【解析】四川省成都龙泉中学高三上学期12月月考试数学（理）试题

成都龙泉中学2015级高三上学期12月月考试题数学（理工类）（考试用时：120分全卷满分：150分）注意事项：1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后，请将答题卡上交；第Ι卷（选择题部分，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2.复数（）A.B.C.D.3.已知等差数列的前项和为，若，等于（）．．．．4．已知实数a=1.70.3，b=0.90.1，c=log25，d=log0.31.8，那么它们的大小关系是（）A．c＞a＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞b＞a＞d D．c＞a＞d＞b5.定义一种运算，若，当有5个不同的零点时，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6．一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为边长为1的正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是（）A.B.1C.D.7.已知平面向量，夹角为，且，，则与的夹角是()A.B.C.D.8.四棱锥的底面是一个正方形，平面，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是()A．B．C．D．9.设，为单位向量，满足，非零向量，则的最大值为（）A. B. C. D.10.已知如图所示的程序框图的输入值，则输出值的取值范围是（）A． B． C． D．11．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7000元，那么可产生的最大利润是()A．29000元B．31000元C．38000元D．45000元12．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是双曲线在第一象限内的点，直线分别交双曲线的左、右支于另一点，若，且，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选做题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分13．点P从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为.14.的展开式中的常数项为.（用数字作答）___.16.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______．三、解答题:（本题包括6小题，共70分。要求写出证明过程或演算步骤）17.（本题满分12分）如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．18.（本题满分12分）右面茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示.(1)如果x＝6，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；(2)如果x＝7，从学习次数大于7的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20的概率.19.（本小题满分12分）如图，多面体中，四边形是菱形，,，相交于，∥，点在平面ABCD上的射影恰好是线段的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角（锐角）的余弦值．20.（本小题满分12分）已知，是的导函数．（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．21.如图，已知椭圆：的离心率为，、为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2，、为椭圆上异于、的两点，且直线的斜率等于直线斜率的2倍．（Ⅰ）求证：直线与直线的斜率乘积为定值；（Ⅱ）求三角形的面积的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。22.（本小题满分10分）（选修44：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，设倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点、．（I）若，求线段的中点的直角坐标；（II）若直线的斜率为，且过已知点，求的值．23.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数，不等式的解集为（2，4）．（1）求实数的值；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围．成都龙泉中学2015级高三上学期12月月考试题数学（理工类）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1—5ABCAB6—10DABDB11—12CB二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分13.14.15．16.三、解答题:（本题包括6小题，共70分。要求写出证明过程或演算步骤）17.解：1）由正弦定理得：=，即=，所以BC=4sinθ．又∵∠C=π﹣﹣θ，∴sinC=sin（π﹣﹣θ）=sin（+θ）．∴=即=，∴AB=4sin（+θ）．6分（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，所以，8sin（+θ）×=6，整理，得sin（+θ）=．∵0＜+θ＜π，∴+θ=或+θ=，∴θ=，或θ=．∴△ABC是直角三角形．12分18.（本题满分12分）解:(1)当x＝6时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：6，7，8，11，所以平均数为x－＝eq\f(6＋7＋8＋11,4)＝8，方差为s2＝eq\f(1,4)[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(11－8)2]＝eq\f(7,2).(2)甲组中学习次数大于7的同学有3名，记为A1，A2，A3，他们去图书馆学习次数依次为9，11，12；乙组中学习次数大于7的同学有2名，记为B1，B2，他们去图书馆学习次数依次为8，11；从学习次数大于7的学生中选两名学生，所有可能的结果有10个，它们是：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2用事件C表示：“选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：A1B2，A2B2，A3B1，A3B2，故根据古典概型，选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于20的概率为P(C)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，则EH⊥平面ABCD∵BD在平面ABCD内，∴EH⊥BD┄┄┄┄┄2分又菱形ABCD中，AC⊥BD且EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF内∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF┄┄┄┄┄5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，以H为原点，如图所示建立空间直角坐标系Hxyz┄┄┄┄┄┄┄6分∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，即∠EAH＝45°，又菱形ABCD的边长为4，则各点坐标分别为,E(0,0,)……7分易知为平面ABCD的一个法向量，记=，=,=∵EF//AC，∴┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分设平面DEF的一个法向量为（注意：此处可以用替代）即＝,令，则，∴┄┄…………9分∴平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为.┄┄┄┄┄┄12分20（本小题满分12分）解：（Ⅰ），，，当时，恒成立，无极值；当时，，即，由，得；由，得，所以当时，有极小值.（Ⅱ）令，则，注意到，令，则，且，得；，得，∴，即恒成立，故，当时，，，于是当时，，即成立.当时，由（）可得（）.，故当时，，于是当时，，不成立.综上，的取值范围为．21.解：（Ⅰ）．，故．（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设：与轴的交点为，代入椭圆方程得，设，，则，，由，得，得，，得或．或，所以过定点或，点为右端点，舍去，，令（），，，，当直线的斜率不存在时，，，，即，解得，，，所以的最大值为.22.（本小题满分10分）（选修44：坐标系与参数方程）解：（I）由曲线（为参数），可得的普通方程是．…………2分当时，直线的参数方程为（为参数），代入曲线的普通方程，得，……………3分得，则线段的中点对应的，故线段的中点的直角坐标为．……………5分（II）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，化简得，…………………7分则，…9分由已知得，故．……………10分23.（本小题满分10分）选修4