黑龙江省哈尔滨市2025-2026学年高一数学上学期期中试卷含解析

一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目

要求的.

AxZ3x20BxRx29

1.已知集合，，则AB（）

22

A.3,B.,3C.2,1D.3,2,1

33

【答案】D

【解析】

【分析】解出不等式3x20和x29，再由交集的定义可得出集合AB.

2

【详解】AxZ3x20xZx，BxRx29xR3x3，

3

2

因此，ABxZ3x3,2,1.

3

故选D.

【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.

2.已知命题p:x0,x3x，命题q:x0,x210，则（）

A.p和q均为真命题B.p和q均为真命题

C.p和q均为真命题D.p和q均为真命题

【答案】B

【解析】

【分析】直接判断命题的真假，再根据命题的否定可判断.

【详解】对于命题p，当x1时，x3x，所以p为假命题，则p为真命题；

对于命题q，当x=1时，x2+1>0，所以q为真命题.

综上，p和q均为真命题.

故选：B.

3.已知函数fxm2x22mx1的定义域为R，则实数m的取值范围是（）

A.2,2B.1,2

C2,12,D.,12,

.

【答案】B

【解析】

【分析】

2

根据题中条件，得到m2x2mx10对任意xR恒成立，分别讨论m20和m20两种情

况，即可得出结果.

【详解】因为函数fxm2x22mx1的定义域为R，

所以m2x22mx10对任意xR恒成立，

1

若m20，即m2时，则不等式可化为4x10，解得x，不满足题意；

4

m20

若m20，即m2时，只需2，解得1m2.

4m4m20

故选：B.

4.下列各式错误的是（）

1.6

A.30.830.7B.0.750.10.750.1C.33D.0.50.40.50.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性逐项判断即可.

【详解】对于yax，由指数函数的性质可知，

当0a1时，yax在R上单调递减，所以0.750.10.750.1，0.50.40.50.6，B说法错误，D说法正确；

1.6

当a1时，yax在R上单调递增，所以30.830.7，33，AC说法正确；

故选：B

5.幂函数fxm23m3xm在区间0,上单调递减，则下列说法正确的是（）

A.m4B.m4或m1

C.fx是奇函数D.fx是偶函数

【答案】C

【解析】

【分析】利用幂函数的定义和单调性可求m的值，故可判断AB的正误，再根据奇偶性的定义可判断CD的

正误.

2m

【详解】函数fxm3m3x为幂函数，则m23m31，解得m4或m1.

当m4时，fxx4在区间0,上单调递增，不满足条件，排除A，B；

11

所以fx，定义域x|x0关于原点对称，且f(x)f(x)，

xx

所以函数f(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.

故选：C.

11

6.已知a0，则“a”是“2”的（）

2a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

11111

【详解】a2满足a，但不满足2，因此不充分，但2时，一定有0a，即a成

2aa22

立，必要的，因此题中应是必要不充分条件．

故选：B．

3x3x

7.函数fx的图象大致为（）

3x

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

3x3x

【分析】根据函数fx的奇偶性定义可排除选项C，D；结合指数函数的性质可得：当x0时，

3x

fx0，即可排除选项B，进而求解.

3x3x3x3x

【详解】因为fxfx，所以fx为奇函数，故选项C，D错误；

3x3x

xx

331

当x0时，fx32x110，故选项B错误，选项A正确.

3x32x

故选：A.

7761

x2x,x1

848

8.已知fx，t为常数，若存在互不相同的三个实数a，b，c满足

1

4x,x1

x

fafbfct，则abc的取值范围是（）

A.1,22B.1,2C.1,2D.1,0

【答案】D

【解析】

【分析】分析x<1与x1时函数f(x)的性质，再根据存在互不相同的三个实数a，b，c满足

f(a)f(b)f(c)t确定t的取值范围，最后根据函数性质求出abc的取值范围.

7761717

【详解】当x1时，f(x)x2x，将其化为顶点式：f(x)(x1)2

84882

可知该函数图象开口向下，对称轴为x1.

11

当x1时，f(x)4x，根据对勾函数性质，知道函数在[1,)上单调递增，f(1)415.

x1

17

因为存在互不相同的三个实数a，b，c满足f(a)f(b)f(c)t，结合函数图象可知5<t<.

2

设abc，由二次函数的对称性可知a，b关于对称轴x1对称，则ab2.

117117

由4ct，5<t<，即54c<.

c2c2

1

解不等式4c>5，即4c25c1>0，(4c1)(c1)>0，因为c1，所以c>1.

c

1171

解不等式4c，即8c217c2<0，(8c1)(c2)>0，解得<c<2，结合c1，所以1<c<2.

c28

则abc2c，因为1<c<2，所以1<2c<0，即abc的取值范围是(1,0).

故选：D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，

有选错的得0分.

9.若a,b,cR，则下列命题中为真命题的是（）

A.若ab,cd，则acbdB.若ab，则a2b2

211

C.若abc0，则abD.若，则ab

ba

【答案】BC

【解析】

【分析】取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C.

【详解】对于A，取a0b1,c1d0，但ac0,bd0，故A错误；

对于B，若ab，对不等式两边同时平方则a2b2，故B正确；

2

对于C，若abc0，则ab>0，所以ab，故C正确；

11

对于D，若，取b1,a2，则ab，故D错误.

ba

故选：BC.

10.设正实数a，b满足ab4，则下列结论正确的是（）

11

A.有最小值1B.ab有最小值2

ab

C.ab有最大值22D.a2b2有最大值8

【答案】AC

【解析】

【分析】利用乘“1”法即可判断A；根据基本不等式即可判断B；平方后利用基本不等式即可判断C；利用

常用不等式即可判断D.

【详解】因为正实数a,b满足ab4，所以

111111ba1ba

(ab)()(2)(22)1，当且仅当ab2时等号成立，A正确；

ab4ab4ab4ab

ab

ab2，当且仅当ab2时等号成立，B错误；

2

2

abab2ab448，ab22，当且仅当ab2时等号成立，C正确；

2

a2b2a2b2a2b22abab

a2b28，当且仅当ab2时等号成立，D错误．

222

故选：AC．

11.设函数f(x)2x1,a,b,cR，且abc，下列说法正确的是（）

A.函数yf(x)有最小值0，无最大值

B.函数yf(x)与直线y1的图像有两个不同的公共点

C.若f(a)f(c)f(b)，则2a2c2

7

D.若f(a)f(b)，则22a2b的取值范围是,2

4

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题意画出f(x)图像，由图像可知f(x)的最小值为0，无最大值，且图像与y1只有一个公共

点，从而可对选项A,B进行判断，abc，且f(a)f(c)f(b)可知a,b,c在图像中如图，f(a)1，

且a0，f(c)1，且c0，由此可对C选项进行判断，由图可知f(a)1，f(b)1，且a0，b0，

2ab2aaa127

从而由f(a)f(b)得2a2b2，则22222(2)，再由02a1，可求得其

24

范围

【详解】解：由题意画出f(x)图像.

A项，当x0时，f(x)0，无最大值，所以A正确

B项，与y1只有一个公共点，所以B错误

C项，abc，且f(a)f(c)f(b)可知，a,b,c在图像中如图，f(a)1，且a0，f(c)1，

且c0，则0c1，则0f(c)f(a)1，所以2c112a，所以2a2c2，所以C正确

对于D，由图可知f(a)1，f(b)1，且a0，b0，

则f(a)f(b)可写为2a12b1，

12a2b1，

2a2b2，

所以2b22a，

17

所以22a2b22a2a2(2a)2，

24

因为a0，所以02a1，

2ab2aaa1277

所以22222(2),2

244

所以D正确，

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：此题考查指数函数的图像和性质的应用，解题的关键是准确的画出函数的图像，利

用数形结合的思想解题，属于中档题

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

10

12.函数fxx1的定义域为______

2x3x2

【答案】1,11,3

【解析】

【分析】根据函数的解析式列出不等式求解.

2x3x20x1x30

【详解】由函数的解析式可得，即，解得1x3且x1，

x10x10

所以函数fx的定义域为1,11,3.

故答案为：1,11,3.

13.若函数fx满足：fx1是偶函数，且fx在1,上单调递减，则关于m的不等式

fm3f2m的解集为__________________

1

【答案】3,,

3

【解析】

【分析】利用偶函数的性质，结合图象平移的性质得到m22m1，利用平方法进行求解即可.

【详解】设g(x)fx1，则g(x)是偶函数，

且函数fx的图象向左平移1个单位得到fx1的图象，即g(x)的图象，

又fx在1,上单调递减，所以g(x)在0,上单调递减，

因为fm3f2m，则fm21f(2m11)，

所以gm2g2m1，故gm2g2m1，

22

则m22m1，所以m22m1，

1

整理得3m28m30，解得m或m3，

3

1

所以fm3f2m的解集为,3,.

3

1

故答案为：,3,

3

22

14.已知函数f(x)x2x3a，g(x)，若对任意x[0,3]，总存在x[2,3]，使得f(x)g(x)

x11212

成立，则实数a的取值范围是___________.

1

【答案】a

3

【解析】

【分析】由g(x)2在x[2，3]上单调递减，可求g(x)[1，2]，对任意x[0，3]，总存在x[2，

x1212

3]，使得f(x1)g(x2)成立，可得f(x1)maxg(x2)max，结合二次函数的性质可求

2

【详解】f(x)x2x3a在x1[0，3]上先减后增

故当x1时，函数有最小值f（1）3a1，当x3时，函数有最大值f（3）33a

故f(x1)[3a1，3a3]，

2

g(x)在x[2，3]上单调递减，故g(x)[1，2]，

x12

对任意x1[0，3]，总存在x2[2，3]，使得|f(x1)|g(x2)成立，

f(x1)maxg(x2)max，

33a2，

1

解可得，a

3

1

故答案为：a

3

【点睛】本题主要考查不等式的恒成立与函数的存在性问题的相互转化思想的应用，解题的关键是二次函

数性质的应用，属于中档题．

四、解答题：本题有5道题，总共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

111

224

15.（1）132710；

10

3002423

22

11

aa1

（2）已知22，a1，求的值.

aa3aa11

23

【答案】（1）5；（2）

3

【解析】

【分析】（1）利用根式与指数幂的运算性质计算；

11

（2）由两边平方可得1，再平方可得22，代入计算即可.

a2a23aa7aa47

1

【详解】（1）原式3274

300101023

44

1

4

34

103101023

2

1031520103=5.

112

11

（2）∵，∴22，即1，

22aa9aa29

aa3

2

∴aa17，∴aa149，即a2a2249，∴a2a247，

a2a2147123

∴.

aa11713

16.已知实数a＞0，b＞0，a＋2b＝2

12

（1）求的最小值；

ab

（2）求a2＋4b2＋5ab的最大值.

9

【答案】（1）；

2

9

（2）.

2

【解析】

12112

【分析】(1)利用(a2b)转化为用基本不等式求解；

ab2ab

(2)a24b25ab(a2b)2ab4ab，根据a＋2b＝2利用基本不等式求出ab范围即可.

【小问1详解】

1211212b2a

(a2b)5

ab2ab2ab

12b2a12b2a9

∵a0,b0，∴552，

2ab2ab2

2b2a2

当且仅当，即ab时，等号成立.

ab3

129

∴的最小值为；

ab2

【小问2详解】

∵a24b25ab(a2b)2ab4ab，

119

又a2b222ab，∴ab，故a24b25ab4，

222

1

当且仅当a2b，即a1,b时，等号成立.

2

9

故a24b25ab取得最大值.

2

2

17.已知函数fx满足fxaxx，其中a0，且a1.

1

（1）若a2，求函数yfx的定义域；

4

（2）讨论fx的值域.

【答案】（1）1,2

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据函数的解析式，列出不等式求解即可；

（2）对a分类讨论，利用指数函数的单调性求解即可.

【小问1详解】

2121

当a2时，fx2xx，则yfx2xx，

44

xx21

∴20，则xx22，即x2x20，

4

解得1x2，

1

所以函数yfx的定义域为1,2

4

【小问2详解】

2

xx22111

∵fxa，又yxxx，

244

1

1

x24

当a1时，ya在R上单调递增，所以fxaxxa4，故值域为0,a；

1

1

x24

当0a1时，ya在R上单调递减，所以fxaxxa4，故值域为a,.

11

综上，当a1时，fx的值域为0,a4；当0a1时，fx的值域为a4,.

x

18.定义在(，0)(0，)上的函数yf(x)满足f()f(x)f(y)，且函数f(x)在(0，)上是

y

增函数．

（1）求f(1)，并证明函数yf(x)是偶函数；

3

（2）若f(4)2，解不等式f(x5)f()1．

x

【答案】（1）（f1）0，证明见解析；（2）{x|xx＜0或0＜x2或3x＜5或5＜x6}.

【解析】

【分析】（1）先计算f（1）0，再令x1，y1可得（f1），令y1即可得出f（x）f（x）；

x25x

（2）计算（f2）1，故而不等式等价于（f）f(2)，根据（fx）的单调性和奇偶性列不等式得出

3

解集．

【详解】解：（1）令xy0，则（f1）（fx）（fx）0，

再令x1，y1可得（f1）（f1）（f1）（f1），

∴（f1）0．

令y1可得（fx）（fx）（f1）（fx），

∴（fx）是偶函数．

1

（2）∵（f2）（f4）（f2），∴（f2）（f4）1，

2

3x25x

又（fx5）（f）（f），

x3

x25x

∴（f）f2，

3

∵（fx）是偶函数，在（0，）上单调递增，

x25xx25x

∴22且0，

33

解得1x＜0或0＜x2或3x＜5或5＜x6．

所以不等式的解集为{x|xx＜0或0＜x2或3x＜5或5＜x6}

【点睛】本题考查了抽象函数的单调性，函数单调性的应用，属于中档题．

xx

19.已知函数fx2k2是定义在R上的奇函数.

（1）判断fx在0,上的单调性（直接写结果，无需证明）：

（2）对任意xR，不等式fx2mxf4x0恒成立时，求m的取值范围：

xx

（3）设函数hx442nfx，hx在1,上的最小值为2，求n的值.

【答案】（1）函数fx在0,上单调递增；

（2）3,5

（3）n2

【解析】