数学人教版第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案

数学人教版第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径教案授课专业和授课专业和年级授课章节题目授课时间设计思路一、设计思路以学生已有圆的对称性认知为基础，通过折叠、测量等操作活动，引导学生探究垂直于弦的直径的性质，归纳“垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧”的定理。结合几何直观与逻辑推理，设计定理证明与应用环节，渗透转化思想，通过例题、练习深化理解，联系实际问题（如计算弦长、半径），培养学生几何直观与推理能力，体现从具体到抽象的认知规律。核心素养目标分析二、核心素养目标分析通过探究垂直于弦的直径性质，发展几何直观与空间想象能力；经历定理猜想与证明过程，培养逻辑推理能力；运用定理解决弦长、半径计算问题，提升数学运算能力；从具体图形中抽象出垂直于弦的直径的性质，渗透数学抽象思想；结合实际问题建模，体会数学与现实生活的联系。重点难点及解决办法三、重点难点及解决办法

重点：垂直于弦的直径定理的内容及其应用（来源：定理是圆的重要性质，后续学习基础）；难点：定理的证明逻辑（来源：需综合全等、垂径定理）及变式应用（来源：弦与直径位置关系复杂）。

解决办法：通过折叠实验直观验证定理，分解证明步骤；设计分层例题（如已知弦长求半径、已知半径求弦长），强化定理应用；对比辨析“直径垂直弦”与“弦垂直直径”的条件差异，突破难点。教学资源四、教学资源

软硬件资源：圆规、直尺、量角器、圆形纸片、多媒体投影仪、几何画板软件

课程平台：学校教学平台、班级学习群

信息化资源：PPT课件（含定理证明动画）、微课视频（性质探究）、在线习题库

教学手段：实验操作（折叠验证）、小组合作探究、几何画板动态演示、例题分层讲练教学过程（一）情境导入，引发思考（5分钟）

同学们，今天老师带来一个问题：一个圆形工件不小心被弄断，中间留下了一条弦AB（画图展示），现在要找到它的圆心，你们有什么办法吗？（学生可能回答：画圆、找对称轴等）对！我们可以利用圆的对称性。请大家拿出课前准备的圆形纸片，把圆对折，使折痕经过圆心，观察折痕与弦AB的位置关系，看看有什么发现？（学生动手操作，教师巡视）

（二）动手操作，探究新知（15分钟）

好，哪位同学愿意分享你的发现？（学生1：折痕垂直于弦AB，并且把AB分成相等的两部分）还有其他发现吗？（学生2：折痕还把AB所对的优弧和劣弧分别平分了）太棒了！我们把这条折痕所在的直线叫做直径，你们能总结出一个猜想吗？（学生齐声：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）这就是我们今天要学习的“垂直于弦的直径定理”（板书课题）。

（三）逻辑推理，证明定理（20分钟）

这个猜想是否正确呢？我们需要用数学语言证明它。已知：如图，AB是⊙O的弦，CD是直径，AB⊥CD，垂足为E。求证：AE=BE，$\overset{⌢}{AC}=\overset{⌢}{BC}$，$\overset{⌢}{AD}=\overset{⌢}{BD}$。大家先思考，如何证明两条线段相等？（学生回答：全等三角形）很好！我们连接OA、OB，看看△OAE和△OBE有什么关系？（学生3：OA=OB（半径），OE=OE（公共边），∠OEA=∠OEB=90°，所以△OAE≌△OBE（HL））所以AE=BE，那弧相等呢？（学生4：由全等得∠AOE=∠BOE，所以$\overset{⌢}{AC}=\overset{⌢}{BC}$，同理$\overset{⌢}{AD}=\overset{⌢}{BD}$）完全正确！这就是定理的证明过程（板书证明步骤）。

（四）例题精讲，深化理解（25分钟）

现在我们来看定理的应用。例1：在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。（教师引导：连接OA，作OE⊥AB于E，根据定理，AE=BE=4cm，在Rt△OAE中，OA²=OE²+AE²=3²+4²=25，所以OA=5cm）大家明白吗？（学生齐声：明白）例2：变式题，如果已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为6cm，怎么求圆心O到AB的距离？（学生5：AE=3cm，OE=√(OA²-AE²)=√(25-9)=4cm）很好！例3：提升题，如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于D，且AB=16cm，OC=6cm，求⊙O的半径。（教师引导：设半径为r，OD=x，则AD=8cm，根据勾股定理，r²=x²+8²，又OC=OD+DC=x+6=r，所以r=x+6，代入得(x+6)²=x²+64，解得x=2.2，所以r=8.2cm）大家能独立完成吗？（学生练习，教师巡视指导）

（五）课堂练习，巩固应用（15分钟）

现在请大家完成以下练习：1.课本P86练习第1题（已知弦长和弦心距求半径）；2.拓展题：在⊙O中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，AB与CD的距离为1cm，求⊙O的半径。（学生分组讨论，代表展示，教师点评：分AB、CD在圆心同侧和异侧两种情况讨论，同侧时，设圆心到AB距离为x，则到CD距离为x+1，由r²=x²+3²=(x+1)²+4²，解得x=3，r=3√2；异侧时，r²=x²+3²=(x-1)²+4²，解得x=5，r=√34）

（六）课堂小结，梳理知识（5分钟）

这节课我们学习了垂直于弦的直径定理，谁能用自己的话总结一下？（学生6：垂直于弦的直径平分弦，平分弦所对的两条弧；应用时要注意构造直角三角形，用勾股定理计算）还有补充吗？（学生7：定理中的直径所在的直线也是对称轴，所以圆是轴对称图形）总结得非常全面！

（七）分层作业，拓展延伸（5分钟）

作业：1.基础题：课本P89习题24.1第3、4题；2.提升题：已知⊙O中，弦AB=8cm，点C在AB上，AC=2cm，过C作弦DE，使DE=AB，求圆心O到DE的距离；3.探究题：如果弦AB与CD相交于点E，且AE=BE，CE=DE，那么圆心O在什么位置？（AB、CD的垂直平分线的交点）下节课我们交流探究结果！教学资源拓展六、教学资源拓展

1.拓展资源

（1）定理的变式与逆定理：教材中“垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧”是原定理，其逆定理“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”及推论“弦的垂直平分线经过圆心，平分弦所对的两条弧”可深化对定理条件的理解，需结合图形分析“弦不是直径”的必要性。

（2）垂径定理的几何意义：揭示圆的轴对称性，任何直径都是圆的对称轴，弦被直径垂直平分时，弦的两端点关于直径对称，弧的平分实质是对称点的重合，可联系圆的旋转对称性。

（3）弦长与半径的关系：由定理推导弦长公式\(l=2\sqrt{r^2-d^2}\)（\(l\)为弦长，\(r\)为半径，\(d\)为弦心距），强调\(d\)与\(r\)的数量关系（\(d<r\)），结合例题分析\(d\)变化时弦长的变化规律。

（4）实际应用模型：拱桥的拱高、跨度计算（如教材例题延伸），弓形面积求法（弦长与弧长结合），圆形工件中弦长的测量（利用定理间接求半径），体现数学与工程问题的联系。

（5）综合问题拓展：垂径定理与勾股定理、相似三角形的综合应用（如求弦心距、半径、弦长的混合计算），与圆周角定理结合（如弧长与圆心角关系），在复杂图形（相交弦、切线）中识别定理条件。

（6）数学史背景：《九章算术》“圆田术”中“径一周三”的测量改进，刘徽利用割圆法结合垂径思想计算圆周率，体现古代数学家对圆的性质的探索。

2.拓展建议

（1）操作探究：用几何画板动态演示弦的位置变化（弦心距\(d\)从\(0\)到\(r\)），观察弦长变化规律，验证弦长公式；折叠圆形纸片，改变弦的位置，记录“直径垂直弦”时弦的平分情况，归纳定理的适用条件。

（2）定理辨析：收集易错案例（如“直径平分弦则垂直于弦”是否成立？弦为直径时定理是否适用？），通过小组讨论明确定理中的“弦不是直径”的限制条件，编写辨析题巩固理解。

（3）应用建模：测量校园圆形花坛的弦长（如用卷尺测量一段弧对应的弦长和拱高），利用定理计算半径；设计“修复破损圆形工件”方案，测量残留弦长，确定圆心位置，培养问题解决能力。

（4）综合训练：分层完成习题（基础：已知弦长和弦心距求半径；提升：已知两条平行弦的长度和距离求半径；拓展：弦与半径成30°角时，弦长与半径的关系），提升定理应用的灵活性。

（5）阅读拓展：阅读《几何原本》中圆的对称性证明，了解古代数学家对垂径定理的逻辑推导；撰写小论文“垂径定理在生活中的应用”，结合拱桥、齿轮等实例分析数学价值。反思改进措施（一）教学特色创新

1.实验探究先行：通过圆形纸片折叠实验，让学生直观发现垂直于弦的直径的性质，替代传统直接讲授，增强体验感。

2.分层例题设计：从基础弦长计算到复杂综合应用，设置梯度练习，兼顾不同层次学生需求。

（二）存在主要问题

1.学生抽象思维不足：部分学生对定理证明中的几何转化（如全等三角形构造）理解较慢，需更直观的演示。

2.时间分配紧张：定理探究与例题讲解占用时间较多，导致课堂练习环节压缩，学生消化不足。

（三）改进措施

1.强化动态演示：增加几何画板动画展示定理证明过程，动态呈现三角形全等和弧的平分，帮助学生建立空间想象。

2.优化教学结构：将定理证明前置为课前微课预习，课堂聚焦性质应用与变式训练，保证练习时间。

3.增设错题分析：收集典型错误案例（如忽略“弦非直径”条件），针对性讲解，强化定理适用条件辨析。典型例题讲解例1：在⊙O中，弦AB=10cm，圆心O到AB的距离为6cm，求⊙O的半径。

解：连接OA，作OE⊥AB于E，则AE=5cm。在Rt△OAE中，OA²=OE²+AE²=6²+5²=61，故OA=√61cm。

例2：已知⊙O的半径为13cm，弦AB=24cm，求圆心O到AB的距离。

解：作OE⊥AB于E，则AE=12cm。在Rt△OAE中，OE=√(OA²-AE²)=√(13²-12²)=5cm。

例3：某拱桥的拱高为4m，跨度为16m，求拱桥所在圆的半径。

解：设圆心为O，AB为跨度，CD为拱高，则CD⊥AB于E，AE=8m，OE=r-4。由r²=(r-4)²+8²，解得r=10m。

例4：在⊙O中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，AB与CD距离为1cm，求半径。

解：分同侧与异侧讨论。同侧：设圆心到AB距离为x，则到CD为x+1，由r²=x²+3²=(x+1)²+4²，得x=3，r=3√2cm；异侧：r²=x²+3²=(x-1)²+4²，得x=5，r=√34cm。

例5：已知⊙O中，弦AB=8cm，点C在AB上，AC=2cm，过C作弦DE=AB，求圆心O到DE的距离。

解：由AB=8cm，得弦心距d₁=√(r²-16)。因DE=AB=8cm，故弦心距d₂=d₁。设OC=x，则d₂=|x±d₁|，结合位置关系解得d₂=√(r²-16)。板书设计①定理核心内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；符号语言：AB是⊙O的弦，CD是直径，AB⊥CD于E→AE=BE，$\overset{⌢}{AC}=\overset{⌢}{BC}$，$\overset{⌢}{AD}=\overset{⌢}{BD}$。

②定理证明关键：连接OA、OB；OA=OB（半径），OE=OE（公共边），∠OEA=∠OEB=90°→△OAE≌△OBE（HL）→AE=BE；由∠AOE=∠BOE→弧相等。

③定理应用要点：弦长公式l=2$\sqrt{r^2-d^2}$；作弦心距构造直角三角形；关键步骤“垂直→平分→勾股”；易错点“弦非直径”。课堂小结，当堂检测课堂小结：本节课学习了垂直于弦的直径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。通过折叠实验和逻辑推理，掌握了定理的证明过程，关键步骤包括连接半径、构造全等三角形和运用勾股定理。应用中，重点使用弦长公式\(l=2\sqrt{r^2-d^2}\)求解弦长、半径或弦心距，强调“弦非直径”的条件。实际应用如拱桥计算，体现了数学与生活的联系。

当堂检测：

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