2025-2026学年下学期广东汕头金山中学高一数学2026年4月阶段考试卷（含答案）

2025级高一第二学期阶段性考试数学试卷第I卷选择题一.单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足z=i1−i，则A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在梯形ABCD中，AB//CD,CD=3AB，点E在对角线AC上，且A.AB−2C.2AB−3.如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA′BA.2B.2C.4D.24.已知向量a=1,1,b=3,−1,A.2,2B.2,25.下列各图是正方体或正四面体,P,Q,A.B.C.D.6.如图，滨江公园内有一块三角形形状的草坪ABC，经测量得AB=30 m，AC=40 m,BC=1013 m,在保护草坪的同时,为了方便游人行走,现打算铺设一条小路DE(其中,点D在边AB上,点E在边ACA.40B.305C.30D.如图所示,将一个冰球放在一个带有盖子的正四面体的杯状容器中,此时盖子恰好能够盖上.已知该杯状容器的深度为h,则当冰球完全融化为水时的深度约为()参考数据:πA.0.48hB.0.54h8.奔驰定理:已知O是△ABC内的一点，若△BOC、△AOC、△AOB的面积分别记为S1、S2、S3,则S1⋅OA+S2⋅OB+S3⋅OC=0.A.64B.62C.3二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,有选错得0分,部分选对的得部分分.9.圆台的上、下底面半径分别为1和2,它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180∘,则圆台的(A.母线长为2B.表面积为11πC.高为3D.体积为210.若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,A.四面体ABCD每组对棱相互垂直B.四面体ABCD每个面的面积相等C.连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分D.从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90∘且小于11.如图,已知等腰梯形ABCD中,AB//CD,AD=DC=BC=12AB=1,点M,N分别为线段AD,A.PQB.∠C.若I为ΔPMN的外心，则D.PM第II卷非选择题三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量a=1,2,b=2,−3.若向量c=x,13.已知复数z1,z2是实系数一元二次方程的两个根，若z1=i14.祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”。现有一个空心铁质半球壳,外半径为3cm,内半径为1 cm(厚度均匀),放入水中后漂浮(平面朝下).已知浸入水中部分的深度为1cm，则浸入水中部分的体积为_____四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)已知向量a,b满足a=5，b=(1)求a与b的夹角的余弦值；(2)求2a16.(本小题15分)已知向量a=cos2x,(1)求fx(2)将函数fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移π12个单位得到gx的图象，求gx17.(本小题15分)上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示,将展区中扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区,分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为60米,∠AOB=π3,动点P在扇形AOB的弧上,点Q在半径OB(1)当OQ=40米时，求分隔栏PQ(2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角OPQ的面积s的最大值.18.(本小题17分)已知△ABC内角A,B,C的对边为a,b,c，点M是△(1)求角A；(2)延长AM交BC于点D，若AD=233，求(3)求AM的取值范围.19.(本小题17分)在平面直角坐标系xOy中,对于非零向量a=x1,y1,b=x2,y2,定义这两个向量的“相离度”为da,b=x1y2(2)①已知a，b的夹角为θ1和c，d的夹角为θ2，证明:da,②在△ABC中，AB=2,AC=4,DC=2BD2025级高一第二学期阶段性考试数学参考答案题号1234567891011答案BACDDDCBABCBCABC12.−79,−715.(1)∵a∴a∴5∴cos⟨a(2)由(1)知a⋅b∴2∴216.(1)因为向量a=cos2x,2cosx，所以f=2令π2解得x∈所以fx的单调递减区间为π(2)由(1)知fx=函数fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的12,再向右平移π则gx∴当x∈−π12,则gx所以gx在−π12,π17.(1)因为PQ//OA，所以∠在△OPQ中,OQ由余弦定理得OP即3600=1600+PQ2+40PQ,解得PQ=206−20或(2)因为PQI/设∠OPQ=∠AOP=θ在△OPQ中,由正弦定理得OP所有OQ=则S==∴当2θ+π6∈π当sin2θ+π6=1,即θ=π618.(1)因为3bcosA=asinB，所以根据正弦定理得3因为sinB≠0,所以所以tanA=3,因为0<A(2)如图,点M是△ABC的内心,则AM平分角A,则∠因为S△所以12化简得:bc=根据余弦定理得a2①②联立方程组解得:b+解得b+c=2±4+4×所以△ABC的周长为a(3)设三角形ABC内切圆半径为h.因为S△S所以34bc=12因为hAM=sinπ6=根据余弦定理得:a2=b2即b+c2−又b+c2−4=3bc≤3当且仅当b=c=2故AM=综上,AM的取值范围为