30上篇 第二部分 单元四 专题五 高三数学第二轮总复习

单元四概率与统计第2部分

大单元突破——系统性复习上篇

大单元导学方案微贯通

知能融合专题五概率与统计及与其他知识的综合问题交汇型试题在近几年高考中频繁出现，与概率有关的交汇题往往是档次较高的综合题，综合考查学生的创新能力．该类题目背景取自现实，题型新颖，考查学生的阅读理解能力和数学建模能力．要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解．概率与统计的综合[例1]

(2025·昌平二模)在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习．该中学有初中生1200人，高中生800人．为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]共五个区间进行分组，所得样本数据如下表：使用次数分组区间初中生人数高中生人数[0，10)43[10，20)3829[20，30)4828[30，40)a17[40，50]63假设每个学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立．用频率估计概率．(1)估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数；(2)从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记X为这3人中高中生的人数，求X的分布列和数学期望；(3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于[20，30)的人数分别为Y1和Y2，比较D(Y1)与D(Y2)的大小．解：解：解：所以X的分布列为解：解：(2025·合肥三模)近年来，“社区咖啡”的理念在全国各地深入人心，“社区咖啡”主要采用手冲咖啡的模式．已知某款手冲咖啡的二段萃取时间在100s到110s之间，现将某咖啡师一个月内完成的1000次咖啡二段萃取时间进行统计，结果如图所示．(1)求a的值及这1000次二段萃取时间在[102，104)的次数；(2)求这1000次咖啡二段萃取时间的中位数以及平均数；(3)以频率估计概率，若从该咖啡师无数次的咖啡二段萃取时间中随机抽取3次，至少有2次萃取时间超过108s的概率．解：(1)由题意，利用频率分布直方图的性质，可得(0.025＋a＋0.175＋0.125×2)×2＝1，解得a＝0.050，则这一个月内咖啡萃取时间在[102，104)的次数为1000×0.05×2＝100.(2)前两组的频率之和为(0.025＋0.050)×2＝0.15，前三组的频率之和为(0.025＋0.050＋0.175)×2＝0.5，所以中位数为106s，解：所求平均数为101×0.05＋103×0.1＋105×0.35＋(107＋109)×0.25＝106.1(s).(3)萃取时间超过108s的频率为0.125×2＝0.25，概率、统计与函数、导数的综合(2)若不需要重新检验的每个产品的检验费用为120元，需要重新检验的每个产品两次检验费用为200元．除检验费用外，其他费用为2万元，且这500个产品全部检验，该企业预算检验总费用(包含检验费用与其他费用)为10万元．试预测该企业检验总费用是否会超过预算？并说明理由．解：解：解：构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制．(2)若0<p<10-4，10≤K≤20.证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．证明：证明：证明：故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．概率、统计方法的新定义解：解：本例