初中数学七年级下册：实际问题与二元一次方程组（第二课时）教案

初中数学七年级下册：实际问题与二元一次方程组（第二课时）教案

一、设计理念与理论依据

本教案立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，以“三会”为终极目标——即引导学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。本课时聚焦于“模型观念”与“应用意识”的深化培养，旨在通过真实、复杂且富有挑战性的问题情境，引导学生完成从“辨识情境、抽象模型”到“求解模型、解释现实”的完整数学建模过程。设计秉持“以学生为中心”的建构主义学习理论，强调学生在教师搭建的“脚手架”支持下，通过自主探究、合作交流，主动建构二元一次方程组解决复杂实际问题的策略与方法体系。同时，融入跨学科视角，选取融合经济、社会、科技元素的综合性问题，拓展学生的认知边界，体现数学作为基础学科的强大工具价值。

二、教学内容与学情分析

教学内容分析：

本节课是人民教育出版社《数学》七年级下册第八章“二元一次方程组”中“实际问题与二元一次方程组”的第二课时。第一课时已初步学习如何利用二元一次方程组解决简单的“和差倍分”“数字问题”等。本课时将问题的复杂性、综合性提升到一个新的层次，核心教学内容包括：

1.复杂等量关系的辨识与提炼：涉及比例关系、总量与部分量的关系、变化前后的关系等交织的多个等量关系。

2.间接未知量的处理策略：当题目所求量不宜直接设元时，如何灵活设置辅助未知数（即间接设元）。

3.方案设计与优化问题：初步接触在约束条件下，通过建立和求解方程组，对方案进行比较、选择或优化。

4.模型检验与解的合理性判断：强化将数学解回归实际问题进行双重检验（算术检验与情境合理性检验）的意识与习惯。

这些内容是学生数学建模能力发展的关键台阶，也是连接代数知识与复杂现实应用的桥梁。

学情分析：

授课对象为七年级下学期学生。他们已经具备以下基础：

1.知识基础：熟练掌握二元一次方程组的两种基本解法（代入消元法、加减消元法）；初步体验用方程组解决简单实际问题的基本步骤（审、设、列、解、验、答）。

2.能力基础：具有一定的文字阅读能力和信息提取能力；具备初步的逻辑思维和等量关系寻找能力；小组合作学习经验较为丰富。

3.认知障碍预判：

1.4.面对信息量大、关系复杂的题目，易产生畏难情绪，难以从纷繁的文字中准确、全面地提取等量关系。

2.5.对于“间接设元”的策略理解不深，习惯于直接设所求量为未知数。

3.6.列出方程组后，可能因急于求解而忽略对解的模型解释和现实意义检验。

4.7.在方案类问题中，易满足于求出一个解，缺乏对多种可能性的探究和优化意识。

基于此，教学设计将通过“问题分解”、“关系图示”、“策略对比”、“方案研讨”等方式，搭建思维支架，引导学生突破难点。

三、教学目标

1.知识与技能目标：

1.能够从含有复杂背景和多重关系的文字表述中，准确识别并抽象出两个独立的等量关系。

2.掌握根据问题特点灵活设未知数（包括直接设元和间接设元）的方法。

3.熟练列出二元一次方程组解决涉及比例分配、总量变化、方案比较等类型的实际问题。

4.能对方程组的解进行检验，并合理解释其在实际问题中的具体含义。

2.过程与方法目标：

1.经历“情境感知→数学抽象→模型构建→求解验证→解释应用”的完整数学建模过程，提升数学建模能力。

2.通过小组合作探究，发展分析综合、归纳概括的思维能力以及有条理的表达能力。

3.学习运用表格、线段图等工具分析和梳理复杂数量关系，掌握化繁为简的解题策略。

3.情感态度与价值观目标：

1.在解决富有现实意义和挑战性的问题过程中，获得成功体验，增强学习数学的自信心和应用意识。

2.体会数学模型的精确性和普适性，感受数学在解决实际问题中的强大力量。

3.在小组讨论与方案优化中，培养严谨求实、合作交流、勇于探索的科学态度。

四、教学重点与难点

1.教学重点：

1.2.引导学生从复杂实际问题中挖掘并准确表述两个等量关系。

2.3.根据问题结构特点，选择并实施恰当的设元策略建立方程组。

4.教学难点：

1.5.难点一：理解并掌握“间接设元”的策略及其优越性。

2.6.难点二：对求得的解进行基于问题情境的“双重检验”和合理解释，特别是在方案类问题中理解解的多样性或最优性。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含问题情境动画或图片、关系分析图示、解题步骤动态演示）、实物投影仪、小组探究学习任务单、课堂反馈评价表。

2.学生准备：复习二元一次方程组的解法及应用基本步骤，直尺、铅笔。

六、教学过程

（一）情境导入，温故孕新(预计用时：8分钟)

活动1：经典再现，激活经验

教师利用多媒体呈现《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”

1.快速应答：请学生口头陈述用二元一次方程组解决此问题的步骤。

2.核心追问：

1.3.“此题中的两个等量关系是什么？”（头数关系：鸡头数+兔头数=35；足数关系：鸡足数+兔足数=94）

2.4.“我们设未知数的方法是什么？”（直接设元：设鸡有x只，兔有y只）

3.5.“列出方程组的关键是什么？”（用未知数正确地表示每个等量关系：x+y=35,2x+4y=94）

活动2：变式引思，设置悬念

教师将问题变式：“某农场饲养鸡和兔，已知鸡的数量比兔的数量的2倍少10只，且鸡和兔的腿数总和是130条。问鸡和兔各有多少只？”

1.让学生独立思考1分钟，尝试找出等量关系。

2.请一位学生分享找到的关系。

1.3.关系一：鸡的数量=兔的数量×2-10

2.4.关系二：鸡腿总数+兔腿总数=130→2×鸡的数量+4×兔的数量=130

5.教师导语：“同学们，与‘鸡兔同笼’原题相比，这个变式问题的等量关系是否更隐蔽一些？它涉及了倍数关系和差的关系。今天，我们将直面更多这样的复杂关系，甚至要解决需要‘拐个弯’设未知数的问题。让我们一起挑战‘实际问题与二元一次方程组’的进阶关卡。”

【设计意图】从学生熟悉的经典模型入手，快速回顾列方程组解应用题的基本流程，为新课做好知识和心理铺垫。通过变式问题，自然引出“关系复杂化”这一主题，激发学生的探究欲望，明确本课时的学习方向。

（二）探究新知，建构策略(预计用时：22分钟)

核心例题：运输调配中的比例与总量问题

（课件动态展示问题情境）某物流公司计划用大小两种货车共15辆，一次性运送100吨货物。已知每辆大货车可运8吨，每辆小货车可运5吨。请问需要大、小货车各多少辆？

第一阶段：自主尝试，暴露思维(5分钟)

1.学生独立审题，思考2分钟，尝试在练习本上列出方程组。

2.教师巡视，收集典型做法（包括正确和错误）和不同设元方式。

第二阶段：策略研讨，对比优化(10分钟)

1.展示与辨析：教师利用实物投影展示几种学生做法。

1.2.做法A（直接设元）：设大货车用x辆，小货车用y辆。方程组：x+y=15

；8x+5y=100

。

2.3.做法B（错误示例）：设大货车运货x吨，小货车运货y吨。试图列方程：x+y=100

；x/8+y/5=15

。引导学生发现此方程组为分式方程，超出当前所学。

3.4.做法C（间接设元？）：若学生出现，则作为引出下一环节的素材。

5.聚焦策略A：

1.6.提问：“做法A中，两个方程分别基于什么等量关系？”（车辆总数关系、货物总吨数关系）

2.7.追问：“设元时，我们直接选择了题目最后的‘问什么设什么’，这叫什么设元法？”（直接设元）

3.8.共识：对于本题，直接设元清晰直接，是最佳策略。学生口述求解过程，教师板演规范步骤。

变式探究：引入“间接设元”策略

教师将例题条件稍作改变，形成变式题：“某物流公司用大小两种货车运送100吨货物，大货车每辆运8吨，小货车每辆运5吨。已知大货车的数量是小货车数量的2倍还多1辆。问这次运输中，大、小货车各用了多少辆？”

1.尝试与困境(3分钟)：

1.2.学生尝试沿用“直接设元”：设大车x辆，小车y辆。

2.3.等量关系1（车辆倍数关系）：x=2y+1

3.4.等量关系2（货物总量关系）：8x+5y=100

4.5.教师提问：“这个方程组容易解吗？”（学生求解后发现，需要代入消元，计算稍繁琐，但可解。）

6.启发与转化(4分钟)：

1.7.教师引导：“除了直接设车辆数，我们还能怎么思考？题目中有一个非常明确的倍数关系‘大货车的数量是小货车数量的2倍还多1辆’。如果我们设小货车的数量为a辆，那么大货车的数量可以如何表示？”（大货车为(2a+1)

辆）

2.8.进一步启发：“如果我们设小货车有a辆，那么货物总量关系就可以用只含a的方程来表示：8*(2a+1)+5a=100

。这变成了我们熟悉的一元一次方程！”

3.9.概念揭示：像这样，先设与所求量密切相关的另一个量为未知数（这里先设小货车数），从而更便捷地表示出其他量和建立方程的方法，叫做“间接设元”。

4.10.策略对比：引导学生对比“直接设元”列出的二元一次方程组和“间接设元”得到的一元一次方程，体会在特定条件下（如两个量有明显直接的倍数、和差关系时），间接设元可能使方程更简单、求解更快捷。

5.11.回归二元：“当然，我们学习的核心是用二元一次方程组解决问题。即使我们先用间接设元法找到小货车数量a，最终还是要回答大、小货车各多少辆。所以，间接设元是帮助我们思考和分析的一个有力工具，最终我们仍然要回到对所求量的求解和解释上。”

【设计意图】本环节是突破难点的关键。通过一个基础例题巩固直接设元的常规流程，再通过精心设计的变式，让学生在对比中自然感受到直接设元可能带来的计算复杂性，从而产生认知冲突。教师适时引出“间接设元”策略，并通过化为一元一次方程的对比，让学生深刻理解该策略的本质和适用条件——即当题目中存在明显的、易于表达的两个量之间的确定性关系时，采用间接设元可以简化思维和计算。这体现了策略选择的灵活性和优化思想。

（三）综合应用，能力攀升(预计用时：12分钟)

问题：工厂生产中的方案决策问题

（课件呈现情境图文）某工厂有60名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品。已知每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个。应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？

活动：小组合作探究(10分钟)

1.任务驱动：发放小组探究学习任务单。任务单包含以下引导性问题：

1.2.(1)本题中的“配套”是什么意思？你能将它转化为一个数学等量关系吗？（一个螺栓配两个螺母→螺母数量是螺栓数量的2倍）

2.3.(2)设生产螺栓的人数为x人，生产螺母的人数为y人。请用含x，y的代数式分别表示每天生产的螺栓总数和螺母总数。

（螺栓总数：14x；螺母总数：20y）

3.4.(3)根据(1)和(2)，列出关于x,y的二元一次方程组。

4.5.(4)求解方程组，并解释你的答案在实际中是否合理。（如人数是否为整数，是否在总人数范围内等）

6.小组活动：学生4人一组进行讨论、列式、求解。教师巡视指导，重点关注学生对“配套”关系的转化表述是否正确，以及是否进行解的合理性检验。

7.成果展示与精讲(2分钟)：

1.8.请一个小组代表上台讲解他们的解题思路和过程。

2.9.教师板书规范过程：

设应分配x人生产螺栓，y人生产螺母。

根据总人数关系：x+y=60

根据配套关系（螺母数=2×螺栓数）：20y=2×14x

化简得：10y=14x

解得：x=25,y=35

3.10.强化检验：检验：人数和：25+35=60（人）；螺栓产量：14×25=350（个）；螺母产量：20×35=700（个）；700÷350=2，刚好配套。

4.11.方法延伸提问：“如果不设两个未知数，能否用一元一次方程解决？”引导学生发现，若设生产螺栓x人，则生产螺母(60-x)人，根据配套关系可直接得20(60-x)=2*14x

。再次体会不同数学模型（一元与二元）之间的联系与转化。

【设计意图】本题是配套问题的典型代表，涉及对生产情境中“配套比例”这一关键信息的数学转化。通过小组合作，让学生在思维碰撞中自主建构“螺母数=2×螺栓数”这一核心等量关系，提升信息建模能力。同时，将“人数分配”与“产品数量”通过工作效率联系起来，综合性较强。最后的检验环节和一元方程对比，旨在培养学生的模型应用意识和模型联通观念。

（四）拓展延伸，渗透思想(预计用时：10分钟)

跨学科情境：体育比赛中的积分问题

（结合近期校园体育节背景）在某次篮球联赛中，规定每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分。某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得到不低于40分的成绩。那么，这个队胜负场数可能有哪些情况？

引导探究：

1.问题转化：“不低于40分”在数学上如何表示？（得分≥40）

2.建立模型：设该队胜x场，负y场。

1.3.根据比赛总场数：x+y=22

2.4.根据得分条件：2x+1y≥40

（即2x+y≥40

）

5.模型求解的挑战：学生发现，这是一个二元一次不等式方程组，目前无法精确求出唯一的x和y。

6.策略调整：教师引导学生利用第一个方程y=22-x

，代入不等式2x+y≥40

，得到2x+(22-x)≥40

，解得x≥18

。

7.求解与讨论：

1.8.因为x≥18

，且x

为非负整数，x+y=22

，所以x

可以取18,19,20,21,22。

2.9.对应地，求出y

的值分别为4,3,2,1,0。

3.10.组织讨论：这五种胜负场数情况都符合实际吗？（都符合）其中，哪种情况得分刚好是40分？（胜18场，负4场：2×18+4=40分）得分最高是多少？（胜22场，负0场：44分）

11.思想渗透：教师指出，这是一个在约束条件（总场数固定、积分规则固定、目标分数固定）下寻求可行方案的问题。我们通过将等量关系与不等关系结合，并利用消元思想，求出了一系列可能的解，这体现了数学在决策中的支撑作用。

【设计意图】此环节是本节课的高潮和亮点，旨在拓展学生的思维广度。通过引入不等式约束条件，打破学生“应用题必有唯一解”的思维定势，让学生初步接触“方案可能性”问题。解题过程综合运用了消元、枚举、范围讨论等思想方法，极具思维张力。跨学科的情境（体育）增强了问题的趣味性和现实意义，渗透了初步的优化与决策思想。

（五）课堂小结，提炼升华(预计用时：5分钟)

教师引导学生以思维导图或知识树的形式，共同总结本节课的收获。围绕以下核心问题展开：

1.流程再认：解决复杂的二元一次方程组应用题，我们的一般步骤是什么？（审、设、列、解、验、答）

2.策略盘点：今天我们重点学习了哪两种设未知数的策略？它们分别在什么情况下使用更便捷？

1.3.直接设元：所求量明确，且与其他量关系直接时常用。

2.4.间接设元：当所求量之间或所求量与已知量之间存在非常明确的、易于表达的关系（如倍数、和差）时，可考虑先设中间量，简化建模过程。

5.关系梳理：我们遇到的等量关系主要有哪些类型？（和差关系、倍数关系、总分关系、配套比例关系、积分关系等）

6.思想感悟：在今天的探究中，你体会到了哪些重要的数学思想？（建模思想、转化思想、方程思想、分类讨论思想、优化思想）

【设计意图】通过系统的小结，帮助学生将本节课获得的零散经验、策略和方法进行结构化梳理，形成解决复杂应用问题的策略性知识网络，促进知识的长期保持和迁移应用。

（六）分层作业，巩固拓展(预计用时：3分钟布置)

A组（基础巩固，全员必做）：

1.教科书对应章节的练习题，重点完成涉及倍数、分配、配套等关系的题目。

2.整理本节课的笔记，用自己话复述“直接设元”和“间接设元”的区别与联系。

B组（能力提升，学有余力选做）：

1.（古代数学文化）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”请用二元一次方程组解决。

2.（生活实践）请你结合家庭或校园生活中的一个场景（如购物预算、行程规划、资源分配等），自编一道可以用二元一次方程组解决的复杂实际问题，并给出解答。

【设计意图】分层作业设计尊重学生的个体差异。A组作业确保所有学生夯实基础，掌握核心方法与流程。B组作业兼具文化性、探究性和实践性，旨在激发优秀学生的兴趣，培养他们的数学文化素养和数学建模的原创能力。

七、板书设计

主板书（左侧）：

课题：实际问题与二元一次方程组（进阶）

一、一般步骤：

审→设→列→解→验→答

二、核心例题与策略：

例1（运输问题）：

直接设元：设大车x辆，小车y辆。

{x+y=15

{8x+5y=100

变式（间接设元）：

关系：大车数=2×小车数+1

→若设小车a辆，则大车(2a+1)辆

→8(2a+1)+5a=100（一元方程）

策略对比：直接设元vs.间接设元

三、综合应用（配套问题）：

设生产螺栓x人，螺母y人。

{x+y=60（总人数）

{20y=2×14x（配套比例）

解得：x=25,y=35

检验：人数和、产量比。

副板书（右侧）：

拓展（积分问题）：

设胜x场，负y场。

{x+y=22

{2x+y≥40

→x≥18

可能情况：

(x,