2019说题决赛笔试答案

1．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】(1)求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程；(2)设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可．【解答】解：(1)AB的中点坐标(，)，AB的斜率为．可得AB垂直平分线为x+6y=0，与x﹣y=0的交点为(0，0)，圆心坐标(0，0)，半径为2，所以圆C的方程为x2+y2=4；(2)直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过(1，)，∴直线l的方程为y﹣=k(x﹣1)，即y=kx+﹣k，则圆心(0，0)到直线的距离d=，又圆的半径r=2，截得的弦长为2，则有，解得：k=﹣，则直线l的方程为y=﹣x．当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或y=﹣x．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．2.【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由题意设出等差数列的公差，再由已知列式求得首项和公差，则数列{an}的通项公式可求；（Ⅱ）直接由等差数列的前n项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）在递增等差数列{an}中，设公差d＞0，由题意，，解得，数列{an}的通项公式为an=2n﹣5；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．

3.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；构造法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】(Ⅰ)求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1；(Ⅱ)求出当a=3时f(x)的导数，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；(Ⅲ)设点A(t，﹣t3+t2﹣2t)是函数f(x)图象上的切点，求得切线的斜率，可得切线的方程，代入点(0，﹣)，可得方程有三个不同的实数解，设g(t)=t3﹣at2+，求出导数，求出极值，令极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：(Ⅰ)f(x)=﹣x3+x2﹣2x的导数为f′(x)=﹣x2+ax﹣2，因为函数f(x)在点P(2，f(2))处的切线的斜率为﹣4，所以﹣4+2a﹣2=﹣4，解得a=1；(Ⅱ)当a=3时，f′(x)=﹣x2+3x﹣2=﹣(x﹣1)(x﹣2)，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x＜1或x＞2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，2)，单调递减区间为(﹣∞，1)和(2，+∞)；(Ⅲ)设点A(t，﹣t3+t2﹣2t)是函数f(x)图象上的切点，则过点A的切线斜率k=﹣t2+at﹣2，所以过点A的切线方程为y+t3﹣t2+2t=(﹣t2+at﹣2)(x﹣t)，因为点(0，﹣)在该切线上，所以﹣+t3﹣t2+2t=(﹣t2+at﹣2)(0﹣t)，即t3﹣at2+=0，若过点(0，﹣)可作函数y=f(x)图象的三条不同切线，则方程t3﹣at2+=0三个不同的实数根，令g(t)=t3﹣at2+=0，则函数y=g(t)的图象与x轴有三个不同的交点，g′(t)=2t2﹣at=0，解得t=0或t=，因为g(0)=，g()=﹣a3+，所以令g()=﹣a3+＜0，即a＞2