等比数列的前n项和-高中-数学-教学设计

4.3.2等比数列的前n项和（第1课时）惠菲颖西安铁一中滨河高级中学一、教材分析(1)内容的本质等比数列是两种“最基本”的数列之一，是刻画数数学模型.与等差数列与一次函数的关系类似，等比数列是定义在正整数集(或其有限子集)上的指数型题的基础.(2)知识的上下位关系“最简单”的等差数列和等比数列.等比数列通项公式和前n项和公式是借鉴等差数列的相关研究经验所探究的特殊数列的公式与性质，既是等差数列相关公式推导思路的延展，为后续数列相关问题提供了学(3)内容蕴含的数学思想和方法性、规律性”,等差数列、等比数列的定义就反映了这个思想方法.以运算为手段来探索数学对象的取值规律是一种重要的思维方法.通过对5个具体例子共性的归纳，抽象出等比数列的概念，后续对通项公式和前n项和公式进行探究，其中蕴含了特殊与一般、函数与方程、转化与化归、数形结合的数学思想方法.通过研究等比数列与指数函数的关系，感悟数列是特殊的函数，学会以函数的观点看数列的概念、发现和理解数列的性质、认识数列的应用价值等.一方面可以让学生用函数的观点认识和理解数列的内容，另一方面可以加深学生对函数概念及其思想方法的理解，使其体会数学的整体性.等比数列通项公式和前n项通项与前n项和的数学思想.与推导等差数列的前n项和公式的“倒序相加法”类似，推导等比数列前n项和公式的“错位相减法”也是一种带有技巧性但很便捷的方法，同时推导等比数列前n项和公式所需要减法”源于对等比数列前n项和公式的观察和分析，其探索过程蕴含了丰富的数学思想方法(如特殊到一(4)内容的育人价值历史上人们对等比数列的研究比等差数列还要早，现实中等比数列的应用十分广泛，学生对于数值呈指数爆炸式增长的情境较为熟悉，本单元的学习有助于学生从数学的角度思考这些生活中常见的情境，树立“数学来源于生活并应用于生活”的观念.在推导等比数列通项公式和前n项和公式的过程中，无数式的形式特点，运用数学思想经过不断尝试得出方法的全过程，这能有效提升学生的数学运算、逻辑推理和数学抽象素养.学生在学习数列求和时，能体会到数学思想方法诞生的曲折过程，感受到数学家在进行数学研究时的探索精神和创新意识，同时对培养学生的科学精神有着十分重要的作用.特别是“错位相列应用问题时，需要学生发现问题中成等差、等比关系的量，并抽象构造数列模型来刻画现实中具有递推规律的事物，不仅可以培养学生的数学阅读理解能力和数学建模能力，而且有利于学生养成利用数学问展现了中华民族先贤们的智慧，是数学学科育人的具体体现。二、学情分析(1)认知基础助于学生探究等比数列与指数函数的关系.学生经历过从实际问题中抽象出等差数列模型的过程，具备(2)认知困难首先，在探究等比数列和指数函数的关系时，在且的条件下，等比数列的通项公式实际上是经过坐标变换和对称变换的指数函数表达式，对于这一(3)应对策略评中予以解决.公式的过程比公式本身更重要.助寻找规律，这种由特殊到一般的操作方法符合学生的认知规律.同时从文字语言到数学符号表达规律三、教学目标（一）课程标准要求①通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义。②探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系。③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题。④体会等比数列与指数函数的关系。（二）课时目标要求四、重点难点教学重点：教学难点：五、教学过程环节一：创设情境，导入新课环节二：学习新知问题2：如何求这个等比数列前64项的和呢? ①追问1：观察①式的右边每一项的特征，思考它们之间的联系，有什么办法它们之间的不同呢？师生活动：①式的右边每一项都是前一项的2倍，每一项都乘2,就变成了它的后一项，即： ②追问2：比较①②式，你有什么发现，能否求得①的和？师生活动：经过比较、研究之后，发现：①②两式的右边有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，即得：追问3：你觉得本节课开头故事里的国王能够兑现承诺吗?由．这个数很大，超过了．如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍．因此，国王根本不可能实现他的诺言．问题3：类比①的求解方法，能否将其推广至一般等比数列的前n项和的求解吗?师生活动：设等比数列的首项为，公比为，则的前n项和是．上式可以写成：． ③若在③式两边同以，得到： ④③④两式的右边有很多相同的项，用③的两边分别减去④的两边，就可以消去这些相同的项，可得，即 ⑤所以，当时， ⑥因为，所以公式⑥还可以写成 ⑦追问1：当时，等比数列的前项和等于多少?师生活动：当时，.综上，首项为，公比为的等比数列的前n项和的公式为： ⑧追问2：我们知道，当公差不为零时，等差数列前n项和公式是一个特殊的二次函数，请问等比数列前n项和公式跟什么函数有关联?师生活动：学生思考后小组交流，由小组代表展示结论.当时，是关于n的一次函数；当时，是一个特殊的指数型函数.追问3：探究等比数列的前n项和公式，还有其他法吗?师生活动：本问题留作课后拓展问题，课后完成.首项，公比首项，公比首项，公比，项和，设计意图：环节三例题练习，巩固理解例1.已知数列是等比数列．（1）若，，求；（2）若，，，求；（3）若，，，求．解：（1）因为，，所以．（2）由，，可得．即．又由，得．所以．（3）把，，，代入，得．整理，得．解得．设计意图：通过例题的解答和讲解，让学生熟练公式的运用，重视公式的选择，进一步提高学生运用知识解决问题的能力.另外，要让学生明确若知道等比数列的五个基本量(，，)中的任意三个就能求出另外两个.例2已知等比数列的首项为，前项和为．若，求公比．解：若，则．所以．当时，由，得．整理，得．即．所以．解法二：，所以，所以．设计意图：相比较于例1,例2的解答中涉及对公比取值的讨论，学生容易忽视的情形.此环节设置例题和变式主要是通过题目的对比，引导学生注意对的取值情况进行分类讨论。随堂演练：1．已知数列是等比数列．（1）若，，，求；（2）若，，，求；（3）若，，求与q．解：（1）因为，，，可得．（2）因为，，且，所以．（3）设等比数列的公比为，因为，，当时，可得，此时，满足题意；当时，可得，解得，．解法二：，将，代入，得，，解得或．当时，；当时，．2．设等比数列的前项和为，已知，．求和．解析：，解得或．即或当时，，当时，．环节四：新知再认识，能力提升题型一：利用等比数列的前n项公式的函数性质应用例：数列的前n项和，求的通项公式，并判断是否是等比数列.

解：当时，.

当时，不适合上式.所以，方法一：所以，由于，显然不是等比数列，即不是等比数列.

方法二：由等比数列的公比时的前n项和，对比可知，故不是等比数列.

方法规律：等比数列前n项和的函数关系（1）已知，通过求通项，应特别注意时，.(2)若数列的前项和，其中且，则是等比数列.变式训练：1.若数列的前项和，则此数列是（）A．等差数列 B．等比数列 C．等差数列或等比数列 D．以上说法均不对【答案】D【详解】当时，，当时，，当时，，所以是等差数列；当时，为非等差数列，非等比数列’当时，，所以是等比数列，故选：D2.若是等比数列，且前n项和为，则________.

解析：显然，此时应有，又，所以.题型二：错位相减法求和问题（分类讨论）例.求和：解析：记当时，；当时，；当且时，综上，.规律方法1.等比数列前n项和公式2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当和时是不同的公式形式，不可忽略的情况.

变式训练：已知等差数列的前项和为．若，．（1）求的通项公式；（2）求和：，其中为非零实数．【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）设等差数列的公差为d，则，解得，所以；（2）由（1）知，当时，；当时，由，有，上面两式相减得，所以；综上，.题型三：错位相减法求和问题（等差等比乘积）例：等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）设数列的公比为，则，由得：，所以.由，得到所以数列的通项公式为.（2）由条件知，①又②得所以.方法规律：错位相减法的适用条件与方法1.一般地，若数列为等差数列，为等比数列且公比为,求的前项和时，常用“乘公比，错位减”的方法求和，即错位相减法.2.在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出或的表达式；3.在运用错位相减法求数列的前项和时要注意四点：①乘数(式)的选择；②对的讨论；③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；④相消项中构成数列的项数.变式训练：已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由，得，又，是以1为首项，3为公比的等比数列，，，即数列的通项公式为.（2）由（1）知，，则，①得，②①－②得，故．环节五：凝练升华，课堂小结问题6：环节六：布置作业，应用迁移巩固作业：教科书第37页练习第2、4、5题拓展作业：探究等比数列的前n项和公式的其他求法.2．已知，且．对于，证明：．证明：记，因为，且，所以两边同乘以，得：，所以，所以．所以，即证．方法二：数列是首项为，公比为，共有项的等比数列．所以．特别地，当时，，即，即立方差公式．4．已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64．求这个等比数列的首项和公比．4．解析：设这三个数分别为，，，则满足．由题意可得，，联立方程组，可得，，或，，，当这三个数为，，，可得这个等比数列的首项为2，公比为2；当这三个数为，，，可得这个等比数列的首项为，公比为．5．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少?5．解析：依题意设数列的首项为，公比为，则，，所以，即，所以，解得，即，所求．解法二：依题意设数列的公比为，其前项和为，则，，所以，即，所以．拓展作业答案：思路一：设等比数列的首项为，公比为，则的前n项和是． ①所以，． ②． ③所以， ． ④整理得（注意验证时成立）：当时， ⑤当时