等比数列的前n项和公式-高二-数学-教学设计

教学设计：等比数列的前n项和公式王峥西安国际港务区铁一陆港高级中学一、内容和内容解析内容：等比数列前项和公式的推导过程、公式的特点及公式的运用。内容解析：《等比数列的前项和》是人教A版数学选择性必修第二册第四章4.3内容，教学课时为2课时，本节课为第一课时.本节是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.本节教材的编排与《等差数列前项和》完全类似，也利用等比数列的通项公式和性质导出前项和公式，并举例说明前项和公式在解决问题中的应用。学情分析1.知识基础：等差数列的前n项和，等比数列的定义与通项公式，倒序相加法求和等基础知识。学生在已学习等差数列前n项和公式的基础上，类比学习等比数列前n项和公式2.不足：发现和提出问题、分析和解决问题的能力；用已有知识与方法进行转化与化归的能力。3.可能遇到的困难类比倒序相加法求等差数列前n项和的本质，将等比数列构造出“相同数”，将等式两边要同时乘以公比、错位相减进而求和”，生成错位相减法。二、目标和目标解析目标：（1）理解等比数列的前项和公式的推导方法，培养数学研究的探索精神和创新意识。（2）掌握等比数列前项和公式及应用。目标解析：达成上述目标的标志是：（1）会通过类比等差数列前项和的学习，发现和提出需要研究等比数列前项和的方向；构建研究内容和过程。（2）能在对等比数列性质的深入理解基础上，理解等比数列求和的“错位相减法”。（3）能灵活运用前项公式解决问题。三、教学问题诊断分析在此之前，学生已学习了数列的定义、等差数列和等比数列的通项公式、等差数列的前项和等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.在研究等比数列时，类比等差数列，构建研究内容和过程，进一步体会研究一个数学对象的一般过程。但等比数列求和的“错位相减法”与等差数列求和的“倒序相加法”一样，都是历史上积淀下来的方法，学生几乎不可能独立创造出它们.通过问题串启发学生，帮助他们认识到认识到这种方法是建立在对等比数列性质深入理解基础上的，体会数学思想方法诞生的过程.此外等比数列前项和公式需要分类讨论，在应用公式解决问题时要注意的。四、教学重难点：教学重点：等比数列前项和公式的推导及公式的简单应用教学难点：用错位相减法推导等比数列前项和公式及等比数列前项和公式的运用五、教学活动设计一、问题引入国际象棋起源于印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒...以此类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.数学抽象：设第个格子里的麦粒数为，则，问题就是求数列的前64项和设计意图：通过故事激发学生的兴趣和热情，引入等比数列求和问题。二、问题解决师：同学们可以从特殊到一般，发现规律的方式去思考生：因为，所以可以归纳得到师：那么对于呢？（学生思考片刻后...)生：因为所以可以归纳得到师：那么对于一般的等比数列的前项和呢？（用表示）（学生经历了类比后，能够从特殊到一般归纳出一般等比数列的前项和公式）生：根据前面两个特殊的例子，我们不难猜到师：这个公式中有没有需要注意的地方（给学生提醒，目的是要让学生想到公比为1的特殊情形）生：当公比为1的时候，公式中分母为0，没有意义，此时是一个常数列，每项都和相同，所以我们应该分段写.公式应该写成（教师板书）师：非常好，同学们由特殊到一般归纳出了等比数列的前项和公式，但是这种归纳是不完全归纳，是不严谨的，还需要严格证明，后面我们学习数学归纳法后，我们可以用数学归纳法去证明我们的猜测.我们已经得到了公式，但方法上又不太严谨，有没有别的方法呢？大家可以先想一想，再在小组内交流想法（给学生充分的探究思考交流的时间）.接下来我们让各小组展示自己小组的成果.小组1：前面我们学习过裂项相消法求和，所以我们就试着把每一项都裂成两项的差的形式，，于是于是对于一般的等比数列我们按照这个思路去尝试，发现是可行的，因为当的时候，，所以师：非常棒，第一个小组能够去深入思考，用咱们已有的知识方法去解决未知的问题.小组2：老师，我们的方法更“简单”一些，所以师追问：你们是怎么想到这个方法呢？生：根据等比数列的和的特点，我们就试着提出一个公因式，然后就发现括号内的结构与完全类似，就是，而，我们就构造出了一个关于的方程.师：非常好，小组2利用到了与的关系构造方程，核心想法就是构造方程.小组3：老师，我们的做法是这样的（投影展示）：两个式子中间的项是相同的，于是两式相减得，所以当时师（小结）：很好，小组3的想法是消元法，目的是尽可能消去或者减少项数，我们给这种方法起个形象的名字“错位相减法”,分为三步“乘公比，错位减，求和”.小组4：根据等比数列的定义，由合比性质得，即，解得（）师：小组4利用了合分比性质构造了关于方程.师生共同小结：我们从5个角度推导出了等比数列的前项和公式，从特殊到一般（归纳），裂项相消法，构造方程组（利用的关系，利用合分比性质），错位相减法接下来我们来解决我们开始提出的问题国王总共应该给国际象棋发明者颗麦粒，合计亿吨，显然国王无法满足国际象棋发明者的要求，这也体现了等比数列的爆炸性增长.公式的理解和应用（1）公式的理解师：等差数列的前项和的结构特点是“常数项为0的二次函数（公差不为0），那么等比数列的结构特点是怎样的呢？（给学生思考片刻）时，提出一个具体问题：若一个数列等比的前项和为，则___（2）公式的应用例题1：①若，求；②若，求；③若，求.④若，求；⑤若，求.设计意图：①②③都是公式的直接使用，五个量知道其中三个量，可以求出剩下的两个量，④要解方程组，同时要考虑的情形，⑤可以解方程组，也可以类比等差数列的前项的性质可以得到等比数列前的性质：当为奇数或者时，构成公比为的等比数列.例题2：求和：记则两式相减得当时，；当时，；当时，，所以综上：设计意图：把等比数列求和方法进行迁移，尝试解决新的问题，加深方法的理解和灵活使用，让学生在解决问题的过程中提高利用数学知识解决问题的能力.三、课堂小结（1）等比数列前n项和公式，对于公比未知的等比数列，应用等比数列的前n项和公式时，需讨论公比是否为1；（2）等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；（3）数学思想方法的应用:=1\*GB3①方程思想:等比数列求和问题中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现；=2\*GB3②分类讨论思想：由等比数列前n项和公式可知，解答等比数列求和问题时常常要用到分类讨论思想.【教学设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。四、课后作业已知数列an（1）若a1=3,q=2,n=6,求（2）若a1=−2.7,q=−1（3）若a1=−1,a（4）若a3=32.设等比数列an的前n项和为Sn，已知a2教学反思通过创设教学情境，激活了学生思维。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实的，有趣的和富有挑战性的。并且以问题为导向设计教学情境。本节数学课主要以问题为导向，环环相扣，进展学生的数学观看能力和语言表达能力，培育学生思维的发散性和严谨性。由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我