河北沧州市沧县中学等校2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

高一数学注意事项：1.

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.

回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集运算即可求解.【详解】因为，集合，所以，故选：D.2.在三角形中，“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的性质和充分必要条件的定义进行判断即可.【详解】因为在三角形中，，，所以，则，所以“”是“”的充分条件；由于，所以或，又因为三角形中，，所以，所以.所以“”是“”的必要条件；综上，“”是“”的充要条件.故选：C.3.已知圆心角为2弧度的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据弧长求出扇形的半径，然后根据扇形的面积公式求解.【详解】因为扇形的弧长为，所以，所以．故选：D4.已知函数的最小值为1，则（）A.0 B.1 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】先利用二次函数的最小值为0，得到指数的最小值为，再根据指数函数的单调性，由解出.【详解】是增函数，所以的最小值由指数的最小值确定，因为，所以的最小值为（当时取得），因此函数的最小值为，又已知的最小值为1，所以，解得．故选：A.5.当时，关于x的不等式的解集为（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较和的大小即可得解.【详解】时，，不等式可化为，因为，且，所以，，解原不等式，得，所以原不等式的解集为.故选：C.6.已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用双对称函数来证明函数的周期性，再利用单调性可以比较大小.【详解】因为关于中心对称，所以对称中心是，即是奇函数，故，因为是偶函数，所以的对称轴是，即，所以中，将替换为，得到，故，将替换为，得到，所以，因此的周期为8.所以，，，因为在上递增且是奇函数，所以在上递增，所以，即.故选：D.7.设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数及复合函数的单调性求法，分析计算即可.【详解】令，则，当时，在R上单调递减，当时，在R上单调递增，由一次函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减，因为在区间上单调递增，根据复合函数的单调性可知，且，解得，所以的取值范围是.故选：A.8.已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据幂函数的定义和单调性求出，得到，代入利用基本不等式求解即可.【详解】因为是幂函数，且在上单调递增，所以，解得，所以，易知，则，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（多选）下列叙述中错误的是（）A.若，则 B.若，则与的方向相同或相反C.若，，则 D.对任一非零向量，是一个单位向量【答案】ABC【解析】【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解.【详解】对于A，因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；对于B，由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误；对于D，对任一非零向量，表示与同向的单位向量，故D正确．故选：ABC．10.已知函数，则（）A.当时，的单调递减区间为B.当时，的单调递增区间为C.的图象关于轴对称D.当时，的定义域为【答案】AC【解析】【分析】利用对数函数的性质，结合复合函数的单调性判断选项A、B，利用函数的对称性结合奇偶性判断选项C，利用赋值法判断选项D．【详解】选项A、B：当时，，，解得或，函数的定义域为，函数开口向上，对称轴为，函数在上单调递增，在上单调递减，，在上单调递减，函数在上单调递减，在上单调递增，故A正确，不在定义域内，故B错误；选项C：，定义域关于原点对称，若图象关于轴对称，则偶函数，即，，是偶函数，其图像关于轴对称，故C正确；选项D：当时，，定义域为，不是，故D错误．故选：AC．11.已知，下面结论正确的是（）A.的最小正周期为B.在上单调递增C.在上恰有3个零点D.的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称【答案】ABD【解析】【分析】先化简，再由函数的性质逐项判断即可．【详解】，所以，故A正确；令，当时，，因为在上单调递增，且是关于的一次函数，且单调递增，所以在上单调递增，故B正确；令，则，，解得，，当时：当时，；当时，；当时，；当时，，共4个零点，故C错误；的图象向左平移个单位长度后，得到的函数为，因为，所以是偶函数，其图象关于轴对称，故D正确．故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正方形的边长为1，，，，则为_____________．【答案】【解析】【分析】根据向量的加法法则和模长进行计算.【详解】.故答案为：13.若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________【答案】6【解析】【分析】根据关于对称即可求解.【详解】由于，可得关于点对称，故.14.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是_____________．【答案】1【解析】【详解】将向左平移个单位，得：，又因为为奇函数，所以，整理得：

，又因为，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）若集合为非空集合且，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）分析得出，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；（2）分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式（组），由此可求得实数的取值范围.【详解】（1）由知，因为为非空集合，所以，，解得；（2）当时，由得，此时，满足；当时，或，解得.综上所述，或.16.已知函数是函数（，且）的反函数，的图象过点．（1）求函数的解析式；（2）若成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据的图象经过的点坐标求出，然后求出其反函数即可；（2）结合对数函数的定义域及其单调性求解不等式即可.【小问1详解】因为（，且）的图象过点，所以，解得，所以．又因为函数是函数的反函数，所以．【小问2详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减，，所以，解得，所以的取值范围为.17.某芯片生产企业准备再建一条AI芯片生产线，在现有条件下，每月生产（千片）芯片，每片芯片售价0.3万元且全部销售完.该生产线每月需投入500万元的固定成本，另需投入的成本（万元）与的关系满足：（1）求每月的利润（万元）关于月产量（千片）的函数解析式（利润=销售额成本）；（2）求该企业每月所获取的最大利润及相应的月产量.【答案】（1）（2）最大利润是800万元，此时月产量为50000片.【解析】【分析】（1）根据，分、分别求出函数解析式，即可得解；（2）当时根据二次函数的性质求出最大值，当时利用基本不等式求出最大值，即可得解.【小问1详解】当月产量为千片时，销售额为（万元），∴，又当时，当时，所以【小问2详解】当时，，当且仅当时取等号.当时，，当且仅当，即时，取等号，∵，∴该企业每月所获取的最大利润是万元，此时月产量为片.18.已知函数（1）求函数的增区间（2）直接写出取得最大值时的集合；（3）若关于方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据余弦函数的图像性质即可求解；（2）由题意，可得的最大值为，令，解方程即可求解；（3）将函数的解析式代入方程，结合三角恒等变换，化简可得，通过换元法结合函数图像性质分析，即可求解.【小问1详解】由题意，函数，令，解得，故函数的单增区间为；小问2详解】由题意，可得，即的最大值为，令，即，故，解得，故取得最大值时的集合；【小问3详解】由，可得，即，即，即，又根据题意，方程在上有四个不同的实数根，即方程在上有四个不同的实数根，令，则，又，则，所以，即，令，则，如图，所以要使在上有四个不同的实数根，则需要在上有两个不相等的实数根故，由于时，无解，故，则，令则且，故，由于在单调递减，此时至多一个实数根，不符合题意，故，如图：当时，，当且仅当时，取等号，故.19.已知函数对任意实数恒有，当时，，且.（1）判断的奇偶性并证明；（2）判断的单调性并证明；（3）若对所有的，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）上单调递减，证明见解析（3）或【解析】【分析】（1）取特殊值得，再取结合，证明，确定是奇函数