等比数列的前n项和公式-高中-数学-论文

《等比数列的前n项和公式》教学设计刘志敏西安铁一中滨河高级中学教学目标:1.了解等比数列的前n项和公式发现的背景，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想；2.推导并掌握等比数列的前n项和公式，提高学生的建模意识，提升逻辑推理和数学运算的素养。教学重点：1.掌握等比数列前n项和的公式推导。

2.掌握等比数列前n项和公式并灵活应用。教学难点：等比数列前n项和的公式推导；教学过程:1.重温经典，归纳“探”公式问题情景：《兰德纸草书》中有这样一组最初令人费解的数据：题中画了一个阶梯，其各级注数为7,49,343,2401,16807，数旁依次画了房子、猫、鼠、大麦和量器，原书并无任何说明，2000多年竟无人能解释。17世纪《莱茵德纸草书》第79题对此题做了似乎更合理、更有趣的解释：“有一份财产包括7间房子；每间房子有7只猫；每只猫捉了7只老鼠；每只老鼠吃了7棵麦穗；每颗麦穗可以长出7赫克特（单位）粮食，试问这份财产共有多少房子、猫、老鼠、麦穗和粮食？”并在旁边写了数字19607.设计意图：通过呈现数学知识的生成文化背景，使学生了解数学史的知识，感受数学文化，激发学生探究欲望。问题1：数字19607是什么意思？问题2：如何计算首项为7，公比为7的等比数列的前20项和？追问1：求和的根本目的是什么？师生活动：回顾等差数列求和的根本目的--由公差切入消除项与项之间的差异，消除中间项，类比得出等比数列求和关键是构造共同项。追问2：上式能否类比等差数列求和由公差切入构造共同项而借助公比7构造共同项呢？如何构造相同项？师生活动：合作交流尝试最后得出给运算较快的是等式两边同乘以公比7.追问3：如何处理两式的相同项？（答案：错位相减消除相同项）2.探索求和规律，演绎“推”公式追问4：由特殊到一般，能否用此法推出等比数列前n项和公式？SnqSn①−②得,Sn−qSn=a1−a1qn；即追问5：等式中能否直接同除1-q?当1−q=0时，即q=1时，Sn=当1−q≠0时，即q≠1时，Sn=证法二：《几何原本》第九章命题35中，欧几里得从比例的角度给出了等比数列的前n项和公式：若众数成连比，从第二个和最后一个减去等于第一个数，那么从第二个数得的差比第一个数等于从最后一个数得的差比最后一个数以前各项之和.《几何原本》第九章命题35中，欧几里得从比例的角度给出了等比数列的前n项和公式：若众数成连比，从第二个和最后一个减去等于第一个数，那么从第二个数得的差比第一个数等于从最后一个数得的差比最后一个数以前各项之和.符号表示为：证法三：设计意图：通过从“式”的角度的联想，和从“形”的角度的类比，探求新的解决方法；让学生从不同角度推导出等比数列的前n项和公式，体会数学方法的美妙.归纳总结：3.挖掘函数关系，比较“释”公式等比数列中，与的关系与以前所学过的什么函数有关？问题3：等比数列中，与的关系与以前所学过的什么函数有关？师生活动：通过小组合作讨论，教师引导学生发现当公比q≠1时，设，等比数列的前n项和公式为当q=1时，等比数列的前n项和公式为设计意图：通过从“形”的角度解释等比数列的前n项和公式，探究公式与指数型函数和正比例函数的关系，使学生深入理解公式，从而培养学生思维的灵活性、发散性和深刻性.4.数学建模，灵活“用”公式问题4：武汉爆发的新型冠状病毒传播速度可以用等比数列模型高度拟合.疫情传播初期，若把每个感染病毒的患者平均传染的人数设为q传染系数），每日新增确诊数构成数列，则可近似看成以为公比的等比数列，若首项（第一天确诊人数），公比，当确诊病例增加到25000例时，通过医护人员的努力和全国人民的居家隔离，每个病人传染力q降为0.5，请用所学知识解释静态管理和居家隔离的必要性。师生活动：教师引导学生分析问题，将实际问题转化成等比数列的求和问题，有利于提升学生的逻辑推理和数学运算素养，提高学生应用知识解决问题的能力.累计确诊数总数将最终趋于常数50000.每减少一点，背后都是国家和抗疫前线医护人员的巨大付出，都是我们全国人民居家减流的结果，而拐点就是q=1.5.课堂小结：设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。6.课堂检测：7.作业布置：必修作业：课本P37页1-5；课本习题4.33,5,6选修