天津市滨海新区塘沽紫云中学2025-2026学年高一下学期第一次学情检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市滨海新区塘沽紫云中学高一（下）第一次学情检测数学试卷一、单项选择题：本大题共12小题，共48分。1.化简等于（）A. B. C. D.2.设平面向量，，若，则（

）A. B. C. D.63.已知为不共线的非零向量，，，，则（）A.A，B，C三点共线 B.A，B、D三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线4.设的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于(

)A. B. C.2 D.35.已知一个水平放置的平面四边形ABCD的直观图是面积为2的正方形，则原四边形ABCD的面积为（）A.2 B. C.2 D.46.在△ABC中，a,b,c分别是内角A，B，C的对边，已知BC=3，AC=，sinB=，则角A=（）A. B. C.或 D.或7.已知向量=（3，4），=（5，0），那么向量在向量上的投影向量为（）A.3 B.5 C.（3，0） D.8.已知的三个内角A、B、C所对边分别为a、b、c，则“”是“为直角三角形”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知=（1，3），=（m，4），若与的夹角为锐角，则实数m的取值范围是（）A.（-∞，-12） B.（-12，+∞）

C.（-12，）∪（，+∞） D.（-12，）∪（，+∞）10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.11.如图在△ABC中，∠ABC=90°，F为AB中点，CE=3，CB=8，AB=12，则=（）A.-15

B.-13

C.13

D.1512.圣•索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为35m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为15°，则犇犇估算索菲亚教堂的高度CD约为（结果保留整数）（）

A.44m B.47m C.50m D.53m二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。13.i是虚数单位，复数=

．14.已知单位向量，的夹角为45°，k-与垂直，则k=______．15.下列关于棱柱的说法：

①所有的面都是平行四边形；

②每一个面都不会是三角形；

③两底面平行，各侧棱也平行；

④被平面截成的两部分可以都是棱柱.

其中说法正确的序号有

.16.若向量，满足||=3，|-|=5，•=1，则||=

.17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cosA=______．18.在平行四边形ABCD中，AB=2AD=2，，E，F分别为边BC，CD上的动点.若，，则=

；若，k∈[0，1]，则的取值范围是

.三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题12分)

已知复数z1=a+3i（a∈R），z2=3-i,且z1-z2为纯虚数.

（1）求a；

（2）若|z|=|z2|，且z-z1为实数，求z.20.(本小题12分)

已知=（1，2），=（-3，1）．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）设的夹角为θ，求cosθ的值；

（Ⅲ）若向量与互相垂直，求k的值．21.(本小题12分)

在△ABC中，A，B，C的对边分别是a,b,c,已知（a-2b）cosC=c（2cosB-cosA）.

（1）求的值；

（2）若，△ABC的面积为，求c.22.(本小题12分)

在锐角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，=（cosA，sinA），=（cosA，-sinA），向量，的夹角为．

（1）求角A；

（2）若a=，求△ABC周长的取值范围．

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】D

10.【答案】B

11.【答案】C

12.【答案】D

13.【答案】4-i

14.【答案】

15.【答案】③④

16.【答案】

17.【答案】

18.【答案】3[1，3]

19.【答案】3

z=1+3i或z=-1+3i

20.【答案】解：（Ⅰ）=（1，2）-2（-3，1）=（1+6，2-2）=（7，0）．

（Ⅱ）=．

（Ⅲ）因为向量与互相垂直，

所以（）•（）=0，即

因为=5，，

​​​​​​​所以5-10k2=0，解得．

21.【答案】2

22.【答案】解：（1）∵=（cosA，sinA），=（cosA，-sinA），

∴由题知：||=||=1，

∵与的夹角为，

∴cos==cos2A-sin2A，即cos2A=-，

又∵0＜A＜，0＜2A＜π，

∴2A=，故A=．

（2）由正弦定理，得=1，

可得b=sinB，c=sinC，

又因为△ABC为锐角三角形，可得B∈（，），

可得b+c=sinB+sinC=sinB+sin