数学建模仿真教程-2.1 电池放电时间预测

CONTENTS目录01020304模块1初等模型模块2微积分模型模块3线性代数模型模块4概率与统计模型数学建模仿真教程0506模块5优化模型模块6多元统计模型07080910模块7综合评价模型模块8时间序列模型模块9空间解析几何模型模块10神经网络模型1112模块11差分方程模型模块12灰色预测模型Chapter章节2模块2本模块介绍了基于微积分的知识和方法建立数学模型的过程。其中，微积分主要包括函数、极限、导数、微分、积分、微分方程、级数等。数学建模仿真教程请使用数学建模方法研究以下问题：（1）用初等函数表示放电曲线，并进行误差分析。（2）如果在新电池使用中，以20A电流强度放电，测得电压为9.8V时，电池的剩余放电时间是多少？（本题来自全国大学生数学建模竞赛2016年C题）步骤一，模型假设（1）忽视温度、电池结构及制造工艺等因素对放电曲线的影响。（2）采样数据真实可靠，不存在系统性误差和登记性误差。步骤二，模型建立根据假设（1）和（2），忽视温度、电池结构及制造工艺等因素对放电曲线的影响，既不使用化学方法，也不使用物理方法，而是使用数学建模方法并依据采样数据来建立蓄电池的放电曲线。步骤二，模型建立步骤二，模型建立步骤二，模型建立步骤二，模型建立步骤二，模型建立2.参数估计

使用函数拟合方法对初等函数解析式中的参数进行估计。所谓函数拟合是指，已知平面上有一批数据点，要求找到一个函数，使得该函数在某种准则下与这些数据点尽可能接近，就是函数拟合问题。从几何意义上直观理解，就是求一条曲线，使得该曲线尽可能接近这些数据点，也称为曲线拟合问题。在函数拟合中常用的准则是最小二乘准则。观察表2.1可知，放电时间最大值在3700附近，而电压的最大值在11附近，二者存在较大的数量级差异，这会对函数拟合造成较大的误差。为了消除二者的数量级差异，需要把它们的取值作归一化处理。归一化处理的效果仅仅是把自变量和因变量的原始数据变换到区间[0,1]内，并不改变函数的单调性，所以放电曲线的函数形式是不变的。步骤二，模型建立步骤二，模型建立步骤二，模型建立步骤二，模型建立步骤二，模型建立小技巧：在函数拟合问题中，针对原始数据的归一化处理不是必须的，但如果模型的拟合误差太大，那么使用归一化方法处理原始数据，可显著提高模型的精度。归一化方法有多种，常用的有初值法、均值法、最大值法、最大-最小值法、均值-标准差法等，可根据原始数据的特征来选用。归一化之后，原始数据被压缩至0~1之间。步骤二，模型建立步骤二，模型建立将平均相对误差按照大小分级，如表2.4所示。规定：如果拟合误差在5%以下，则可以接受。步骤二，模型建立画出实际样本点和模拟放电曲线进行对比，如图所示。从图中可知，实际样本点和模拟放电曲线几乎粘合在一起了，拟合效果非常好。步骤二，模型建立小提示：在误差分析中，误差指标除了平均相对误差之外，还有均方误差（MSE）等，这些指标各有利弊，且有各自的前提条件，在选用时必须仔细推敲。例如，平均相对误差要求所有的真实值不能为0，否则就选用MSE指标。而MSE指标反映了误差平方（被夸大）之后的状况，不能反映原始误差的状况。步骤三，模型求解请扫码观看视频步