湖北省荆州市高三上学期1月质量检测数学试题

荆州市届高三元月质量检测数学试卷本试卷共4页，题，全卷满分分考试用时分钟.85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，若，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，结合包含关系即可得结果.【详解】因为，则，又集合，，可得，所以实数a的取值范围是.故选：C.2.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断比较即可.【详解】因为，所以.故选：A.3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件第1页/共22页

C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由，，判断充分性成立；由，，判断必要性成立即可.【详解】，，，，，由，通分整理得：，，，即，，，，，故选：C4.若对，直线与圆总有2个公共点，则m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】圆内，计算即可.【详解】记直线直线为，则直线恒过定点，记已知圆为，圆的方程，第2页/共22页

配方得：，所以圆心为，半径，，即.当点在已知圆外时，总存在，使得直线与圆没有公共点，不合题意；当点在已知圆上时，代入圆的方程得，此时圆的半径为，圆心与轴的距离为，所以圆与轴不相切，所以一定存在，使得直线与圆相切，即只有一个公共点，不合题意；当点在圆内部时，对于，直线与圆都相交，即有2个公共点，符合题意.点在圆内部时，，解得：，综上，的取值范围是.故选：D.5.已知偶函数在上是增函数，则满足的x的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据偶函数性质以及单调性可得，进而运算求解即可.【详解】因函数为偶函数，则不等式即为，又因为函数在上是增函数，且，，则，整理可得，解得或，所以满足的x的取值范围是.故选：B.6.将函数的图象向左平移的一个单调增区间为（）第3页/共22页

A.B.CD.【答案】A【解析】增区间，即可判断A，结合正弦函数的单调性可一一判断BCD，即得答案.【详解】由题意知将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，故，令，即，即函数的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，A正确；对于B，当时，，由于在上不单调，故不是的单调增区间，B错误；对于C，时，，由于在上不单调，故不是的单调增区间，C错误；对于D，时，，由于在上单调递减，故是的一个单调减区间，D错误；故选：A第4页/共22页

7.科技公司为破解某密码锁的密码，采用技术手段测得其密码键盘1246这4是判断密码由这4个数字组成，且每个数字至少出现1次.通过密码锁生产厂家了解得知，该密码是6位数，且连续输入错误5次就会被永久锁定.若以上判断和信息均正确且再无其他线索，科技公司随机尝试5次密码，能成功破解该密码的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先计算6位密码的总数（由1246组成，每个数字至少出现1密码的概率.【详解】根据题意，6位数由4个数字组成，那么总可能数为种，排除“缺少1个数字”的情况：选1个数字不出现，剩余3个数字组成6位数，共种；补回“缺少2个数字”2个数字不出现，剩余2个数字组成6位数，共种；排除“缺少3个数字”的情况：选3个数字不出现，剩余1个数字组成6位数，共种；根据容斥原理，符合条件的密码数为.所以能成功破解该密码的概率为.故选：B.8.已知平面上的点，，则的最小值为（）A.1B.第5页/共22页

C.D.【答案】D【解析】【分析】分析可知点在直线上，点在曲线上，结合导数的几何意义运算求解.【详解】因为点在直线上，点在曲线上，又因为，，令，解得，可得，的最小值即为点到直线的距离.故选：D.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某校教学比武活动有77名评委对某位选手的评分分别为abcdefg.设这组smz，根据计分规则，去掉一个最高分和一个最低分，，，第6页/共22页

）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用平均数、标准差、中位数、众数的定义求解.【详解】选项A，设，则，，无法比较的大小，故选项A错误；选项B，，，去掉一个最高分和一个最低分后，数据的波动性减小，故，故选项B正确；选项C，故选项C正确；选项D，众数是数据中出现次数最多的数，去掉一个最高分和一个最低分后，众数可能发生变化，可能不发生变化，故不一定有，故选项D错误.故选：BC.10.中，，D在线段上运动，则下列结论正确的有（）A.平面B.与不可能平行C.与不可能垂直D.四棱锥的外接球面积为【答案】ABD【解析】第7页/共22页

A，与平行，利用向量法即可求解对B判断；利用向量求出即可对C判断；利用补形法将直三棱柱补成长方体，即可求出长方体外接球半径，即可对D判断求解.【详解】A：由题平面，平面，所以，又因，且，平面，所以平面，因平面，所以，又，则四边形为正方形，所以，因，平面，所以平面，故A正确；B：如图，以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，，设，，得，所以，，假设与平行，则，即，则，无解，所以假设不成立，故与不可能平行，故B正确；C：，，若与垂直，则，则，即，又因，所以假设成立，故C错误；D：四棱锥的外接球就是直三棱柱的外接球，因为的外接球，第8页/共22页

长方体的体对角线长为(为外接球半径)，解得，所以外接球面积为，故D正确.故选：ABD.“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（）A.函数的值域为B.函数在上单调递减C.方程有5个不同的解D.若方程有10个不同的解，则【答案】BCD【解析】【分析】作出函数图象，结合图象判断ABC；令，将问题转化为方程有两个不相等的实数根，且这两个根分别在、内，进而求解判断D.【详解】当时，；当时，，则；当时，，则；当或时，，第9页/共22页

作出函数的图象如下：由图可知，函数的值域为，故A错误；函数在上单调递减，故B正确；由于函数与有5个交点，则方程有5个不同的解，故C正确；对于D，令，因为方程有10个不同的解，所以方程有两个不相等的实数根，设，显然，则这两个根分别在、内，有，解得，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知，（i的最大值为______.【答案】【解析】即可.第10页/共22页

【详解】因为，整理得，所以，解得：，，所以，利用辅助角公式化简得，又因为余弦函数的值域是，所以当时，取得最大值，即.故答案为：.13.已知抛物线的右焦点与抛物线是与在第一象限的一个交点，且（为原点）.则椭圆的方程是______.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，由求得点坐标，结合椭圆的定义即可求解.【详解】由抛物线方程可得，因为点是与在第一象限的一个交点，且，所以轴，设，代入解得，由题意可得椭圆的左焦点为，右焦点为，则，第11页/共22页

所以，，，所以椭圆的方程是，故答案为：.14.已知等差数列首项为2，公差为2，前项和为，数列前项和为，且满足.若对于任意，成立，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】先根据等差数列通项公式和前项和公式求出，利用裂项相消法求出的最大值即可.【详解】因为数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以，，所以，所以，对于任意，成立，只需即可，第12页/共22页

令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取最大值，所以，即，所以的最小值为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，且.点E为线段的中点.（1）在线段上取一点F，使得平面，求此时线段长；（2）对于（1）中所求的点F，求二面角的余弦值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）建系并标点，设，可得，平面的一个法向量为，利用空间向量运算求解；（2）分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角.【小问1详解】因为底面，，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，第13页/共22页

则，设，，可得，且平面的一个法向量为，若平面，则，可得，解得，所以线段的长为1.【小问2详解】由（1）可知：，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，则，由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.16.如图，在中，，，D，E分别是边，的中点，且.第14页/共22页

（1）求的面积；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】1可求得答案；（2）求出，根据三角形面积求解，即可得答案.【小问1详解】以点A为坐标原点，为x轴，过点A作垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则，设，由于，则，则，故，而，故，即，即，第15页/共22页

结合，得，即得，则，故的面积为；【小问2详解】结合（1）的分析可知，的面积为,则，即,故.17.43个不32先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立.（1）若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率；（2）该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由.【答案】（1）（2）应该选择参加乙活动，理由见解析【解析】1）结合题意，分第1题抽到选择题、第1题抽到填空题两种情况求解即可；（2）分别求出小黄参加甲、乙活动花费金额的数学期望，进而判断即可.【小问1详解】由题意，小黄第1题抽到选择题的概率为，第1题抽到填空题的概率为，则小黄第二题抽到的题目是填空题的概率为.第16页/共22页

【小问2详解】由题意，小黄答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为，若小黄选择参加甲活动，设答对题目数为，则的可能取值为，所以，，，则小黄参加甲活动花费金额的数学期望为；若小黄选择参加乙活动，设答对题目数为，则的可能取值为，所以，，，则小黄参加乙活动花费金额的数学期望为.由于，所以小黄应该选择参加乙活动.18.如图，，分别为双曲线的左、右焦点.分别为双曲线左、右支上位于轴上方的点，且满足，设直线与相交于点.第17页/共22页

（1）若，求直线的斜率；（2）当点在双曲线上运动时，（ⅰ）证明：为定值；（ⅱ）证明：点在一个椭圆上运动，并求出该椭圆方程.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】1）先由平行关系得到线段比例与纵坐标关系，设出直线方程并联立双曲线方程，再通过消元与代数运算求出直线斜率.（2）（ⅰ）利用双曲线的对称性得到线段等量关系，设直线方程并联立双曲线，结合韦达定理与两点距离公式，化简证明表达式为定值.（ⅱ）先由(i)的结论得到线段长度关系，再结合双曲线定义与平行线分线段成比例，推出点P到两焦点的距离之和为定值，最后根据椭圆定义确定椭圆方程.【小问1详解】双曲线两个焦点坐标为，由可知，，故，两条平行线设为，分别与联立，得，进而有将②①×9得，，代入①式得，因为，所以，故，所求斜率为.第18页/共22页

【小问2详解】（ⅰ）分别延长线段与双曲线交于，由于，由双曲线的对称性可知，，四边形是平行四边形，其中心为原