行探

讨.

［回扣问题3］己知正项等二匕数列伍“｝的前〃项和为工,且7s2=4S4,则等比数列｛知｝的公比g

的值为（）

A.IB.1或3

3

Vz.2

解析因为7s2=404,所以3s2=3（。1+〃2）=4（54—52）=4（43+。4）,所以3（ai+a2）=4（ai+a2）g2.

因为0+〃220,所以42=］.因为｛斯｝为正项等比数列，所以q>0,所以q=坐.

答案C

4.利用等差数列定义求解问题时，易忽视常数）中，“22,〃£N«的限制，类似地,

在等比数列中，什=式常数且g#O）,忽视〃22,〃£N的条件限制.

为一1

［回扣问题4］已知数列｛斯｝中，4|=〃2=1，如+1=〃〃+/〃22）,则数列仅“｝的前9项和等于

・••数列伍”）从第2项起是公差为力的等差数列,

•、S9=0+。2+。3H--------b«9

,8(8-1)1

=1+8色+---5-----X1=23.

答案23

5.利用错位相减法求和，切忌漏掉第一项和最终一项：裂项相消求和，相消后剩余的前、后项

数要相等，切莫漏项或添项.

［回扣问题5］已知数列｛m｝的前〃项和为S,”0=2,点S〃)在直线y=x—2上⑺

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

9n-1II

(2)令仇尸(一——二7T,设数列S”｝的前〃项和为〃，求证：

(1)解因为点(知+|,S〃)在直线y=x—2上，

所以如+1=2十S„(neN)①

当〃22时，斯=2+S“T.②

①一②，可得an+1—a„=S,—Sn-1=an［n>2),

即为+1=2斯(〃22).

当n=\时，〃2=2+Si=2+ai，所以仅=4,则ai=2a\也满意上式.

综上，%+i=2a£〃£N*).

所以数列｛斯｝是以2为首项，2为公比的等比数列，所以如=2〃(〃£N)

2«-1

⑵证明由⑴得〃因为h„=

a”=2"(EN*),-

(an—1)(tlrr+l1)'

■、2”-1\fI1>

所以bH=(2”一])(2"+i—])=热2"-12"*।—J'

1

所以7；=Wj—齐二［+尹口一江

因为0<2〃口―产22_］

所以一女忘一5^<。，

21I］

所以—2，门_］<1，所以手W7；<爹.

6.时于通项公式中含有(一1)〃的一类数列，在求工时，切莫遗忘探讨〃为奇数、；遇到已

知为+i—3-i=d或生==贝〃22),求｛斯｝的通项公式时，要留意对〃的探讨.

斯一1

l

［回扣问题6］若4=2〃-1,bn=(-l)"~an,则数列｛瓦｝的前〃项和7；=一

解析儿=(一1尸必=(-1)1(2〃-1).

当〃为偶数时，〃=0—42+43—04+…+斯-1—斯=(-2］乂方=—〃.

当〃为奇数时，4=北-|+仇=-5—1)+%=〃.

—n,〃为偶数,

故T„=

〃，〃为奇数.

一〃，“为偶数,

答案

〃，〃为奇数

7.运用不等式性质要留意适用的条件，不行扩大范围，如4b台沁.

［回扣问题7］已知下列四个结论：①②（3）a>b>0,c>d>0=。

>p④a>QO,cVOndV//.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析对于①，当c=O时，ac=bc,所以①不正确；对于②，当。>0>>时，^>|,所以②

不正确；对于③，由于c>40,贝,>：>0,又心QO,所以号③正确；对于④，

因为募函数y=/（c、VO）在（0,+8）上单调递减，又力>0,所以〃<〃，④正确.故正确的

个数为2.

答案B

8.解形如加+b:+c>（）的一元二次不等式时，易忽视系数。的探讨导致漏解或错解，要留意分

a>0,a<0,a=0进行探讨.

［回扣问题8］设命题甲：心2+2办+］>0的解集是实数集R：命题乙：0<6/<1,则命题甲是命

题乙成立的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

解析由命题甲：aF+Zax+lX）的解集是实数集R可知，当。=0时，原式=1>0恒成立，

«>0,

当〃#=（）时，需满意，

A=(2a)2—4。<0,

解得0<。<1,所以OW〃<1,

所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件.

答案C

9.简洁忽视运用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数yu）

A的最值，就不能利用基本不等式求解最值.

=J?+24++2

［回扣问题9］已知正实数db满意ab—b+l=O,则5+4人的最小值是

解析由"一方+1=0,得〃=『，又心0,心0,得〃>1.所以：+4/?=&+4方=］一F

却cib-1b-1

4（。-1）+5.易知17+4（/?-1）24,所以.当且仅当廿7=4（%—1）,即a=\,/?=宗时

D-IClD-IJ2

取等号，故（+4%的最小值是9.

答案9

回扣五立体几何

1.易混淆几何体的表面积与侧面积的区分，几何体的表面现是几何体的侧面积与全部底面面积

之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体枳公式中的系数

［回扣问题11已知在梯形A8CO中，NA8C=看AD//BC,BC=2AD=2AB=2,则将梯形

ABCD绕AD所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）

A.（5+V2）TIB.（4+也加

（2.（5+2色）花D.（3+啦）工

解析因为在梯形A4C。中，ZAI3C=^AD//BC,I3C=2AD=2AB=2t所以将梯形ABC。

绕AO所在的直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为1,高为2的圆柱挖去一个底面半

径为1,高为1的圆锥后剩余的部分，如图所示.所以该几何体的表面积S=7tX12+27txiX2

+nX1X^/12+12=（5+V2）TC.

c

2

B

答案A

2.不清晰空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条

件，导致推断出错.如由aR'=l,〃山,易误得出〃」”的结论，就是因为忽视面面垂

直的性质定理中muo的限制条件.

［回扣问题2］已知直线"1,〃与平面a,夕，了满意a_L"aGH=〃?，〃_La,〃uy,则下列推

断肯定正确的是（）

A.〃?〃乃a±yB.〃〃夕，a±y

C.p//y,a_LyD./〃_L〃，a±y

解析因为aJ_夕，aCQ=m,〃_La,〃uy,所以a_Ly成立，但机，y可能相交，故A不正确;

也有可能〃u£,故B不正确：对于C,也有£与），相交的可能，故C也不正确；对于D,因

为aCp=m,n±a,所以

答案D

3.处理球的切、接问题找不到着手点致误.

有关球外接于多面体的问题，求解的关键是抓住“接”的特点，找寻球的半径，常常会利用

“美丽的直角三角形”找寻儿何体外接球的半径所满意的方程（组）.遇到三条棱两两垂直时，常

通过构造长方体，干脆利用长方体的体对角线长为其外接球的直径，可加快求解速度.

［回扣问题3］已知球。是三棱锥尸一4BC的外接球，PA=AB=PB=AC=2,。是

的中点，且。。=市，则球。的表面积为（）

A也B国

A.33

2队②乃16n

C.27D~

解析如图所示，由公=AC=2,CP=2®得APL4c.连接AD由。是P8的中点及以=

AB=PB=2,可求得从。=6.又CD=巾,可知AO_LAC,又AOAA〃=A，所以AC_L平面PAB.

以△以8为底面，AC为侧棱将三棱锥尸一A3C补成一个直三棱柱，则球。是该三棱柱的外接

1PA

球，球心O究竟面△以8的距离1=于4。=1.由正弦定理修△RW的外接圆半径r=9.nAno=

¥，所以球0的半径R=d再了=卑.所以球0的表面积5=4兀/?2=弩.

答案A

4.留意图形的翻折与绽开前后变与不变的量以及位置关系.比照前后图形，弄清晰变与不变的

元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求改变后的元素在空间中的位置与

数量关系.

［回扣问题4］如图（1）所示，四边形ABCQ是边长为也的正方形，aABE和ABC/均为正三

角形，将其以4A灰?为底面折成如图⑵所示的三棱锥尸一4灰?，则平面以C与平面A3C的位

置关系是.

EP

图⑴图⑵

解析设AC的中点为0,连接80,尸。（图略）.由题意知，PA=PB=PC=y{2t易得P0_LAC,

P0=l,A0=B0=C0=1.在AP0B中，P0=l,0B=l,PB=市,所以PC^+OB^PB2,

则P0_L08.因为ACn0B=0,ACu平面ABC,08u平面48C,所以产。_1_平面ABC.又POu

平面抄IC,所以平面以CJ_平面ABC

答案平面附C_L平面48C

5.混淆空间角的取值范围致误，两条异面直线所成角〃£（0,\,直线与平面所成的角

8G0,y.

［回扣问题5］如图，三棱帷A—8C。的棱长全相等，点E为棱AD的中点，则直线C£与8。

所成角的余弦值为（）

A近B亚

A.6a2

C返D1

J612

解析如图，取AB中点G,连接EG,CG.

•・•£为A。的中点，：.EG/fBD.

・・・NGEC或其补角为CE与3。所成的角.

设AB=\,

则EG=~^BD=q,CE=CG=?.

2

./EG2+EC2_Gf2Q)+

=

・・cos/GEC=2XEGXEC6.

2X£X坐

答案A

6.利用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系.如求解二面角时，忽视法向量

的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.

［回扣问题6］如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA是该四棱锥的高，PB与平面

附。所成的角为45。，尸是P8的中点，E是8c上的动点.

(1)证明：PEXAF；

⑵若8c=2A8,PE与A8所成角的余弦值为，用，求二面角。一户£一8的余弦值.

解由题意可知，AD,AB,AP两两垂直，且以=45。，所以

以4为坐标原点，A。，AB,AP所在直线分别为4•轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.

设BE=a(a>0).

⑴证明^AP=AB=b,则A(0,0,0),8(0,h,0),E(a,b,0),P(0,0,b),衣)，*匀,

〃

所以匠=3，b,-b),而=(0,z一

2J

由诙•能=aXO+〃X3+(一与X3=0,可知沌_1后;所以PEJ_AF.

⑵解设A尸=48=2,则BC=4,则。(4,0,0),8(0,2,0),E(a,2,0),F(0,1,1),P(0,

0,2),

所以嬴=(0,2,0),PE=(a,2,-2),亦=(0,h1).

•沌142行

由，得.,解得。=3,所以七(3,2,0).

丽II两172m?+8—17

设平面PDE的法向量为〃=(x,>1,z),

易知而=(4,0,-2),访=(1,-2,0),

〃•丽=0,4x—2z=0,

由4得＜令y=l,得x=2,z=4,所以〃=(2,1,4)为平面POEE勺一个

x-2y=0,7

〃疝=0,

法向量.

由题意得，AFA-PB.

又由(1)知PBCFE=P,

所以A凡1_平面PBC,

即能为