2025-2026年济南历下区第二学期八年级数学期中考试试题以及含答案

八年级数学第二学期期中考试题（考试时间120分钟满分150分）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.如图，在平行四边形ABCD中，若∠A=125∘，则∠B的度数是（）A.75∘B.65∘C.55∘D.45∘（第1题图）(第5题图)(第8题图)2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A.a(x+y)=ax+ayB.a2−a−2=a(a−1)−2C.(b+3)(b−3)=b2−9D.y2−4y+4=(y−2)23.多项式5m2n−10mn2中各项的公因式是（）A.mnB.5mnC.m2n2D.5m2n24.下列等式一定成立的是（）A.ab=a+1b+1B.ab=abb2C.ab=5.如图，在平面直角坐标系xOy中，的对角线交点为原点O，若点A的坐标为(m,

n)，则点C的坐标为（）A.(−m,

−n)B.(m,

−n)C.(−m,

n)D.(−n,

−m)6.在2026年米兰——科尔蒂纳丹佩佐冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续转播。据统计，这项赛事前a天日均收看人数为m万，后b天日均收看人数为n万，那么这(a+b)天该赛事的日均收看人数是（）A.m+n2万B.am+bnm+n万C.am+bna+b万7.2026年3月，广东省阳江市进行了一次海上无人机配送服务测试。已知在一次配送中无人机的飞行路程为2海里，快艇的航线路程为3海里，无人机的平均速度是快艇的2倍，且无人机比快艇的配送时间少10分钟。设快艇的平均速度为x海里/小时，根据题意可列分式方程（）A.3x−22x=16B.2x−32x=16C.32x−2x=8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90∘，AD=3，BC=9，∠C=45∘，点E为CD中点，连接AE，并延长交BC的延长线于点F，则线段AF的长度为（）A.10B.63C.12D.659.已知x是个位数字不为零的两位数，将x的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数y。若d=x−y，且d是某个整数的平方，则d可能的值为（）A.16B.25C.36D.6410.如图1，在△ABC中，AB=8，BC=63，∠ABC=30∘，DE是△ABC的中位线。点M，N分别是线段DE，BC上的点，连接MN。现将四边形DBNM和四边形MNCE分别按箭头所示的方向绕点D，E旋转180∘，使得点B，C均与点A重合，旋转后拼成的图形如图2所示。当点M，点N分别在线段DE，BC上运动时，有下列结论：①旋转后拼成的图形始终是平行四边形；②线段MN的最小值为2；③线段MN的最大值为213；④旋转后拼成图形的周长是123+2MN；⑤旋转后拼成图形的周长最大值与最小值之差为279−4。以上结论正确的有（）A.5个B.4个C.3个D.2个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.五边形的外角和是______12.当x=______时，分式x213.若多项式x2+1与一个单项式的和是一个多项式的平方，则这个单项式可以是______。（写出一个即可）14.如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：3a2+4ab+b2=______。（第14题图）（第16题图）15.在平行四边形ABCD中，∠BAD=120∘，对角线AC与BD相交于点O。已知点E，F分别在边AB，BC上，且AE=CF=3，连接CE与AF。若点M，N分别为AF，EC的中点，连接MN，则MN=______。三、解答题（本大题共10个小题，共90分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分6分）因式分解：(1)3a2−3b2；(2)x2−xy+14y217.（本小题满分7分）解方程：(1)3x−1=4x；(2)1x−218.（本小题满分7分）先化简，再求值：已知r=2026，求2r+2r2+19.（本小题满分8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC是的一条对角线，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F。求证：AE=CF。20.（本小题满分8分）我国古代数学名著《九章算术》里记载：“圆环形的面积为两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积”。小明设圆环形的面积为S，外圆的半径为R，外圆的周长为p，内圆的半径为r，内圆的周长为q，他想利用相关知识证明：S=12小明做出以下思考：利用圆的周长公式可得，R=p2π，r=利用圆的面积公式可得，圆环形的面积S=πR2−πr2……请根据以上信息，利用因式分解继续补充证明。21.（本小题满分10分）在由小正方形组成的7×7方格纸中，每个小方格的边长均为1。A，B，C三点在格点上，请在给定的网格中完成作图。(1)如图，将线段AB沿BC方向平移，使点B与点C重合，作出平移后的线段CD，连接AD，得到四边形ABCD；(2)四边形ABCD的面积为______，点P是四边形ABCD外一点，过点P作直线l，使直线l平分四边形ABCD的面积；(3)在图中的格点上找一个点Q，使得△QBC的面积为4，满足条件的点Q的个数为______。22.（本小题满分10分）问题：已知ab=1，求11+a+1小明在解决以上代数式求值的问题时，采取以下做法：已知ab=1，则a，b≠0，原式=abab+a+11+b=bb+1+1请阅读上述材料，解决下列问题：(1)已知ab=1，则11−a2(2)已知ab=1，求11−a202623.（本小题满分10分）为落实国家科学教育要求，提升校园实验教学质量。某中学计划采购甲、乙两种型号的实验室设备。甲型设备的单价比乙型设备的单价低400元，用60000元购买甲型设备的数量和用72000元购买乙型设备的数量相同。(1)求甲、乙两种型号设备的单价各是多少元；(2)该中学计划购买甲、乙两种型号的设备共20台，且甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，购买甲型设备多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？24.（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD中，BC=4

cm，点E从点A出发沿射线AD以1

cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2

cm/s的速度运动，设运动时间为t

s。(1)连接BD，EF，当EF经过BD的中点O时，求证：EO=OF；(2)请求出当t为何值时，以A，C，F，E为顶点的四边形是平行四边形？25.（本小题满分12分）【回归课本】(1)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC。求证：∠B=∠C。证明过程如下：请完成填空：①______；②______；【问题联想】(2)如图2，在(1)的条件下，延长CD至点P，使PD=CD，连接BP。若AB=5，AD=4，BC=10，求出BP的长。【问题解决】(3)如图3，在Rt△ABC中，点D，E分别为线段AB和线段AC上的点，且AD=EC，BD=AC，请直接写出线段BE和线段DC的数量关系。答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.如图，在平行四边形ABCD中，若∠A=125∘，则∠B的度数是（C）A.75∘B.65∘C.55∘D.45∘（第1题图）(第5题图)(第8题图)2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（D）A.a(x+y)=ax+ayB.a2−a−2=a(a−1)−2C.(b+3)(b−3)=b2−9D.y2−4y+4=(y−2)23.多项式5m2n−10mn2中各项的公因式是（B）A.mnB.5mnC.m2n2D.5m2n24.下列等式一定成立的是（B）A.ab=a+1b+1B.ab=abb2C.ab=5.如图，在平面直角坐标系xOy中，的对角线交点为原点O，若点A的坐标为(m,

n)，则点C的坐标为（A）A.(−m,

−n)B.(m,

−n)C.(−m,

n)D.(−n,

−m)6.在2026年米兰——科尔蒂纳丹佩佐冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续转播。据统计，这项赛事前a天日均收看人数为m万，后b天日均收看人数为n万，那么这(a+b)天该赛事的日均收看人数是（C）A.m+n2万B.am+bnm+n万C.am+bna+b万7.2026年3月，广东省阳江市进行了一次海上无人机配送服务测试。已知在一次配送中无人机的飞行路程为2海里，快艇的航线路程为3海里，无人机的平均速度是快艇的2倍，且无人机比快艇的配送时间少10分钟。设快艇的平均速度为x海里/小时，根据题意可列分式方程（A）A.3x−22x=16B.2x−32x=16C.32x−2x=8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90∘，AD=3，BC=9，∠C=45∘，点E为CD中点，连接AE，并延长交BC的延长线于点F，则线段AF的长度为（D）A.10B.63C.12D.659.已知x是个位数字不为零的两位数，将x的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数y。若d=x−y，且d是某个整数的平方，则d可能的值为（C）A.16B.25C.36D.6410.如图1，在△ABC中，AB=8，BC=63，∠ABC=30∘，DE是△ABC的中位线。点M，N分别是线段DE，BC上的点，连接MN。现将四边形DBNM和四边形MNCE分别按箭头所示的方向绕点D，E旋转180∘，使得点B，C均与点A重合，旋转后拼成的图形如图2所示。当点M，点N分别在线段DE，BC上运动时，有下列结论：①旋转后拼成的图形始终是平行四边形；②线段MN的最小值为2；③线段MN的最大值为213；④旋转后拼成图形的周长是123+2MN；⑤旋转后拼成图形的周长最大值与最小值之差为279−4。以上结论正确的有（B）A.5个B.4个C.3个D.2个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.五边形的外角和是___360°___12.当x=___3___时，分式x213.若多项式x2+1与一个单项式的和是一个多项式的平方，则这个单项式可以是___2x___。（写出一个即可）14.如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：3a2+4ab+b2=___（3a+b）（a+b）___。（第14题图）（第16题图）15.在平行四边形ABCD中，∠BAD=120∘，对角线AC与BD相交于点O。已知点E，F分别在边AB，BC上，且AE=CF=3，连接CE与AF。若点M，N分别为AF，EC的中点，连接MN，则MN=___32三、解答题（本大题共10个小题，共90分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分6分）因式分解：(1)3a2−3b2；(2)x2−xy+14y2=3（a2−b2）=（x－12y=3（a+b）（a－b）17.（本小题满分7分）解方程：(1)3x−1=4x；(2)1x−2解：3x=4x－4解：1+3（x－2）=x－1x=4x=2经检验，x=4是原方程的解经检验，x=2是原方程的增根，此方程无解18.（本小题满分7分）先化简，再求值：已知r=2026，求2r+2r2+解原式=2（=2r+1=r+1将r=2026代入得2026+1=202719.（本小题满分8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC是的一条对角线，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F。求证：AE=CF。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，且AB∥CD∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等）。∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90∘（垂直的定义）。在△AEB和△CFD中：∠AEB=∠CFD∴△AEB≌△CFD（AAS）∴AE=CF20.（本小题满分8分）我国古代数学名著《九章算术》里记载：“圆环形的面积为两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积”。小明设圆环形的面积为S，外圆的半径为R，外圆的周长为p，内圆的半径为r，内圆的周长为q，他想利用相关知识证明：S=12小明做出以下思考：利用圆的周长公式可得，R=p2π，r=利用圆的面积公式可得，圆环形的面积S=πR2−πr2……请根据以上信息，利用因式分解继续补充证明。∵圆环形的面积S=πR2−πr2∴S=π(R2−r2)∴S=π(R+r)(R−r)∵圆的周长公式为p=2πR，q=2πr∴R=R=p2π，r=∴R+r=p2π+q2π将R+r=p+q2πS=π·p+q2π·∴S=1221.（本小题满分10分）在由小正方形组成的7×7方格纸中，每个小方格的边长均为1。A，B，C三点在格点上，请在给定的网格中完成作图。(1)如图，将线段AB沿BC方向平移，使点B与点C重合，作出平移后的线段CD，连接AD，得到四边形ABCD；(2)四边形ABCD的面积为______，点P是四边形ABCD外一点，过点P作直线l，使直线l平分四边形ABCD的面积；(3)在图中的格点上找一个点Q，使得△QBC的面积为4，满足条件的点Q的个数为______。(1)作图步骤∵平移不改变线段的方向和长度，∴将点A沿BC方向平移，平移距离等于BC的长度，得到点D；连接CD、AD，则四边形ABCD即为所求平行四边形。（画图略）(2)四边形ABCD的面积与平分直线∵平移后四边形ABCD是平行四边形，由网格坐标可得：底BC=25，高=6∴面积=底×高=25×655∵平行四边形是中心对称图形，过对角线交点的直线平分其面积，∴连接AC、BD交于点O，过点P和点O作直线l，则l平分四边形ABCD的面积。(3)∵△QBC的面积为4，BC=25，由三角形面积公式=12底×高，得高h=2SBC∴点Q在与BC平行且距离为45在7×7方格中，格点上满足条件的点Q共有8个。22.（本小题满分10分）问题：已知ab=1，求11+a+1小明在解决以上代数式求值的问题时，采取以下做法：已知ab=1，则a，b≠0，原式=abab+a+11+b=bb+1+1请阅读上述材料，解决下列问题：(1)已知ab=1，则11−a2(2)已知ab=1，求11−a2026(1)∵ab=1，∴b=1a（a0，b≠∴11−a=11−a=11−a=11−a=1=1(2)∵ab=1∴b=1a（a0，b≠∴11−a2026=11−a2026=1－=1​23.（本小题满分10分）为落实国家科学教育要求，提升校园实验教学质量。某中学计划采购甲、乙两种型号的实验室设备。甲型设备的单价比乙型设备的单价低400元，用60000元购买甲型设备的数量和用72000元购买乙型设备的数量相同。(1)求甲、乙两种型号设备的单价各是多少元；(2)该中学计划购买甲、乙两种型号的设备共20台，且甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，购买甲型设备多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？(1)设甲型设备单价为x元，则乙型设备单价为(x+400)元。根据题意：60000x=60000(x+400)=72000x，展开得：60000x+24000000=72000x，移项得：12000x=24000000，解得：x=2000经检验x=2000是原方程的根。∴乙型设备单价：2000+400=2400（元）。答：甲型设备单价为2000元，乙型设备单价为2400元。(2)求最少采购费用设购买甲型设备m台，则乙型设备(20−m)台。根据题意：所以m≤3(20−m)，解得：m≤15。采购总费用W=2000m+2400(20−m)，−400m+48000。∵−400<0，所以W随m的增大而减小（一次函数性质），∴当m=15时，W取得最小值。代入得：W=−400×15+48000=42000（元）。答：购买甲型设备15台时，采购费用最少，最少为42000元。24.（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD中，BC=4

cm，点E从点A出发沿射线AD以1

cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2

cm/s的速度运动，设运动时间为t

s。(1)连接BD，