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文档简介

华东师范大学《实分析》2023-2024学年第一学期期末试卷院(系)__________班级__________学号__________姓名__________得分__________考试时间：120分钟满分：100分考试形式：闭卷注意事项：1.所有答案均需写在答题纸上，写在试卷上无效；2.需携带计算器、直尺等必要文具，严禁使用手机等电子设备；3.答题时需写出详细步骤，仅写答案不得分。一、单项选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填在答题纸上。下列集合中，不是可测集的是（）

A.有理数集B.无理数集C.Cantor集D.平面上所有孤立点构成的集合

设f(x)是ℝ上的可测函数，下列说法正确的是（）

A.f(x)一定连续B.f(x)一定有界

C.f(x)几乎处处等于一个连续函数D.|f(x)|也是可测函数

关于Lebesgue积分与Riemann积分的关系，下列结论正确的是（）

A.若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则一定Lebesgue可积，且积分值相等

B.若f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，则一定Riemann可积

C.两者的积分范围完全一致D.两者的可积条件完全相同

设{fn(x)}是可测集E上的可测函数列，且fn(x)→a.e.f(x)于E，则下列说法正确的是（）

A.fn(x)一定一致收敛于设E是可测集，m(E)<+∞，f(x)在E上Lebesgue可积，则下列结论错误的是（）

A.f(x)在E上几乎处处有限B.limn→∞m({x∈E∣|f(x)|≥n})=0

C.\int_E|f(x)|dx<+\inftyD.f(x)在二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）请将答案直接填在答题纸上对应的位置。设E1,E2是可测集，m(E1)=3设f(x)在[0,1]上Riemann可积，且01f(x)dx=2，则可测集E上的可测函数列{fn(x)}依测度收敛于f(x)设f(x)=χ[0,2](x)若f(x)在可测集E上Lebesgue可积，则Ef(x)dx=0三、计算题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）要求写出详细计算步骤，步骤不全酌情扣分。设E=[0,1]∪[2,4]，定义函数f(x)={x,x∈[0,1]2x−3,设fn(x)=nx1+n四、证明题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）要求写出详细证明过程，逻辑清晰，论据充分。证明：若E是可测集，f(x),g(x)是E上的可测函数，则f(x)+g(x)也是E上的可测函数。证明：设f(x)在可测集E上Lebesgue可积，若对任意可测子集A⊂E，都有Af(x)dx=0，则f(x)=0几乎处处于E利用Lebesgue控制收敛定理证明：limn→五、应用题（本大题共1小题，10分）设f(x)是[a,b

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