广西桂梧高中高三上学期第五次联考数学（理）试题

2018届高三年级教学质量检测考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点是，则（）A．B．C．D．3.对经过某路段的汽车进行车速统计，得到频率分布直方图如图所示，若本路段限速60，且每天经过该路段的车辆为100辆，则其中超速的车辆大约有（）A．80辆B．60辆C．40辆D．20辆4.在各项均为正数的等比数列中，若，，则（）A．12B．32C.D．5.设实数满足：，，，则的大小关系为（）A．B．C.D．6.已知锐角满足，则（）A．B．2C.D．7.执行如图所示的程序框图，则输出的为（）A．5B．6C.7D．8.已知实数满足不等式组，则函数的最大值为（）A．2B．4C.5D．9.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C.D．10.设点分别是双曲线的左、右焦点，过点且轴垂直的直线与双曲线交于两点，若的面积为，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C.D．11.已知，函数的部分图像如图所示，则函数图像的一个对称中心是（）A．B．C.D．12.已知定义在上的函数满足，且，若关于的方程恰有5个不同的实数根，则的取值范围是（）A．B．C.D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.展开式中各项的二项式系数之和为．14.已知，，若与垂直，则的值为．15.“裴波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·裴波那契发现，因为裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.裴波那契数列满足：，，（，），记其前项和为，设（为常数），则．（用表示）16.正四面体的所有棱长均为12，球是其外接球，分别是与的重心，则球截直线所得的弦长为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，，.（1）若，求；（2）若，求的面积.18.“双十一”期间，某淘宝店主对其商品的上架时间（分钟）和销售量（件）的关系作了统计，得到如下数据：经计算：，，，.（1）该店主通过作散点图，发现上架时间与销售量线性相关，请你帮助店主求出上架时间与销售量的线性回归方程（保留三位小数），并预测商品上架1000分钟时的销售量；（2）从这11组数据中任选2组，设且的数据组数为，求的分布列与数学期望.附：线性回归方程公式：，19.如图，在直三棱柱中，，，，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，的周长为16，的周长为12.（1）求椭圆的标准方程与离心率；（2）若直线与椭圆交于两点，且是线段的中点，求直线的一般方程.21.已知函数（其中是自然对数的底数，）.（1）讨论函数的单调性；（2）当函数有两个零点时，证明：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44：坐标系与参数方程已知在极坐标系和直角坐标系中，极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）判断曲线与曲线的位置关系，若两曲线相交，求出两交点间的距离.23.选修45：不等式选讲已知函数.（1）若函数的最小值为2，求实数的值；（2）若命题“存在，满足不等式”为假命题，求实数的取值范围.试卷答案选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】集合，故.2.【答案】C【解析】.3.【答案】B【解析】.4.【答案】D【解析】由等比数列的性质有，.5.【答案】A【解析】，，故.6.【答案】B【解析】，又∵为锐角，∴∴，∴.7.【答案】C【解析】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.此时退出循环，故输出的为，故C项正确.8.【答案】D【解析】作出可行域如下图，当直线过点C时，最大，由得，所以的最大值为6．9.【答案】A【解析】三视图所对应的空间几何体为一个半圆锥拼接一个三棱锥所得，故其体积，故选A.10.【答案】D【解析】设，，则则，又,，，故该双曲线的渐近线方程为.11.【答案】C【解析】，.又.显然，所以.则，令，则，当时，，故C项正确.12.【答案】B【解析】作出函数的图象，由图象可知，设，则，由图象可知，故.二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上.13.【答案】32【解析】二项式系数之和为.14.【答案】【解析】由题知，即.15.【答案】【解析】.16.【答案】【解析】正四面体可补全为棱长为的正方体，所以球是正方体的外接球，其半径，设正四面体的高为，则，故，又,所以到直线的距离为，因此球截直线所得的弦长为.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）,在中，由正弦定理得，.(6分)（2）在中，由余弦定理得,,解得或,（8分）当时，，（10分）当时，.（12分）18.解：（1）由题知：===2.008，（2分）∴==4002.008125=149，∴回归直线方程为；（4分）当时，，故预测商品上架1000分钟时销售量约为2157件.（6分）（2）由（1）知，且的数据组数有6组，所以的可能取值为0,1,2.∴==，==，==，（9分）∴的分布列为012∴==.19.(1)证明：如图，连接,因为该三棱柱是直三棱柱，,则四边形为矩形，由矩形性质得过的中点M在△中，由中位线性质得，又，,；(2)解：，,如图，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，,,,（8分）设平面的法向量为，则，令则，，（10分）又易知平面的一个法向量为，，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.（12分）20.解：（1）由题知，解得，椭圆E的标准方程为，离心率.（2）由（1）知，易知直线的斜率存在，设为，设,则，，，又是线段CD的中点，，故直线的方程为，化为一般形式即：.21.（1）解：因为，当时，令，所以当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；（3分）当时，恒成立，故此时函数在R上单调递增.（5分）（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点，所以，设函数的两个零点为，则，设，解得，所以，（8分）欲证，只需证明，设设单调递增，所以，解：（1）∵，∴，将代入上式整理得曲线的直角坐标方程为，由为参数）消去参数得曲线的普通方程为.(5分)（2）由（1）知曲线是圆心为（1,0），半径的圆