2012年高考理科数学北京卷-答案

10/102012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】D【解析】，利用二次不等式的解法可得或，易得．【提示】求出集合，然后直接求解．【考点】集合间的基本运算．2.【答案】D【解析】题目中表示的区域表示正方形区域，而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此，故选D．【提示】本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．【考点】不等式组，平面区域与几何概率．3.【答案】B【解析】当时，如果，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到，因此是必要条件，故选B．【提示】利用前后两者的因果关系,即可判断充要条件．【考点】复数的概念，充分、必要条件．4.【答案】C【解析】，循环结束，输出的为8，故选C．【提示】列出循环过程中与的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【考点】循环结构的程序框图．5.【答案】A【解析】由切割线定理可知，在直角中，则由射影定理可知，所以．【提示】由题中三角形和圆的位置关系，通过条件求解即可．【考点】几何证明选讲．6.【答案】B【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析3种选择，之后二位，有2种选择，最后百位2种选择，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有一种选择，共6种，因此总共种，选B．【提示】选择数字进行排列，判断奇偶性即可．【考点】排列组合．7.【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和．利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，因此该几何体表面积，故选B．【提示】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【考点】由三视图求几何体的表面积．8.【答案】C【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C．【提示】由已知中图像表示某棵果树前年的总产量与之间的关系，结合图像可得答案．【考点】函数图像的应用．第Ⅱ卷二、填空题9.【答案】2【解析】直线转化为，曲线转化为圆，圆心到直线的距离，所以有两个交点．【提示】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．【考点】直线和圆的位置关系．10.【答案】1【解析】，所以．【提示】由是等差数列，解得，由此能求出．【考点】等差数列的通项．11.【答案】4【解析】在△中，得用余弦定理，化简得，与题目条件联立，可解得，答案为．【提示】根据，，利用余弦定理可得，即可求得的值【考点】余弦定理的运用．12.【答案】【解析】由，可求得焦点坐标为，因为倾斜角为，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线的方程为，将直线和曲线方程联立，因此．【提示】确定直线的方程，代入抛物线方程，确定的坐标，从而可求的面积．．【考点】抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系．13.【答案】1【解析】根据平面向量的点乘公式，可知，所以；，又因为就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时点与点重合，射影为，所以长度为1．【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可．【考点】平面向量在平面几何中的运用．14.【答案】【解析】对于①∵，当时，，又∵①或∴在时恒成立，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与轴交点都在的左边，则，∴，即①成立的范围为，又∵②，，∴此时恒成立∴在有成立的可能，则只要比中的较小的根大即可，（）当时，较小的根为，不成立，（）当时，两个根同为，不成立，（）当时，较小的根为即成立．综上可得①②成立时．【提示】①由于时，，根据题意有在时成立，根据二次函数的性质可求．②由于，，而，则在时成立，结合二次函数的性质可求【考点】指数函数的性质，二次函数的性质．三、解答题15.【答案】（Ⅰ）π（Ⅱ）和【解析】（Ⅰ），原函数的定义域为，最小正周期为π；（Ⅱ）由．解得又，原函数的单调递增区间为，．【提示】（Ⅰ）直接求出函数的定义域和最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．【考点】三角函数的定义域，周期，单调性．16.【答案】（Ⅰ）证明，，又，平面，又平面，，又，平面．（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，，设平面法向量为，则∴∴∴又∵∴∴∴与平面所成角的大小（Ⅲ）设线段上存在点，设点坐标为，则则，设平面法向量为，则∴∴，假设平面与平面垂直，则，∴，，∵，∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直．【提示】（Ⅰ）证明⊥平面，因为，只需证明，即证明平面．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面法向量，，利用向量的夹角公式，即可求得与平面所成角的大小；（Ⅲ）设线段上存在点，设点坐标为，则，求出平面法向量为，假设平面与平面垂直，则，可求得，从而可得结论．．【考点】平面图形的折叠问题，立体几何．17.【答案】（Ⅰ）由题意可知，厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱400吨，故生活垃圾投放错误的概率为：（Ⅱ）由题意可知，生活垃圾投放错误有,故生活垃圾投放错误的概率：（Ⅲ）由题意可知：，的平均数为200，，因此有当，，时有．【提示】（Ⅰ）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率．（Ⅱ）生活垃圾投放错误有，故可求生活垃圾投放错误的概率．（Ⅲ）计算方差可得，因此有当，，时，有．【考点】概率，方差18.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由为公共切点可得：，则，，，则，，①又，，，即，代入①式可得：．（Ⅱ），设则，令，解得：，；，，原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增①若，即时，最大值为；②若，即时，最大值为③若时，即时，最大值为．综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为．【提示】（Ⅰ）根据曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求的值．（Ⅱ）根据，构建函数，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间上的最大值．【考点】利用导数求函数单调区间及最值．19.【答案】（Ⅰ）原曲线方程可化简得：，由题意可得：，解得：（Ⅱ）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：，，解得：．由韦达定理得：①，，②设，，则方程为：，则，，，欲证三点共线，只需证，共线即成立，化简得：将①②代入易知等式成立，则三点共线得证．【提示】（Ⅰ）原曲线方程，化为标准方程，利用是焦点在轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得的取值范围．（Ⅱ）由已知直线代入椭圆方程化简得：，，解得设，，，则方程为：，则，从而可得，，欲证三点共线，只需证，共线，利用韦达定理，可以证明．【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．20.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）由题意可知，，，，∴（Ⅱ）先用反证法证明：若，则，∴同理可知，∴，由题目所有数和为，即，∴与题目条件矛盾∴．易知当时，存在∴的最大值为1．（Ⅲ）的最大值为．首先构造满足的：，．经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，．下面证明是最大值．若不然，则存在一个数表，使得．由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中．由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于．设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则．另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负．考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和