初中数学七年级下册“轴对称”单元复习导学案

初中数学七年级下册“轴对称”单元复习导学案

一、教学背景与设计理念

（一）单元定位与课标解读

本章内容属于“图形与几何”领域的重要部分，是学生从运动变化的角度认识、探索和研究图形性质的开端。轴对称不仅是现实世界中广泛存在的现象，更是探索图形全等、研究几何性质的重要工具，也为后续学习等腰三角形、中心对称、旋转乃至函数图像等知识奠定了坚实的基础。根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，本单元复习不仅要巩固基础知识与基本技能，更要引导学生经历观察、操作、想象、推理、表达等过程，发展其空间观念、几何直观和推理能力，尤其是从轴对称的视角发现图形间的关联，体会数学的内在美与逻辑性。

（二）复习课定位

本设计定位于单元复习课，区别于新授课的零散知识点学习，复习课旨在帮助学生构建系统化、结构化的知识网络，深化对核心概念的理解，提升综合运用知识解决问题的能力，并在此过程中感悟数学思想方法（如转化思想、模型思想、数形结合思想）。因此，本导学案的设计摒弃简单的知识罗列和机械重复训练，转而聚焦于核心问题的驱动、典型例题的变式探究以及知识间的内在联系，引导学生实现从“学会”到“会学”再到“会用”的飞跃。

（三）设计理念

以学生发展为中心，立足“大单元”教学理念，打破课时壁垒，统整“轴对称”相关知识。通过“情境唤醒—网络构建—深度探究—迁移应用—反思升华”五个环节，将知识复习、方法提炼、思维训练和情感体验融为一体。强调让学生在“做数学”的过程中，主动建构知识意义，提升数学核心素养，特别是几何直观、推理能力和应用意识。

二、教学目标设定

（一）核心素养导向目标

1.【空间观念与几何直观】通过观察生活中的轴对称现象和典型几何图形，能准确识别轴对称图形和两个图形成轴对称，理解它们的区别与联系。能画出简单图形的对称轴，并能按要求补全或设计轴对称图形，发展空间想象力和几何直观。

2.【推理能力与逻辑思维】熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定，并能运用其进行有条理的推理和几何论证。在解决折叠、最值等问题时，能灵活运用轴对称的性质进行转化，体会转化思想在解决问题中的核心作用。

3.【模型观念与应用意识】能从复杂的实际问题或几何图形中抽象出轴对称模型，利用轴对称的性质解决最短路径等经典问题，感受数学模型的价值。能欣赏并创造简单的轴对称图案，体会数学的美学价值和文化内涵。

（二）具体细化目标

1.【基础】准确说出轴对称图形、两个图形成轴对称、对称轴、对应点、垂直平分线等概念。

2.【基础】能熟练画出一个图形的轴对称图形，能找出常见轴对称图形的对称轴数量。

3.【重要】能运用线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）和判定（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）进行简单的计算和证明。

4.【非常重要】能利用轴对称的性质（对应线段相等、对应角相等、对应点连线被对称轴垂直平分）解决折叠、拼接、角度计算、线段求值等问题。

5.【高频考点】能将军饮马问题（最短路径问题）抽象为数学模型，并利用轴对称变换将折线段和转化为两点间的线段问题，从而确定最优位置。

6.【难点】能综合运用等腰三角形（等边对等角、三线合一）与轴对称的性质进行几何推理和综合题探究。

7.【热点】在网格背景下，按要求设计轴对称图案，或进行坐标变换（虽未学，可铺垫）的思想渗透。

三、教学重点与难点

（一）教学重点

1.轴对称、轴对称图形及垂直平分线的核心性质。

2.利用轴对称性质解决几何图形中的计算与证明问题。

3.运用轴对称模型解决实际生活中的最短路径问题。

（二）教学难点

1.理解轴对称与全等的关系，能灵活运用轴对称进行等量转化和图形变换。

2.从复杂图形或实际问题中准确识别和构建轴对称模型。

3.对“将军饮马”问题模型的深度理解和变式应用。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含丰富的图片、动画演示、典型例题及变式）、剪刀、彩纸、几何画板软件（用于动态演示）。

2.学生准备：完成导学案中的“自主梳理”部分，准备好剪刀、彩纸、直尺、圆规等作图工具。

五、教学实施过程

（一）情境唤醒，重构概念体系（约8分钟）

【教学行为】

教师通过多媒体向学生展示一组精心挑选的图片：庄严的故宫建筑群、灵动的蝴蝶翅膀、精密的雪花显微结构、优美的中国剪纸艺术、常见的交通标志（如“停车让行”标志）、熟悉的几何图形（线段、角、圆、等腰三角形、长方形、正方形）等。引导学生观察并思考：“这些图片在形状上有什么共同特征？你能用数学的语言来描述它吗？”

【学生活动】

学生观察、思考，并积极回答。预设学生能迅速回答出“它们都是轴对称的”。教师进一步追问：“提到‘轴对称’，你的脑海里立刻浮现出哪些关键词？哪些图形是轴对称图形？哪些现象是两个图形成轴对称？”引导学生激活已有的知识储备。

【教师精讲与网络构建】

在学生初步回顾的基础上，教师引导学生对核心概念进行精细辨析与系统关联。教师引导学生共同构建如下的知识框架，并强调概念间的逻辑关系：

1.核心概念的辨析：

1.2.轴对称图形：这是一个图形自身的属性。强调的是这个图形的一条“直线”（对称轴）两侧的部分能够完全重合。如等腰三角形、圆。

2.3.两个图形成轴对称：这是两个图形之间的位置关系。指的是这两个图形沿着一条直线折叠后能够完全重合。这两个图形是全等的。

3.4.核心联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个部分就成轴对称。反之，如果把两个成轴对称的图形看作一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形。

5.核心性质的梳理：

1.6.对应点与对称轴：任何一对对应点所连的线段，都被对称轴垂直平分。【核心概念】

2.7.对应线段与对应角：对应线段相等，对应角相等。

3.8.垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

4.9.垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。【重要】【高频考点】

5.10.垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。【重要】

（二）典例精析，深化性质理解（约20分钟）

本环节选取典型例题，通过变式探究，引导学生从不同角度运用轴对称性质，深化对核心概念和性质的理解，特别是垂直平分线性质的灵活运用。

1.基础运用：垂直平分线性质的直接应用

【例题1】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点M，连接BD。若AC=8cm，BC=5cm，求△DBC的周长。

（注：教师用语言描述图形，学生想象或在导学案上画简图）

【教学实施】

教师引导学生分析：要求△DBC的周长，即求DB+DC+BC。已知BC=5cm，关键是求DB+DC。由MN是AB的垂直平分线，且D在MN上，根据性质可得AD=BD。所以，DB+DC=AD+DC=AC=8cm。因此，△DBC的周长为8+5=13cm。

【变式训练1】若将条件改为“AB的垂直平分线交AC于D，若△DBC的周长为15cm，BC=6cm”，求AC的长。

【设计意图】通过此题，巩固【核心概念】——线段垂直平分线性质的直接应用，让学生体会利用性质进行等量代换的便捷性。这是解决一类几何计算问题的基本模型。

2.进阶探究：利用轴对称解决折叠问题

【例题2】如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F。已知长方形中，AB=4，BC=8。

（1）判断△ACF的形状，并说明理由。

（2）求重叠部分（即△ACF）的面积。

【教学实施】

这是一个典型的【非常重要】【高频考点】问题。教师引导学生分步探究：

1.3.第一步：分析折叠的性质。折叠是一种轴对称变换，折痕AC是对称轴。因此，对应点B和E关于AC对称，对应线段AB=AE，BC=EC，∠B=∠E=90°，∠BAC=∠EAC，∠BCA=∠ECA。

2.4.第二步：解决第（1）问。在长方形中，AD∥BC，所以∠DAC=∠BCA（两直线平行，内错角相等）。又因为折叠性质有∠BCA=∠ECA，所以∠DAC=∠ECA。在△ACF中，等角对等边，所以AF=CF，△ACF是等腰三角形。【重要推理】

3.5.第三步：解决第（2）问。求面积，需要知道底和高。设AF=CF=x，则DF=AD-AF=8-x。在Rt△CDF中，CD=AB=4，CF=x，DF=8-x。由勾股定理得：DF²+CD²=CF²，即(8-x)²+4²=x²。解此方程得x=5。所以CF=5。则S△ACF=1/2×AF×CD（以AF为底，CD为高）=1/2×5×4=10。

【变式训练2】若将长方形改为正方形，或将折叠方式改为其他情形，结论有何变化？引导学生思考折叠问题的通法：抓住折叠前后的对应关系（全等），找出其中的“变”与“不变”，通常需要设未知数，利用勾股定理或线段相等建立方程。

【设计意图】折叠问题是初中几何的【难点】和【热点】。通过此题，学生不仅巩固了轴对称的性质，还复习了平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及方程思想，有效提升了综合解题能力。

6.难点突破：线段和最短问题（将军饮马模型）

【例题3】（“将军饮马”模型）如图，在直线l的同侧有A、B两点。请在直线l上找一点P，使得PA+PB最小。

【教学实施】

教师首先创设情境：“古希腊有一位将军，每天要从营地A出发，先到一条笔直的河边l饮马，然后再去帐篷B。他应该选择在河边的哪个地点饮马，才能使走的路程最短？”这就是著名的“将军饮马”问题。

教师引导学生思考：

1.7.问题转化：求直线l上一点P，使PA+PB最小。

2.8.方法探究：如果A、B两点在直线l异侧，连接AB与l的交点即为所求（两点之间线段最短）。现在A、B在l同侧，如何转化为异侧？

3.9.模型构建：利用轴对称，将同侧点转化为异侧点。作点A关于直线l的对称点A'，则对于直线l上的任意一点P，总有PA=PA'（垂直平分线性质）。所以PA+PB=PA'+PB。问题转化为求直线l上一点P，使PA'+PB最小。因为A'和B在直线l异侧，连接A'B，与直线l的交点P即为所求。

【核心思想】通过轴对称变换，将折线段和问题转化为两点间的直线段问题，体现了【转化思想】的妙用。

【变式训练3-1】（三角形周长最小）如图，在∠AOB内部有一点P，在OA、OB上分别找一点M、N，使△PMN的周长最小。

【教学实施】引导学生分析：要使PM+MN+NP最小，可以分别作P关于OA、OB的对称点P1、P2，则PM+MN+NP=P1M+MN+NP2。连接P1P2，当M、N在P1P2上时，折线和转化为线段P1P2，此时周长最小。M、N即为P1P2与OA、OB的交点。

【变式训练3-2】（实际应用）在一条河的两岸有A、B两个村庄，现在要在河上垂直于河岸建一座桥MN（桥必须与河岸垂直），使从A村到B村的路径A-M-N-B最短。桥应建在何处？

【教学实施】这个问题稍复杂，需要平移与轴对称结合，此处仅做思维拓展，为后续学习埋下伏笔。引导学生思考如何将“桥宽”这个固定长度通过平移“去掉”。

【设计意图】“将军饮马”问题是轴对称应用中的【非常重要】【高频考点】内容。通过层层递进的例题和变式，帮助学生掌握此类最值问题的核心策略——作对称、化折为直，深刻体会数学建模的过程和转化思想的力量。

（三）综合探究，发展高阶思维（约10分钟）

本环节设置一个开放性、综合性的探究问题，鼓励学生小组合作、动手操作、深度思考，旨在提升学生综合运用知识解决问题的能力，培养几何直观和逻辑推理能力。

【探究活动】如图，已知△ABC是一个等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC。D是BC边上的一点（不与B、C重合）。请同学们利用所学知识，探究以下问题：

（1）将△ABD沿直线AD折叠，得到△AB'D。请画出折叠后的图形，并观察B'的位置有什么特征？

（2）连接B'C，猜想B'C与AD有怎样的位置关系？并给出证明。

（3）若将等腰直角三角形的条件改为一般三角形，上述结论还成立吗？请举例说明。

【教学实施】

1.动手操作：学生在导学案的图上尝试画出折叠后的图形。教师利用几何画板动态演示折叠过程，帮助学生直观理解点B落在何处。

2.小组讨论：学生以4人小组为单位，围绕上述三个问题进行讨论。教师巡视，参与小组讨论，适时点拨。重点引导学生关注：

1.3.折叠的核心性质：△ABD≌△AB'D，所以AB=AB'，∠BAD=∠B'AD。

2.4.由AB=AC，可得AB'=AC，所以△AB'C是等腰三角形。

3.5.同时，由∠BAD=∠B'AD，可以推理出AD是等腰△AB'C顶角的平分线吗？需要进一步分析。

6.成果展示与精讲点拨：

1.7.对于第（2）问，学生可能会得出多种猜想。教师引导学生从已知条件出发，进行严谨证明。

2.8.证明思路：由折叠知，AB=AB'。又因为△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，所以AB'=AC，点A在B'C的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）。接下来，如果能证明D也在B'C的垂直平分线上，则AD就是线段B'C的垂直平分线。那么，如何证明DB'=DC？这需要利用角度关系。

3.9.设∠BAD=∠B'AD=α。因为∠A=90°，所以∠DAC=90°-α。由折叠知∠B=∠AB'D=45°。在△AB'C中，AB'=AC，∠B'AC=∠B'AD+∠DAC=α+(90°-α)=90°。所以△AB'C是等腰直角三角形，∠AB'C=45°，∠ACB'=45°。所以∠DB'C=∠AB'D+∠AB'C=45°+45°=90°。同理，∠DCB'=45°?这似乎不成立。教师需引导学生重新审视，或者从另一个角度证明DB'=DC，即证明D在B'C的垂直平分线上。可以连接BB'，证明△BDB'是等腰三角形？或者利用全等？

4.10.更简洁的证法：由AB'=AC，可知点A在B'C的中垂线上。若能证明△AB'D≌△ACD，则B'D=CD，那么点D也在B'C的中垂线上，从而AD垂直平分B'C。要证明△AB'D≌△ACD，已知AB'=AC，AD公共边，还需要一个条件。可以考虑证明∠B'AD=∠CAD？但∠CAD=90°-α，而∠B'AD=α，只有当α=45°时才相等，所以此路不通。这说明猜想（2）B'C⊥AD在一般D点下不一定成立。需要进一步探究B'C与AD的关系。

5.11.教师通过几何画板演示，拖动点D，发现AD始终是△AB'C的对称轴，即AD垂直平分B'C。那如何证明？可以这样证明：连接BB'，由折叠知，AD垂直平分BB'（对应点连线被对称轴垂直平分），所以AD⊥BB'。由AB=AC，AB'=AC，且∠BAB'=∠B'AC?可以证明B、B'、C共圆？不，这里涉及知识超纲。此题的严谨证明可以用三角形全等+中垂线性质，但过程较复杂，可将其作为课后探究题，重点在于引导学生经历猜想、质疑、再探究的完整思维过程。

12.【设计意图】此探究活动是本节课的【难点】和升华部分。它并非追求一个标准答案，而是让学生亲历“操作—猜想—验证—修正”的科学探究过程。通过折叠等腰直角三角形，学生进一步巩固轴对称性质，并尝试与等腰三角形的性质、垂直平分线的判定等建立联系，极大地锻炼了高阶思维能力，体现了数学探究的乐趣与价值。

（四）拓展延伸，链接生活与文化（约5分钟）

1.【文化视角】教师简要介绍中国剪纸艺术中的轴对称美，展示一些经典的剪纸作品（如“囍”字、窗花等），并现场演示简单的折叠剪纸过程（如剪出一个“王”字或一片雪花），让学生直观感受轴对称在创造美中的应用。鼓励学生在课后自己尝试创作一幅轴对称的剪纸作品。

2.【应用视角】展示汽车标志（如大众、奥迪、三菱等）、银行的标志（如中国农业银行）等，引导学生识别其中的轴对称元素，理解轴对称在标识设计中传达的平衡、稳定与和谐的理念。

3.【科学视角】简要提及物理学中的平面镜成像原理，就是生活中的轴对称现象。光的反射定律（入射角等于反射角）也与“将军饮马”问题中的最短路原理息息相关，体现了数学与物理的深刻联系。

（五）课堂小结，反思内化提升（约5分钟）

教师引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结反思。

1.【知识层面】今天我们复习了哪些核心知识？（轴对称图形、两个图形成轴对称、垂直平分线的性质与判定等）

2.【方法层面】在解决问题时，我们主要运用了哪些方法？（折叠法、作对称点法、设未知数列方程法等）

3.【思想层面】我们体会到了哪些重要的数学思想？（转化思想——将军饮马；方程思想——折叠求值；模型思想——将军饮马模型）

最后，教师寄语：轴对称不仅是数学殿堂中的一颗明珠，更是我们认识世界、创造美好生活的一把钥匙。希望同学们在今后的学习中，继续用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。

（五）目标检测，精准反馈学情（此部分可作为课后作业或下节课的检测）

【A组·基础巩固】

1.下列图形中，不是轴对称图形的是（）。

A.线段B.角C.含30°角的直角三角形D.正方形

2.点P在∠AOB内