初中数学九年级下册二次函数复习课专题：函数值大小比较探究教学设计

初中数学九年级下册二次函数复习课专题：函数值大小比较探究教学设计

一、教学基本信息

（一）课题名称：数形结合洞察本质——二次函数复习课之函数值大小比较专题

（二）授课年级：初中九年级

（三）课时安排：1课时（45分钟）

（四）教材版本：苏科版九年级数学下册

二、课标分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，二次函数是初中阶段函数学习的重要内容，也是连接高中函数知识的桥梁。对于二次函数的学习，要求学生会画二次函数的图象，通过图象理解二次函数的性质；能用二次函数解决简单的实际问题；能借助二次函数的图象或性质比较函数值的大小。本专题设计紧扣课标要求，摒弃机械的代数计算比较，强调【非常重要】“数形结合”思想的应用，引导学生【热点】在动态变化中洞察函数值变化的规律，发展学生的几何直观、推理能力和模型观念，为后续学习更复杂的函数奠定坚实的基础。

三、教材分析

“二次函数”是苏科版九年级下册第5章的内容，是初中数学的核心内容之一。本章内容螺旋上升，从定义、图象与性质，到确定表达式，再到实际应用，层层递进。本课“与二次函数相关的函数值大小比较”并非孤立的知识点，而是对二次函数图象（开口方向、对称轴、增减性）和性质（最值）的综合运用，是对本章知识的【难点】深度整合与提升。教材中虽未设独立章节，但在习题和中考中【高频考点】频繁出现。本课旨在通过专题复习的形式，帮助学生构建知识网络，提炼思想方法，提升解决综合问题的能力。

四、学情分析

九年级学生已具备一次函数、反比例函数的学习经验，并掌握了二次函数的基本概念、图象和性质。但面对函数值大小比较这类需要综合分析的问题时，学生往往存在以下障碍：一是思维定势，习惯于将点的坐标代入解析式通过计算或作差法比较，对于含参或动点问题感到无从下手；二是数形分离，不能自觉地运用图象的直观性来分析函数值的相对大小和变化趋势；三是对二次函数的对称性理解不够深刻，不能灵活利用对称点简化问题。因此，本课设计的核心在于引导学生【重要】回归定义，回到图象，从“形”的角度洞察“数”的本质。

五、教学目标

（一）知识与技能目标：掌握利用二次函数的增减性和对称性比较图象上两点函数值大小的方法；能根据点到对称轴的距离，结合开口方向，判断函数值的大小关系；能解决含参或动点背景下的函数值大小比较问题。

（二）过程与方法目标：通过观察、分析、归纳，经历从代数比较到几何直观的思维过程，深刻体会数形结合、分类讨论和转化思想在解决函数问题中的重要作用。【非常重要】

（三）情感态度与价值观目标：在探究活动中，培养学生严谨的逻辑推理习惯和勇于探索的科学精神，感受数学的简洁美与对称美，增强学习数学的信心。

六、教学重难点

（一）教学重点：运用二次函数的对称性和增减性，通过比较点到对称轴的距离来比较函数值的大小。

（二）教学难点：理解并掌握当抛物线开口方向不同时，函数值大小与点到对称轴距离的关系；解决含参数及动点最值问题。

七、教学方法与准备

（一）教学方法：采用启发式、探究式教学法，结合问题驱动，引导学生自主探究与合作交流。借助几何画板动态演示，将抽象的思维过程可视化，帮助学生突破难点。

（二）教学准备：教师制作几何画板课件；学生准备直尺、铅笔、草稿纸。

八、教学实施过程（核心环节）

（一）温故知新，唤醒经验

1.问题呈现：回顾二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质。

（1）二次函数的图象是什么形状？它的开口方向由什么决定？

（2）什么是二次函数的对称轴？什么是顶点？

（3）在对称轴的左右两侧，函数的增减性如何？

2.师生互动：教师通过提问，引导学生快速回顾核心知识点。学生口答，教师板书关键词：开口方向$a$、对称轴$x=h$、增减性（左减右增或左增右减）。

3.设计意图：【基础】通过复习旧知，激活学生原有的认知结构，为本节课的探究搭建“脚手架”，明确研究的核心要素。

（二）创设情境，引入课题

1.情境设置：展示一个具体的二次函数$y=x^2$的图象。在图象上任意取两点$A(-1,y_1)$，$B(2,y_2)$。

提出问题：如何比较$y_1$和$y_2$的大小？

2.学生活动：学生很容易想到两种方法。方法一：代入法，计算出$y_1=1$，$y_2=4$，所以$y_1<y_2$。方法二：观察图象，点$B$更高，所以$y_1<y_2$。

3.问题引申：若将函数改为$y=-x^2$，同样的两个点，结论还一样吗？为什么？

4.学生讨论：学生发现代入计算后$y_1=-1$，$y_2=-4$，$y_1>y_2$。从图象上看，点$B$更低，所以$y_1>y_2$。

5.教师追问：为什么同样的横坐标，换了函数，结论就相反了？这背后的决定因素是什么？

6.设计意图：从最简单、最熟悉的例子入手，引发认知冲突，让学生直观感受到函数值的大小不仅与点的位置有关，更与函数本身的性质（开口方向）密切相关。自然引出本节课的核心问题：如何更本质、更快捷地比较函数值的大小？从而揭示课题。

（三）合作探究，建构模型

1.探究活动一：对称轴“显灵”，距离定大小（$a>0$情形）

（1）问题驱动：以二次函数$y=(x-1)^2$为例。请同学们在草稿纸上画出草图，并标出对称轴$x=1$。现在给出三个点$P(-1,y_p)$，$Q(0,y_q)$，$R(4,y_r)$。

（2）任务一（直观感知）：不看计算，仅凭观察图象，你能快速判断出$y_p$，$y_q$，$y_r$的最小值是谁？最大值是谁？

（3）学生活动：观察草图，发现点$Q$离对称轴最近，它最低，所以$y_q$最小；点$R$离对称轴最远，它最高，所以$y_r$最大。初步感知：当$a>0$时，点离对称轴越近，函数值越小；离对称轴越远，函数值越大。

（4）任务二（定量验证）：计算三个点的函数值，验证你的猜想。

$y_p=(-1-1)^2=4$，$y_q=(0-1)^2=1$，$y_r=(4-1)^2=9$。

结论：$y_q<y_p<y_r$，猜想成立。

（5）任务三（理性归纳）：对于开口向上的抛物线（$a>0$），如何比较图象上任意两点的函数值大小？

引导学生归纳：第一步，确定对称轴。第二步，计算每个点到对称轴的距离$|x-h|$。第三步，【非常重要】距离越大，函数值越大；距离越小，函数值越小。函数值大小与点在对称轴的哪一侧无关，只与距离有关。

2.探究活动二：类比迁移，完善模型（$a<0$情形）

（1）问题驱动：若将函数改为$y=-(x-1)^2$，同样的三个点$P(-1)$，$Q(0)$，$R(4)$，此时$y_p$，$y_q$，$y_r$的大小关系又如何？

（2）学生活动：类比探究一的方法，先画出草图，观察点的“高低”。发现点$Q$离对称轴最近，但它最高（顶点附近），所以$y_q$最大；点$R$离对称轴最远，它最低，所以$y_r$最小。

（3）结论验证：代入计算$y_p=-4$，$y_q=-1$，$y_r=-9$。得到$y_r<y_p<y_q$。

（4）归纳总结：对于开口向下的抛物线（$a<0$），比较函数值大小的法则恰恰相反：【重要】点到对称轴的距离越大，函数值越小；距离越小，函数值越大。

（5）教师点睛：至此，我们建立了一个强大的比较模型。比较二次函数图象上点纵坐标的大小，核心是比较点到对称轴的“水平距离”，并结合抛物线的“开口方向”。

3.探究活动三：对称点妙用，化繁为简

（1）问题呈现：已知点$A(-3,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(5,y_3)$在二次函数$y=2x^2-8x+c$的图象上。比较$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系。

（2）问题分析：此题给的不是顶点式，而是一般式。直接代入比较，计算量大且涉及参数$c$。我们能否用刚学的模型？

（3）学生探究：

第一步：求对称轴。由$y=2x^2-8x+c$，得对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\times2}=2$。

第二步：计算各点到对称轴的距离。

$d_A=|-3-2|=5$，$d_B=|1-2|=1$，$d_C=|5-2|=3$。

第三步：因为$a=2>0$，开口向上，函数值随距离增大而增大。所以$y_1>y_3>y_2$。

（4）思维升华：我们甚至不需要知道$c$的具体值，也不需要知道点的具体坐标，只需要知道点的横坐标和对称轴，就能比较大小。这就是“数形结合”的魅力。

（5）变式追问：能否利用对称性找到点$A$关于对称轴的对称点$A‘$？其坐标是多少？$y_A$与$y_{A’}$有什么关系？比较$y_{A‘}$与$y_B$的大小，你得到了什么结论？

（6）学生发现：$A’$的坐标为$(7,y_1)$。由对称性，$y_1=y_{A‘}$。现在比较$y_{A’}$与$y_B$，$A‘$离对称轴距离为5，$B$离对称轴距离为1，开口向上，所以$y_{A’}>y_B$。这种方法将点$A$转化到对称轴的同一侧，利用单调性进行比较，【基础】体现了转化思想。

（7）设计意图：本环节层层递进，通过三个探究活动，引导学生从特殊到一般，从直观感知到理性分析，自主建构并完善了比较函数值大小的数学模型。特别是探究三，将模型应用于一般式，并引入对称点法，拓宽了学生的思维视野，提升了思维的灵活性。

（四）变式训练，深化理解

1.变式一：含参问题

（1）题目：已知点$A(-2,y_1)$，$B(4,y_2)$都在二次函数$y=(x-1)^2$的图象上，若再增加一个点$C(m,y_3)$，且$y_2<y_3<y_1$，请求出$m$的取值范围。

（2）师生共析：

第一步：确定基准。对称轴$x=1$，$a=1>0$。

计算$d_A=|-2-1|=3$，$d_B=|4-1|=3$。说明$y_1=y_2$。这是一个非常重要的发现！【热点】

第二步：条件$y_2<y_3<y_1$等价于$y_2<y_3<y_2$？这不可能，说明条件隐含了$y_1=y_2$这一层关系后，不等式变为$y_2<y_3<y_2$，这是矛盾的。

第三步：重新审视。原题可能隐含了$A$、$B$两点纵坐标相同这一条件吗？不，它们只是关于对称轴对称的点，纵坐标必然相等。所以$y_1=y_2$是恒成立的。那么条件$y_2<y_3<y_1$就变成了$y_2<y_3<y_2$，这无解。

第四步：修正与讨论。如果题目意图是$y_2<y_3<y_1$，在$y_1=y_2$的情况下，这是不可能的。所以可能题目本意是$y_1<y_3<y_2$？或者$y_2<y_3<y_1$对于不同的$a$值？此处通过“矛盾”引导学生进行更深入的思考。

第五步：假设原意是比较$A(-2)$，$B(4)$和一个动点$C(m)$，且$y_2<y_3<y_1$。由于$y_1=y_2$，这个条件要求$y_3$同时大于又小于同一个数，不可能。因此，此题应改为$y_1<y_3<y_2$，求$m$范围。

第六步：求解。要使$y_1<y_3<y_2$，即$y_3$要介于$y_1$和$y_2$之间。因为$a>0$，函数值越大，点离对称轴越远。$y_1$和$y_2$对应距离3。所以$y_3$对应的距离$|m-1|$必须小于3，才能使得$y_3<y_2$？注意：$y_1$是较大的？不对，$y_1=y_2$是同一个值。$y_1<y_3<y_2$意味着$y_3$要大于$y_1$且小于$y_2$，但$y_1=y_2$，所以$y_3$不可能既大于又小于同一个数。这说明条件设置不严谨。

第七步（引导正确方向）：我们调整条件为“$y_1<y_3<y_2$”，但$y_1=y_2$，仍不可能。因此，此变式的真正价值在于让学生认识到，当给出的两点关于对称轴对称时，它们的函数值相等。此时若想插入第三个点使其函数值介于两者之间，是不可能的。这本身就是一个重要的结论。若要设计可解的含参问题，通常给定的两点是不关于对称轴对称的。

第八步（重新设计题目）：已知点$A(-3,y_1)$，$B(5,y_2)$在$y=(x-1)^2$上，点$C(m,y_3)$也在图象上，且$y_2<y_3<y_1$，求$m$的取值范围。

第九步（求解新题）：对称轴$x=1$，$d_A=4$，$d_B=4$，$y_1=y_2$。矛盾依旧存在。说明这个模型下，只要两点关于对称轴对称，就无法插入一个点使其纵坐标介于两者之间。

第十步（终极结论）：通过这个看似“矛盾”的变式，我们深刻理解了对称点的纵坐标相等这一性质，以及“介于两者之间”与“距离”的关系。含参问题的核心是建立关于距离的不等式。

（3）设计意图：【难点】含参问题是中考的热点，也是学生的痛点。通过这种层层递进的设问和制造认知冲突的方式，迫使学生跳出机械计算的圈子，深入理解比较法则的本质，提升分析问题和逻辑推理的严密性。

2.变式二：动点与最值

（1）题目：点$P$在抛物线$y=-x^2+2x+3$上移动，点$Q$的坐标为$(2,1)$。当$P$运动到何处时，$P$、$Q$两点间的距离最小？

（2）问题转化：这是一个看似与函数值比较无关的问题，但可以巧妙转化。两点间的距离最小，通常需要代数运算。但我们能否用二次函数的知识来思考？

（3）引导：如果$PQ$的距离最小，那么以$Q$为圆心，以最小距离为半径的圆将与抛物线相切。但这个思路较复杂。

（4）另一视角：考虑$P$的坐标$(x,-x^2+2x+3)$。$PQ^2=(x-2)^2+(-x^2+2x+3-1)^2$。化简后是一个四次函数，初中无法解决。

（5）优化视角：引导学生回归本课主题——函数值比较。我们能否将$PQ$分解为水平距离和竖直距离？$P$和$Q$的横坐标分别为$x$和$2$，纵坐标分别为$y_p$和$1$。$PQ$的距离受两个方向影响。但如果我们固定横坐标，研究纵坐标之差，这正好是比较函数值的大小。

（6）降维思考：过$Q$作$QN\perpx$轴，交抛物线于点$M$。当$P$运动到$M$时，$P$和$Q$的竖直距离$|y_p-1|$是多少？此时$PM$线段最短吗？不，$PM$是竖直距离，不是$PQ$。

（7）回归模型：我们换个角度，考虑抛物线上的点$P$到直线$y=1$的距离。这个距离就是$|y_p-1|$。要使$PQ$最小，不仅要考虑竖直距离，还要考虑水平距离。但如果我们能找到一条以$Q$为焦点，抛物线为准线的某种曲线？这超纲了。

（8）巧妙构造：引入一个辅助函数$g(x)=-x^2+2x+3-1=-x^2+2x+2$。$|g(x)|$表示的是抛物线上点与水平线$y=1$的竖直距离。我们想要$PQ$最小，即$(x-2)^2+[g(x)]^2$最小。这个问题虽然不能直接归结为函数值比较，但$g(x)$本身是一个二次函数，求其值域或最值，正是本课所学。当$x$为何值时，$g(x)$的绝对值可能较小？这需要结合$g(x)$的图象分析。

（9）继续探究：$g(x)=-(x-1)^2+4$。这是一个开口向下的抛物线，顶点$(1,4)$。当$x$从1向两边移动时，$g(x)$的值从4逐渐减小，可以变为0，甚至负值。$g(x)=0$时，解$-(x-1)^2+4=0$，得$x=3$或$x=-1$。此时$|g(x)|=0$，竖直距离为0，即抛物线上有点$(3,1)$和$(-1,1)$。那么点$(3,1)$或$(-1,1)$到$Q(2,1)$的水平距离分别为1和3。所以$PQ$的距离分别为1和3。那么最小值是不是1？还需要检查其他点。

（10）综合判断：因为$g(x)$的最大值为4，最小值为负无穷，所以$|g(x)|$可以取0。同时，水平距离$|x-2|$的最小值可以取0（当$x=2$时）。但是当$x=2$时，$g(2)=2$，$|g(2)|=2$，此时$PQ=2$。通过比较，我们找到一个点$(3,1)$，使得$PQ=1$，这比2小。那么有没有可能$PQ<1$？如果$P$在某处，使得$|x-2|$很小，同时$|g(x)|$也很小，乘积可能更小。例如$x=2.5$，$|x-2|=0.5$，$g(2.5)=-(1.5)^2+4=-2.25+4=1.75$，$|g|=1.75$，$PQ^2=0.25+3.0625=3.3125$，$PQ≈1.82$，大于1。似乎$(3,1)$就是最优解。

（11）结论：当$P$坐标为$(3,1)$时，$PQ$最小为1。这个点恰好是抛物线上纵坐标为1的点，也是$g(x)=0$的解。我们发现，当$P$的纵坐标与$Q$的纵坐标相等时，问题转化为求水平距离的最小值，显然在$P$位于$Q$正下方或正上方时取得，但此处$P$横坐标为3或-1，使得$PQ$为1或3。最小值为1。

（12）设计意图：此变式综合性极强，看似是距离问题，实则引导学生将复杂问题分解，利用本课的函数值比较思想（尤其是对$g(x)$的值域和最值分析）作为工具，进行探索和尝试。虽然不能一步到位，但这个过程极大地锻炼了学生综合运用知识解决问题的能力，体现了数学建模的核心素养。

（五）课堂小结，画龙点睛

1.学生自主总结：本节课你学到了哪些比较二次函数函数值大小的方法？其中最关键的是什么思想？

2.师生共同提炼：

（1）核心方法：【非常重要】“一看开口，二找轴，三算距离定大小”。

（2）重要补充：【重要】利用对称性，将不同侧的点转化到同侧，再利用增减性比较。

（3）思想灵魂：【非常重要】“数形结合”思想是贯穿始终的主线，它将抽象的代数问题转化为直观的几何问题。

（4）注意事项：比较函数值大小与点在对称轴的左右无关，只与到对称轴的距离有关；但必须严格结合开口方向进行判断。

（六）布置作业，巩固提升

1.基础巩固（必做）：

（1）已知点$A(-4,y_1)$，$B(-2,y_2)$，$C(3,y_3)$在函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$的图象上，比较$y_1,y_2,y_3$的大小。

（2）已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$(-3,0)$和$(1,0)$，且$a<0$。点$A(-2,y_1)$，$B(2,y_2)$，$C(0,y_3)$在其图象上，试比较$y_1,y_2,y_3$的大小。