核心素养导向下“循环小数”大单元教学设计-小学五年级数学（上册）

核心素养导向下“循环小数”大单元教学设计——小学五年级数学（上册）

一、设计理念与理论依据

本节课的设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，以“数的认识”大单元为背景，对“循环小数”这一知识点进行深度重构。传统教学往往将“循环小数”视为一个孤立的、静态的知识点，侧重于概念的记忆与形式的辨识。本设计试图超越这一局限，将其置于“小数意义与运算”的整体脉络中，视为学生数系扩张历程中的一次关键性认知飞跃。

理论层面，本设计深度融合以下理念：

1.建构主义学习观：知识不是被动接受的，而是学习者在已有经验基础上主动建构的。学生从“有限小数”到“循环小数”的认知过渡，正是一个意义建构的过程。教学将通过创设认知冲突（如“1÷3”到底等于多少？），引导学生在探究中完成对新知的意义赋予。

2.APOS理论：该理论揭示了数学概念学习的四个阶段：活动（Action）、过程（Process）、对象（Object）、图式（Scheme）。教学设计将严格遵循此路径：从具体的除法计算活动出发，经历观察、比较、归纳的过程，将“循环小数”抽象为心智操作的对象，最终将其整合到更广阔的“实数”认知图式中。

3.跨学科视野（STEM+）：打破数学学科壁垒，初步渗透“循环”的哲学与科学意蕴。通过联系自然界中的循环现象（四季更迭、日出日落）、音乐中的节奏循环、计算机科学中的循环程序结构，帮助学生理解“循环”不仅是数学中的一种特殊形式，更是世界运行的一种普遍模式与思维工具。这有助于培养学生的模型思想和应用意识。

4.深度学习：避免对“循环节”、“纯循环小数”、“混循环小数”等术语的浅层记忆，转向对“无限性”、“确定性中的不确定性”、“精确与近似”等数学本质的思考。引导学生探讨“0.999…与1的关系”等经典问题，触及数学的深刻性与统一美。

二、学情分析与前测诊断

认知基础：五年级学生已熟练掌握了整数、小数的意义，小数的基本性质，以及小数除法的计算法则。在前期小数除法的练习中，学生已零星遭遇过“除不尽”的现象（如10÷3），但多数学生将其结果处理为保留几位小数的近似值，尚未从“无限性”和“确定性”的角度去审视这个“除不尽”的结果本身。

思维特点：该年龄段学生的抽象逻辑思维开始加速发展，但仍需具体形象材料的支撑。他们具备一定的观察、比较和归纳能力，但对于“无限”这一抽象概念的理解存在天然困难。同时，学生初步具备了合作探究与表达交流的意愿与能力。

潜在迷思与难点预判：

1.“除不尽”即“不唯一”：学生容易认为一个除不尽的除法算式，其商可以随意取近似值，而无法理解其商本身是一个确定的、唯一的小数。

2.“循环”与“重复”的混淆：可能将任何有数字重复出现的小数都视为循环小数（如0.2525，但它是有限小数）。

3.形式化理解：仅记住循环小数的书写格式，而不理解“循环点”背后的“无限延伸”含义。

4.分类标准模糊：对纯循环小数与混循环小数的区分依据理解不清。

前测设计（样例）：

1.请用竖式计算：1÷3=？2÷3=？5÷6=？

2.观察1÷3的竖式计算过程，你有什么发现？如果继续除下去，商会怎样？

3.你认为“0.333…”这个结果是一个确定的数吗？为什么？

4.在生活中，你见过哪些“循环”的现象？

通过前测，教师能精准定位学生的认知起点和思维障碍，为教学重难点的突破提供依据。

三、教学目标（核心素养维度）

1.知识与技能：

1.2.经历探究过程，理解循环小数、循环节、有限小数和无限小数的意义。

2.3.掌握循环小数的两种简便记法，能正确读写循环小数。

3.4.能正确区分有限小数和无限小数，纯循环小数和混循环小数。

5.过程与方法：

1.6.在解决“除不尽”的实际问题中，经历观察、猜想、验证、比较、归纳等数学活动，发展合情推理与初步的演绎推理能力。

2.7.通过小组合作探究，学会清晰地表达思考过程，培养批判性思维和交流能力。

3.8.运用“循环”的数学模型解释和简化生活中的相关现象。

9.情感态度价值观：

1.10.在探究“无限”的过程中，感受数学的奇异与美妙，激发求知欲。

2.11.体会数学表达的简洁与精确（如循环节的表示），感悟数学理性精神。

3.12.通过跨学科联系，体会数学作为描述世界通用语言的价值，培养跨学科应用意识。

四、教学重难点

1.教学重点：理解循环小数的产生过程及其意义，掌握循环小数的表示方法。

2.教学难点：理解“循环”意味着“无限”，理解循环小数是除法运算中商的一种确定性的、无限的表现形式；理解纯循环与混循环小数的本质区别。

五、教学准备

1.教师准备：交互式多媒体课件（内含动态演示除法竖式余数循环过程、生活循环现象视频或图片）、实物投影仪、小组探究学习单。

2.学生准备：常规文具、草稿本。

3.环境准备：便于四人小组合作讨论的座位布局。

六、教学过程实施（详细展开）

第一环节：情境激疑，初探“除不尽”——制造认知冲突(预计时间：8分钟)

1.故事化问题导入：

1.2.“唐僧师徒四人去西天取经。途中，悟空化来3个同样大小的饼。八戒说：‘俺老猪肚子大，得吃1个饼。’沙僧说：‘我吃2个饼的。’请问，八戒和沙僧，谁吃的饼多？”

2.3.引导学生列出算式：八戒吃1÷3个，沙僧吃2÷3个。

3.4.学生独立尝试用竖式计算1÷3和2÷3。教师巡视，收集典型做法（必然出现“除不尽”的情况）。

5.聚焦冲突，引发思考：

1.6.请一名学生板演1÷3的竖式过程。

2.7.教师提问：“在计算过程中，你发现了什么有趣的现象？”（余数总是1，商的小数部分总是3）。

3.8.“如果我不让你停了，命令你永远除下去，商会是怎样的？”（学生会说“一直是3”或“无数个3”）。

4.9.核心追问：“那么，1÷3的商，到底等于多少呢？是0.3吗？0.33？0.333？还是……？”引导学生认识到用有限小数表示这个商是不准确的，它需要一个能表达“无限个3”的新形式。

5.10.板书认知冲突：除得尽——有限小数；除不尽——？

11.揭示课题：

1.12.“像0.333…这样，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，在数学王国里有一个专门的名字。今天，我们就一起来认识这个神秘的新朋友——循环小数。”

2.13.【设计意图】：从贴近学生的情境出发，在真实的计算活动中制造强烈的认知冲突。将学生的注意力从“求近似值”的实用主义思维，引向对商本身“确定性存在形式”的数学本质思考，为概念建构提供强大的内驱力。

第二环节：合作探究，建构概念——经历APOS全过程(预计时间：22分钟)

活动一：丰富案例，归纳共性（活动阶段Action）

1.小组探究任务（学习单）：

1.2.计算：5÷6=？70.7÷33=？400÷75=？

2.3.观察：这些除法算式的商有什么共同特点？竖式计算过程中，余数和商有什么规律？

3.4.尝试：用一种你认为简洁的方式，表示出5÷6的商。

5.学生小组合作，计算、观察、讨论。教师深入小组，指导学生关注两点：一是商里重复出现的“数字段”，二是竖式中余数周期性重复的现象。

6.全班交流汇报：

1.7.学生汇报计算结果：5÷6=0.8333…，70.7÷33=2.14242…，400÷75=5.333…。

2.8.引导学生总结发现：

1.3.9.商的特点：小数部分有一些数字会“依次、不断、重复”出现。

2.4.10.背后的原因（关键）：在竖式计算中，当余数重复出现时，商相应的数字也会开始重复。余数的循环导致了商的循环。这是理解循环小数“确定性”的钥匙。

5.11.教师利用课件动态演示400÷75的竖式过程，用颜色高亮余数“25”“250”的交替出现，直观展示“循环”的根源。

活动二：抽象命名，形成对象（过程至对象阶段Process->Object）

1.定义核心概念：

1.2.循环小数：师生共同完善语言，给出严谨描述：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。

2.3.循环节：以0.333…为例，那个不断重复的数字“3”，叫做这个循环小数的循环节。学生找出0.8333…的循环节（“3”），2.14242…的循环节（“42”）。

3.4.有限小数与无限小数：回顾以前学过的如0.5、3.14等小数，明确它们的小数位数是有限的，称为有限小数。而像今天认识的这些小数，小数位数是无限的，称为无限小数。循环小数是无限小数的一种。

5.突破难点：纯循环与混循环：

1.6.出示两组循环小数：A组：0.333…,5.3232…；B组：0.8333…,7.2142857142857…。

2.7.提问：“观察这两组循环小数，循环开始的位置有什么不同？”

3.8.学生发现：A组从小数点后第一位就开始循环，B组不是。

4.9.教师给出定义：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数；循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。

5.10.深度追问：“为什么会有纯和混的区别？这跟除法算式有什么关系？”引导学生联系竖式，思考这取决于第一次得到的余数（以及后续余数）何时开始重复。这触及了两种循环小数的本质差异。

活动三：符号化表示，掌握工具（对象精致化Object）

1.创造表示法的需求：

1.2.“写0.333…我们要点三个点，如果循环节是‘123456’，我们也要写很长再点三个点吗？数学家们也觉得很麻烦，他们发明了一种更简洁的表示法。”

3.教学循环小数的简便记法：

1.4.小圆点记法：只写第一个循环节，在循环节的首位和末位数字上各点一个点。例如：0.333…写作$0.\dot{3}$；5.32727…写作$5.3\dot{2}\dot{7}$。

2.5.循环节记法：在循环节上画一条横线。例如：0.333…写作$0.\overline{3}$；5.32727…写作$5.3\overline{27}$。

3.6.说明：两种记法通用，教材常用第一种。教师需强调点的位置要精确，避免学生点在数字中间或只点一个。

7.即时练习与辨析：

1.8.将探究中的循环小数用简便记法表示。

2.9.辨析题：下列写法对吗？$1.2\dot{5}$，$0.\dot{9}0\dot{3}$，$\dot{1}.2323…$。通过辨析，巩固对记法规则的理解。

第三环节：深化理解，勾连体系——形成概念图式(预计时间：12分钟)

1.数系归属讨论：

1.2.提问：“我们现在认识了循环小数，它和我们以前学的整数、分数、有限小数是什么关系？”

2.3.引导学生构建知识网络图。核心揭示：所有的分数都可以写成小数形式，要么是有限小数，要么是循环小数。反过来，所有的有限小数和循环小数也都可以写成分数形式（为后续学习“分数与小数互化”埋下伏笔）。这标志着学生对“有理数”有了初步的、整体的感知。

4.挑战性思辨（渗透极限思想）：

1.5.提出经典问题：“$0.\dot{9}$和1，哪个大？”

2.6.让学生自由发表观点并阐述理由。可能的方法：

1.3.7.计算：1÷1=1，1÷3=0.333…，那么3×0.333…=0.999…，但3×(1/3)=1。

2.4.8.直观：1-0.999…=0.000…（无限个0），这个差是0。

5.9.教师总结：在数学上，$0.\dot{9}$和1表示的是同一个数。这帮助学生初步理解“无限”的深意，打破“循环小数总比某个有限小数小”的直觉误解。

10.跨学科视野拓展：

1.11.展示图片/视频：春夏秋冬更替、星期、日出日落、心跳、音乐的节奏型（如三连音循环）、计算机编程中的“循环语句”（for,while）。

2.12.讨论：“循环”的概念，如何帮助我们简化和理解这个世界？（模型思想）

3.13.小结：数学中的“循环”是对世界中许多周期性、重复性现象的高度抽象和建模。

第四环节：分层练习，巩固应用(预计时间：10分钟)

A组：基础巩固（全体必做）

1.判断：下面哪些小数是循环小数？用简便记法表示出来。

0.777…,1.125125,4.1666…,6.908908…,3.1415926…

2.分类：将上述数分别填入有限小数、无限循环小数的集合圈中。

3.写出下面小数的循环节：$7.\dot{8}\dot{9}$,$0.3\overline{204}$

B组：综合应用（多数完成）

1.“找朋友”游戏：将写有除法算式（如11÷4,2÷9,20÷6,10÷7）的卡片和写有商（有限小数或循环小数简便形式）的卡片进行匹配。

2.解决问题：一根10米长的绳子，要截成每段1.3米长，能截几段？还剩多少米？（计算结果用循环小数表示）

C组：思维拓展（学有余力）

1.探究：计算1÷7,2÷7,3÷7,…6÷7，观察这些循环小数，你有什么惊人的发现？（引导学生发现循环节的数字排列规律，感受数学之美与神秘）。

2.开放题：请你自己编一道除法应用题，使其商的結果是一个混循环小数。

第五环节：全课总结，反思提升(预计时间：3分钟)

1.学生自主总结：“今天这节课，我认识了（），我知道了（），我印象最深的是（），我还想知道（）。”引导学生从知识、方法、感受、疑问多维度进行总结。

2.教师画龙点睛：

1.3.知识线：我们认识了循环小数、循环节，学会了表示方法，并知道了有限小数、无限小数、纯循环小数、混循环小数的关系。

2.4.方法线：我们通过“计算-观察-发现-归纳”的方法，自己建构了概念。遇到了“无限”，学会了用简洁的符号去表示它。

3.5.思想线：“循环”不仅是一个数学概念，更是一种看待世界的思维方式。数学的魅力，就在于它能用最简洁的语言，描述最复杂的规律。

6.布置作业：（见下文作业设计）

七、板书设计（结构化、过程化）

循环小数

一、产生：除不尽→余数循环→商循环

1÷3=0.333…

400÷75=5.333…

二、意义：

循环小数

：小数部分，从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现。

循环节

：重复出现的数字。如：3

,42

分类

：

有限小数：0.5,3.14

无限小数：纯循环小数：$0.\dot{3}$,$5.\dot{3}2\dot{7}$（从第一位起）

混循环小数：$0.8\dot{3}$,$7.2\dot{142857}$（非第一位起）

三、表示：

一般写法：0.333…

简便记法：$0.\dot{3}$或$0.\overline{3}$

四、联系：分数↔小数（有限或循环）

八、分层作业设计

【基础园地】（巩固概念与表示）

1.课本第xx页练习x的第1、2、3题。

2.请将下列循环小数用简便记法表示：6.888…，0.107107…，3.4135135…

3.判断对错，并说明理由：

（1）0.282828是循环小数。（）

（2）$6.\dot{4}3\dot{5}$的循环节是“435”。（）

（3）循环小数一定是无限小数。（）

【探究乐园】（深化理解与联系）

1.查阅资料或与家长讨论：除了数学，还有哪些学科或生活领域会用到“循环”的思想？请举一例简要说明。

2.尝试将$\frac{1}{9}$,$\frac{2}{9}$,$\frac{3}{9}$写成小数，你发现了什么规律？猜猜$\frac{8}{9}$写成小数是多少？

3.（选做）想一想：两个数相除，如果得不到整数商，所得商会有哪些情况？请举例说明。

【挑战空间】（拓展思维）

1.数学阅读：查找关于“0.999…=1”的证明方法，选择一种你能理解的方法记录下来。

2.编程初体验：如果你学习过图形化编程（如Scratch），尝试设计一个程序，让它能模拟除法竖式计算的过程，并在屏幕上输出商是循环小数的结果。

九、教学反思与评析

本节课的设计致力于体现新课标“三会”的核心素养要求：

1.会用数学的眼光观察现实世界：从“分饼”的现实情境和除法计算中，观察出“除不尽”和“数字重复”的数学现象。

2.会用数学的