苏教版五年级数学下册：列方程解决实际问题教案（第9课时）

苏教版五年级数学下册：列方程解决实际问题教案（第9课时）

一、教学指导思想与理论依据

本节课的设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，强调数学与现实世界的紧密联系。教学以“模型意识”与“应用意识”的培养为内核，引导学生经历“从现实生活抽象出数学问题—建立方程模型—求解模型—解释与验证”的完整数学建模过程。我们摒弃单纯技能训练的传统模式，将方程视为刻画现实世界数量关系的有效工具，着力于发展学生的符号意识、抽象能力和推理能力。

设计融入了建构主义学习理论，尊重学生从算术思维向代数思维过渡的关键期认知特点。通过创设结构化、富有挑战性的问题情境，引导学生在自主探究、合作交流中主动完成认知结构的重组与顺应，实现思维水平的跃迁。同时，贯彻“跨学科实践”理念，在问题设计中自然融入科学（如天平平衡）、经济（简单买卖）、体育等元素，拓宽学生的认知视野，体验数学的普遍应用价值。

二、教学背景与学情分析

教材分析：

本节课位于苏教版五年级下册第一单元“简易方程”的后期。在此之前，学生已经理解了方程的意义，掌握了等式的性质，并学会了利用等式性质解形如x±a=b、ax=b、ax±b=c的简易方程。本课时是对方程知识的综合应用，旨在引导学生将所学的方程知识迁移到解决稍复杂的实际问题中，是连接方程知识与现实世界的桥梁，也是培养学生问题解决能力的关键节点。教材通常呈现如“和倍”、“差倍”、“行程相遇”、“购物总价”等典型数量关系问题，为本课提供了基本的问题原型。

学情分析：

五年级学生正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的时期。他们的思维特点表现为：

1.思维惯性：已熟练掌握算术方法解决实际问题，习惯于寻找“已知数”进行运算，对设未知数“x”参与列式存在心理陌生感和思维惰性，往往觉得“多此一举”。

2.认知基础：已经初步理解了方程是含有未知数的等式，掌握了基本的解方程技能，具备了学习列方程解应用题的必要知识储备。

3.能力缺口：寻找复杂情境中的“等量关系”是学生面临的最大难点。他们不擅长将文字叙述的数量关系转化为抽象的数学等量式。同时，如何合理设未知数（直接设或间接设），以及列方程后的检验习惯，都是需要重点培养的能力。

4.学习动机：对与生活紧密相关、具有一定挑战性和趣味性的问题感兴趣，喜欢通过合作探究来解决问题。

因此，教学设计的核心在于如何设计有效的活动，打破学生的算术思维定势，让他们真切感受到方程法在理清复杂数量关系时的优越性，从而主动接纳并运用代数思维。

三、教学目标

基于核心素养与学情，确立以下三维教学目标：

1.知识与技能：

1.能在具体情境中，找出实际问题中的等量关系。

2.初步学会列方程解决含有两个未知条件的、稍复杂一步或两步计算的实际问题。

3.掌握列方程解决实际问题的基本步骤，并能自觉进行检验。

2.过程与方法：

1.经历将现实问题抽象为方程模型的过程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。

2.通过对比算术解法与方程解法，感受方程思想的优越性，初步完成从算术思维向代数思维的过渡。

3.在分析数量关系、寻找等量关系的活动中，发展分析、比较、抽象和概括的能力。

3.情感、态度与价值观：

1.感受方程与现实生活的密切联系，体验用数学知识解决实际问题的成功与乐趣。

2.在解决问题的过程中，养成独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯。

3.逐步形成模型意识和应用意识，增强学习数学的自信心。

四、教学重难点

1.教学重点：寻找实际问题中的等量关系，并据此列出方程。

2.教学难点：理解并分析实际问题中复杂的数量关系，准确建立等量关系式；克服算术思维定势，主动选择用方程解决问题。

五、教学准备

1.教师准备：交互式多媒体课件（内含动态情境图、天平动画、关键问题提示）、实物简易天平及砝码、学习任务单、板书设计卡片。

2.学生准备：课本、练习本、文具、基础方程知识。

六、教学过程实施（详细展开）

(一)情境导入，孕伏关联(预计时间：8分钟)

1.活动启思——“天平中的平衡”

1.教师行动：出示实物天平（或精确动画）。左盘放一个未知重量的积木（标记为x克）和50克的砝码，右盘放200克的砝码。天平平衡。

2.师生对话：

T：“同学们，天平平衡说明了什么？”

S：“左右两边的重量相等。”

T：“你能用一个数学式子表示这种相等关系吗？”

S：“x+50=200。”（教师板书）

T：“这里的x代表什么？这个等式叫什么？”

S：“代表积木的重量，是方程。”

3.设计意图：从最直观的物理平衡（跨学科联系）引入等量关系，复习方程概念，为“寻找等量关系”这一核心重点做直观铺垫。

2.问题挑战——“水果店里的数学”

1.教师行动：课件呈现情境：小丽妈妈在水果店买水果。苹果每千克8元，她买了若干千克，一共付了40元。

2.教师提问：

1.3.“你能立刻知道妈妈买了多少千克苹果吗？怎么想的？”（40÷8=5，算术法）

2.4.“如果我用方程来思考，你认为题目中‘隐藏’着一个什么样的相等关系？”（总价=单价×数量）

3.5.“如果我们设买了x千克，你能根据这个相等关系列出方程吗？”（8x=40）

6.设计意图：从一个极其简单、学生口算即可解决的问题入手，降低起点。目的不是解这个方程，而是清晰地示范“从问题中提炼等量关系—设未知数—根据等量关系列方程”的思维流程，让学生初步感知列方程解题的“框架”。

3.认知冲突——“当问题变复杂时”

1.教师行动：迅速变换情境，增加复杂性：“如果妈妈买了2千克香蕉和3千克苹果，一共花了46元。已知苹果每千克8元，香蕉每千克多少元？”

2.教师提问：“现在，你还能一眼看出答案或者轻松地用一步算式解决吗？”

3.学生活动：学生独立思考片刻，多数会感到困难，自然产生认知冲突。

4.教师引导：“当问题中的数量关系变得复杂，一步算术很难解决时，我们能不能借助刚才的‘框架’，请方程这个‘助手’来帮忙呢？今天，我们就来深入学习如何‘列方程解决实际问题’。”（自然揭示课题，并板书完整课题）

(二)探究新知，建模导学(预计时间：22分钟)

核心例题：小丽妈妈买水果，买了2千克香蕉和3千克苹果，一共花了46元。已知苹果每千克8元，香蕉每千克多少元？

1.第一步：审题与分析，寻找“关系轴心”——等量关系

1.学生活动（独立学习）：默读题目，用笔圈画出关键条件和问题。思考：“题目讲了一件什么事？涉及到哪些数量？”

2.小组合作（协作探究）：

1.3.任务一：将这些数量（香蕉重量、苹果重量、苹果单价、总价、香蕉单价未知）进行分类（已知量、未知量）。

2.4.任务二：讨论并尝试用文字或图画的方式，表达出题目中“总共花了46元”这句话背后蕴含的数学相等关系。

5.全班分享与提炼（教师引导）：

1.6.学生可能表达为：“买香蕉的钱+买苹果的钱=一共花的钱”。

2.7.教师肯定并板书此文字等量关系式。这是将生活语言转化为数学语言的关键一步。

3.8.深度追问：“‘买香蕉的钱’怎么算？‘买苹果的钱’又怎么算？”引导学生将文字关系式进一步具体化。

4.9.形成链式关系：香蕉的总价+苹果的总价=总花费→(香蕉单价×香蕉重量)+(苹果单价×苹果重量)=46元。

5.10.设计意图：将寻找等量关系作为解决问题的“战略制高点”，投入充足时间和多种活动形式（独学、互学、群学），让学生经历从模糊到清晰、从具体到抽象的思维过程。这是突破重难点的核心环节。

2.第二步：设元与表征，引入“代数代表”——设未知数

1.教师提问：“在这个具体化的等量关系中，哪个量是未知的？”

2.学生回答：香蕉的单价。

3.教师引导：“在方程中，我们习惯用字母x来表示未知数。所以，我们设香蕉每千克x元。”（板书：解：设香蕉每千克x元。）

4.强调规范：说明“设”的规范性，并指出“x”后面带上单位（元），与算术答句的区别。

3.第三步：列式与构建，搭建“数学模型”——列出方程

1.学生活动：邀请学生根据具体化的等量关系和所设的未知数，尝试独立列出方程。

2.板书示范：

根据：香蕉的总价+苹果的总价=总花费

列出：2x+3×8=46

3.关键讨论点：

1.4.“2x”表示什么？（2千克香蕉的总价）

2.5.“3×8”表示什么？（3千克苹果的总价）

3.6.方程两边的意义分别是什么？（左边表示计算出的总价，右边是已知的总价）

7.设计意图：让学生清晰地看到，列方程就是将已找到的、用数学符号具体化的等量关系“抄写”下来。方程的左右两边在意义上是对等的。

4.第四步：求解与检验，完成“模型求解”——解方程并检验

1.学生活动：独立解方程2x+24=46

。

2.板书规范解答过程：

解：2x+24=46

2x+24-24=46-24

2x=22

2x÷2=22÷2

x=11

3.检验教学（不可或缺的环节）：

1.4.方法指导：检验不是重算一遍方程，而是将解得的x=11代入原题情境进行验证。

2.5.学生口述检验：香蕉：11元/千克，买2千克是22元；苹果：8元/千克，买3千克是24元；总价：22+24=46元，与题目条件相符。

3.6.教师强调：养成“口头检验”或“书面检验”的习惯，是确保答案正确的关键，也是方程应用严谨性的体现。

7.完整答句：板书“答：香蕉每千克11元。”

5.第五步：回顾与对比，感悟“思想优势”——方法对比

1.教师组织讨论：“我们成功解决了问题。现在，请大家回想一下，如果不列方程，用以前的算术方法该怎么思考？”

2.学生尝试表述算术思路：“先求苹果花了多少钱（3×8=24元），再从总价里减去苹果的钱得到香蕉的钱（46-24=22元），最后求香蕉单价（22÷2=11元）。”教师板书算术算式：(46-3×8)÷2

。

3.对比与升华：

1.4.思维路径对比：算术法是“逆向思维”，从问题出发，一步步倒推回去找已知数。方程法是“顺向思维”，直接根据等量关系，让未知数x和已知数一起参与列式，思维过程更直接。

2.5.沟通联系：其实算术式(46-3×8)÷2

就是由方程2x+24=46

变形推导出来的。方程像一个“思维记录仪”，把数量关系原原本本地记录下来。

3.6.教师总结：“对于这种关系稍复杂的问题，列方程是让我们的思维‘走直路’，而算术法可能需要‘绕弯’。随着问题越来越复杂，‘直路’的优势会越来越明显。”

7.设计意图：通过直观对比，让学生深刻体会代数思维的优越性，从“不得不学”转向“主动想用”，实现思维方式的积极转变。

(三)变式练习，分层巩固(预计时间：12分钟)

遵循“理解—掌握—迁移—创造”的认知规律，设计分层练习。

层次一：基础巩固（等量关系模仿）

1.题目1（和倍问题雏形）：校园里杨树和柳树一共有60棵，杨树的棵数是柳树的2倍。柳树有多少棵？

2.引导：重点分析“一共”和“是…的2倍”对应的等量关系。让学生独立完成设、列、解、检、答的全过程。关键讨论：设谁为x？（通常设一倍量为x，即设柳树为x棵）等量关系是什么？（柳树棵数+杨树棵数=总棵数，即x+2x=60）

3.设计意图：巩固基本步骤，接触新的数量关系类型（倍数关系），学习如何根据题意设未知数。

层次二：灵活应用（等量关系转化）

1.题目2（差量问题）：小明的身高是152厘米，比小华高8厘米。小华的身高是多少厘米？

2.挑战点：学生容易列出错误方程x+8=152

或152-x=8

。引导学生分析“比…高”的含义，厘清谁高谁矮。关键是通过线段图，明确等量关系可以是“小华身高+8=小明身高”或“小明身高-小华身高=8”。让学生尝试用不同的等量关系列方程，体会解相同。

3.设计意图：训练学生处理表示“差”的语言表述，学会用线段图辅助分析，并理解同一问题可以列出不同但等价的方程。

层次三：综合拓展（关系复合与跨学科）

1.题目3（行程相遇问题）：两地间的铁路长350千米。甲、乙两列火车同时从两地相对开出，2.5小时后相遇。甲车平均每小时行70千米，乙车平均每小时行多少千米？

2.支持策略：动态课件演示两车相对而行的动画。小组合作：这属于哪类问题？基本等量关系是什么？（路程=速度×时间）本题中，“总路程”由谁共同完成？（甲路程+乙路程=总路程）请根据等量关系列出方程。

3.学生列式：70×2.5+2.5x=350

或2.5×(70+x)=350

。

4.设计意图：引入经典的行程问题模型，渗透运动与空间观念（跨学科联系），检验学生能否在更复杂的动态情境中识别并应用等量关系，同时鼓励列法的多样性。

(四)课堂小结，反思提升(预计时间：5分钟)

1.知识结构化小结

1.教师引导学生以思维导图或流程图的形式，共同总结列方程解决实际问题的一般步骤：

1.审题→找出未知量，分析数量关系。

2.设元→设未知数为x（带上单位）。

3.列方程→根据关键等量关系列出方程。

4.解方程→利用等式性质求解。

5.检验→将解代入原题检查是否符合题意。

6.作答→写出完整的答句。

2.教师强调：其中第1步“寻找等量关系”和第3步“列出方程”是最关键、最核心的环节。

2.思想方法升华

1.提问：“经过这节课的学习，你认为在什么情况下，列方程解决问题会特别有帮助？”

2.引导学生总结：当问题中的数量关系比较复杂、未知量不止一个、或者用算术法需要逆向思考较困难时，列方程（顺向思考）往往更简便、更清晰。

3.教师赠言：“方程就像一把万能钥匙，帮我们打开了用数学解决复杂现实问题的大门。它体现的是一种‘建模’思想，这是数学赋予我们的强大力量。”

3.课堂延伸与预告

1.“今天解决的问题，未知数都只有一个。下节课，我们将挑战含有两个未知量的问题，看看方程这把‘钥匙’如何继续大显神通。”

(五)作业设计，延伸学习

A组（基础达标）：

1.完成课本对应练习题。

2.根据“爷爷今年72岁，是孙子年龄的6倍”编一道用方程解决的问题，并解答。

B组（能力提升）：

1.一个长方形的周长是30厘米，长是宽的2倍。这个长方形的长和宽各是多少厘米？（提示：周长公式是什么？等量关系是什么？）

2.阅读数学故事：《丢番图的墓志铭》（简单介绍），感受方程在解决历史难题中的魅力。

C组（实践探究）：

选择家庭生活中一个涉及数量计算的实际问题（如：水电费计算、购物预算、旅行路程规划等），尝试用今天所学的方法，通过列方程来分析和解决，并记录过程。

七、板书设计（构思）

列方程解决实际问题

步骤：例题：买水果问题

1.找→等量关系（关键！）等量关系：香蕉总价+苹果总价=总钱数

2.设→设未知数为x。解：设香蕉每千克x元。

3.列→根据等量关系列出方程。2x+3×8=