2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题

绝密启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分。1.请仔细阅读题目要求，确保理解题意后再作答。

2.答题前，请将姓名、班级、学号等信息填写在指定位置。

3.所有答案必须书写在答题卡相应区域内，超出答题区域无效。

4.选择题请用2B铅笔填涂，非选择题请使用黑色签字笔作答。

5.保持卷面整洁，字迹工整，不得使用涂改液或修正带。

6.考试时间为90分钟，请合理安排答题时间。

7.交卷前请仔细检查，确保无遗漏。1.答题前，请将姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：请使用黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内作答。写在试卷、草稿纸和答题卡上非答题区域的答案一律无效。4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请将正确选项填涂在答题卡相应的位置上。1.已知集合，则（）AB.C.D.2.若，则（）A.B.C.D.3.已知向量，若，则（）A.B.C.1D.24.已知，则（）A.B.C.D.5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）AB.C.D.6.已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（）A.B.C.D.7.当时，曲线与的交点个数为（）A.3

B.4

C.6

D.88.已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（）A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。9.随着一带一路国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（）（若随机变量Z服从正态分布，）A.B.CD.10设函数，则（）A.是的极小值点B.当时，C.当时，D.当时，11.设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（）A.B.点在C上C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点在C上时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________．13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.

**【解析】**

每轮比赛，甲、乙从各自剩余卡片中等可能随机选取一张进行比较。由于每轮选卡独立且等可能，总比赛结果对应所有可能的出卡顺序。

甲的四张卡片为{1,3,5,7}，乙的四张卡片为{2,4,6,8}。每轮比赛，甲、乙各出一张卡，共进行四轮，因此总情况数为(4!×4!)=576种（甲出卡顺序4!种，乙出卡顺序4!种）。

甲的总得分不小于2，即甲得2分、3分或4分。考虑对立事件：甲得0分或1分。

由于每轮比较中，甲的卡片数字总小于乙的卡片数字（因为甲最小为1，乙最小为2，且甲最大7小于乙最大8），因此甲不可能得4分（即全胜）。实际上，甲每轮均负，即得0分是可能的；甲胜1轮得1分也是可能的。

但注意：甲可能胜的轮次需满足甲出卡数字大于乙出卡数字。例如，甲出7时可能胜乙出2、4、6（但负于乙出8）；甲出5可能胜乙出2、4（但负于乙出6、8）等。

为计算概率，考虑所有可能的出卡顺序。由于对称性，可固定乙的出卡顺序，计算甲出卡顺序中满足条件的比例。

固定乙出卡顺序为(2,4,6,8)（顺序可任意固定，因对称）。则甲出卡顺序为1,3,5,7的某种排列。

对于甲的一种出卡顺序，与乙的固定顺序(2,4,6,8)逐轮比较：

-若甲第i轮出的数字大于乙第i轮数字（即大于2,4,6,8中对应值），则甲得1分；否则得0分。

甲总得分不小于2，即至少2轮甲的数字大于乙的该轮数字。

乙出卡顺序固定为(b1,b2,b3,b4)=(2,4,6,8)。

甲出卡顺序为(a1,a2,a3,a4)，是{1,3,5,7}的排列。

对于甲出卡顺序，定义：

-第1轮：a1vs2，甲胜当且仅当a1>2，即a1∈{3,5,7}

-第2轮：a2vs4，甲胜当且仅当a2>4，即a2∈{5,7}

-第3轮：a3vs6，甲胜当且仅当a3>6，即a3=7

-第4轮：a4vs8，甲胜当且仅当a4>8，但a4最大为7，故不可能胜

因此，甲最多可能胜3轮（第1、2、3轮），但第4轮必负。

甲总得分可能为0,1,2,3。

要求甲总得分不小于2，即得2分或3分。

考虑对立事件：甲得0分或1分。

计算甲得0分的情况：

甲每轮均负，即：

-a1≤2→a1=1

-a2≤4→a2∈{1,3}，但a1已用1，故a2=3

-a3≤6→a3∈{1,3,5}，但a1=1,a2=3已用，故a3=5

-a4≤8→a4=7（唯一剩余）

即甲出卡顺序必须为(1,3,5,7)

只有1种顺序使甲得0分。

甲得1分的情况：

甲恰好胜1轮。胜可能发生在第1、2或第3轮（第4轮不可能胜）。

Case1:胜第1轮（a1>2），其余轮负。

-a1>2→a1∈{3,5,7}

-第2轮负：a2≤4→a2∈{1,3}，但a1已取{3,5,7}中一，若a1=3则a2可为1；若a1=5或7则a2∈{1,3}

-第3轮负：a3≤6→a3∈{1,3,5}（需排除已用）

-第4轮负：a4=剩余卡（总满足≤8）

需仔细计数：

胜第1轮：a1∈{3,5,7}

(1)a1=3：

则剩余卡{1,5,7}

第2轮负：a2≤4→a2可为1（因1≤4）

然后剩余{5,7}

第3轮负：a3≤6→a3=5（因5≤6）

第4轮：a4=7

此情况：顺序为(3,1,5,7)

类似，a2也可为其他？a2只能为1（因为3已用，且需≤4，只有1可选）

故a1=3时，只有1种：a2=1,a3=5,a4=7

(2)a1=5：

剩余{1,3,7}

第2轮负：a2≤4→a2∈{1,3}

若a2=1：剩余{3,7}

第3轮负：a3≤6→a3=3

第4轮：a4=7

若a2=3：剩余{1,7}

第3轮负：a3≤6→a3=1

第4轮：a4=7

故a1=5时，有2种：(5,1,3,7)和(5,3,1,7)

(3)a1=7：

剩余{1,3,5}

第2轮负：a2≤4→a2∈{1,3}

若a2=1：剩余{3,5}

第3轮负：a3≤6→a3=3或5（均≤6）

但需注意：若a3=3，则a4=5；若a3=5，则a4=3

即两种子情况：(7,1,3,5)和(7,1,5,3)

若a2=3：剩余{1,5}

第3轮负：a3≤6→a3=1或5（均≤6）

两种：(7,3,1,5)和(7,3,5,1)

故a1=7时，有4种。

因此，胜第1轮的情况共：1+2+4=7种。

Case2:胜第2轮（a2>4），其余轮负。

-第1轮负：a1≤2→a1=1

-第2轮胜：a2>4→a2∈{5,7}

-第3轮负：a3≤6→a3∈{3,5}（但a2已取5或7，若a2=5则a3可为3；若a2=7则a3∈{3,5}）

-第4轮负：a4=剩余

具体：

a1=1

(1)a2=5：剩余{3,7}

第3轮负：a3≤6→a3=3（因3≤6）

a4=7

顺序：(1,5,3,7)

(2)a2=7：剩余{3,5}

第3轮负：a3≤6→a3=3或5

即两种：(1,7,3,5)和(1,7,5,3)

故胜第2轮共3种。

Case3:胜第3轮（a3>6，即a3=7），其余轮负。

-第1轮负：a1≤2→a1=1

-第2轮负：a2≤4→a2=3（因a1=1已用，且需≤4）

-第3轮胜：a3=7

-第4轮负：a4=5

顺序唯一：(1,3,7,5)

故1种。

因此，甲得1分的情况总数：7+3+1=11种。

综上，甲得0分或1分的情况数：1（得0分）+11（得1分）=12种。

甲出卡顺序总数为4!=24种（乙顺序固定）。

故甲总得分不小于2（即得2或3分）的情况数为：24-12=12种。

因此概率=12/24=1/2。

由于乙出卡顺序也可任意排列（对称），总概率相同。

故四轮后甲总得分不小于2的概率为1/2。

**答案：**

\boxed{\dfrac{1}{2}}四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求B；（2）若的面积为，求c．16.已知和为椭圆上两点.（1）求C的离心率；（2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．17.如图，四棱锥中，底面ABCD，，．（1）若，证明：平面；（2）若，且二面角的正弦值为，求．18.已知函数（1）若，且，求的最小值；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）若当且仅当，求的取值范围．19.设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．（1）写出所有的，，使数列是可分数列；（2）当时，证明：数列是可分数列；（3）从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分。1.请仔细阅读题目要求，确保理解题意。

2.答题前，请将姓名、班级、学号填写在指定位置。

3.所有答案必须书写在答题区域内，超出部分无效。

4.保持卷面整洁，字迹工整清晰。

5.考试时间为90分钟，请合理安排答题时间。

6.交卷前请检查是否完成所有题目。1.答题前，请将您的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：请使用黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内书写答案。答案若写在试卷、草稿纸或答题卡的非答题区域，均视为无效。4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请将正确选项填涂在答题卡相应的位置上。1.答案【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A5.答案【答案】B【6题答案】【答案】B【第7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有