垂径定理 学案与课后习题

3.3垂径定理

一、教学目标：1.运用圆的轴对称性探究、证明垂径定理（重点）

2.会运用垂径定理解决简单的有关圆的问题（难点）

二、教学难点：数学思想、方法的体现

三、教学方法：生本教学法

（一）学习体验

1.我们知道，线段，等腰三角形，圆都是轴对称图形，请在下图中画画它们的对称轴.

2.如果以上图的等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？画画看

3.如下图2,点A、点B是。0上的两点，图2是轴对称图形吗？若是，画出它的对称轴；再连接0A,0B,

得到图3,图3是轴对称图形吗？如果是，请画出它的对称轴.

4.如图4,在含有一条直径AB的圆上再添加一条直径CD.

（1）直径AB是否一定平分直径CD?

（2）把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？

（3）猜想：弦AB在什么情况下会被直径CD平分？画画看.

（二）知识点

1.垂径定理:____________________________________________________________________

2.垂径定理的推论:________________________________________________________________

3.弦心距：圆心0到弦AB的0M的____称为弦AB的弦心距.

（三）基础题

1.下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？

2.如图1,M为。。内一点，利用尺规作一条弦AB,使AB过点M,并且AM=BM.

4.如图3,。。的弦A8=8cm,直径CE_LA8于。，DC=2cm,则。。的半径为_____cm.

5.如图4,己知。0的半径为10cm,AB=16cm,那么弦AB的弦心距是cm,cosZOAB=,

6.如图5,。。的直径A8长为10,弦C。的长为8,CDJ_48于点E则E8的长度为.

7.如图6,在。。中，A8是直径，8是弦，ABA.CD,垂足为点E,连接CO,AD,N8AO=20。,

则下列说法中正确的是（）

A.AD=2OBB.CE=EOC.ZOCE=40°D.CE=DE

8.已知。0的半径为15,弦AB的长为18,点P在弦AB上且0P=13,则AP的长为

9.［教才才P7习题T2变式教口图7,③的半径为5,弦AB=8,

则圆上到弦AB所在直线的距离为2的点有个.

9.（变式）.【新课标P431一根横截面为圆形的下水管道的

ABAB

直径为1m,管内有少量的污水（如织），此时的水面宽AB为0.6m.

（1）求此时的水深；（即阴影部分的弓形高）

（2）当水位上开到水面宽为0.8m时，求水面上升的高度.

10.【教材P76随堂练习T2探究】如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？

回顾《3.2圆的对称性T5》

11.【教材P77习题T3改编】【中考•湖州】已知在以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小

圆于点C,D（如图8）.

（1）求证：AC=BD：

（2）若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心0到直线AB的距离为6,求AC的长.

变式1:【新课标P42]:如图9,两个圆都以点O为圆心,大圆的弦AB交小圆于点C,D.己知AB=2CD,

点O到AB的距离等于CD的一半，则大圆与小圆的半径之比是.

变式2:【新课标PM】：如图，已知线段CD与。。交于A,B两点，且OC=OD.试比较线段AC和

BD的大小，并说明理由.（至少用2种方法）

（四）研究题

12.教材P76随堂练习T1列出等式即可，不用解出来

变式.【教材P76随堂练习T1拓展】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m,拱高

CD为4m.

(1)求拱桥的半径.

(2)有一艘宽为4m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.5m,则此货船是否能顺利通过这座

圆弧形拱桥？并说明理由.C

13.