湖南省长沙市2026届高三第一次模拟考试数学试卷

湖南省长沙市2026届高三第一次模拟考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．设，则“”是“”成立的(

)A.充要不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充要也不必要条件答案：C解析：当时，，当a，b一正一负时，，当时，，所以，故选C.2．非空集合A、B满足，，，则(

)A. B.R C.A D.B答案：C解析：，则，，故选：C.3．已知，，则在上的投影向量为(

)A. B. C. D.答案：B解析：因为，，所以，所以在上的投影向量为故选：B4．已知函数的定义域为R，，则“是奇函数”是“是偶函数”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：当是奇函数时，因为，所以是偶函数.当是偶函数时，，而，所以，当是偶函数时，显然成立，所以是偶函数成立，不一定能推出是奇函数，所以“是奇函数”是“是偶函数”的充分不必要条件，故选：A5．已知，，，，则(

)A. B. C. D.或答案：C解析：因为，所以，所以，因为，，所以，又，所以，，所以，所以，故选：C.6．如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为(

)A. B. C. D.答案：B解析：建立如图所示坐标系，设下底面正方形的中心为坐标原点，因为下底面边长为2，几何体的高为，所以，，，，，，，.设球心，外接球半径为R.所以则解得：.所以.外接球表面积故选：B.7．已知G为的重心，过G的直线与，边分别交于M，N点，若，，则的最大值为(

)A.2 B. C.4 D.答案：C解析：因为G为的重心，所以，又因为，，所以，又因为M，N，G三点共线，所以，因为M在线段上，所以与同向且，于是，同理，结合得.目标函数为，记，，求导，得：，所以在上单调递增，.故选：C8．已知正实数a、b、c满足，则a、b、c的大小关系不可能是(

)A. B. C. D.答案：D解析：由，令，，，在同一坐标系中作出其图象，如图所示：由上图可知，选项ABC都成立，D不成立.故选：D二、多项选择题9．有一组数据1，1，3，4，5，5，6，7，则(

)A.该组数据的极差为6 B.该组数据的中位数为5C.该组数据的平均数为4 D.将数据1均改为3后，方差会变大答案：AC解析：数据的极差为，所以A正确；数据的中位数为，故B错误；数据的平均数为，故C正确；原数据的方差.数据1均改为3后的数据为3，3，3，4，5，5，6，7，平均数为.因为，所以数据1均改为3后，方差会变小，故D错误.故选：AC10．在中，，，，则(

)A. B.C. D.的面积为答案：BCD解析：如图所示，过点D作，，则，又因为，并且在中，所以，所以是等腰三角形，所以，由，可知D为中点，所以是的中位线，所以E为线段的中点，所以，则A项错误.，在中：，则B项正确.过点D作，，，，所以，的面积为，则C、D项正确.故选：BCD11．已知抛物线的焦点为，过点的直线l与C交于，两点，其中，，则(

)A.直线l的斜率为 B.点M到y轴的距离为7C.的面积为 D.直线的倾斜角为30°或150°答案：AC解析：由抛物线的焦点为，得抛物线，设，由对称性，不妨令点M在第一象限，连接并延长交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，直线，由消去x得，则，即，直线，由消去x得，则，即，因此，点N与关于x轴对称，则，同理得，点M与关于x轴对称，，，由N与关于x轴对称，得平分，则，而，且，则，于是，直线的斜率，直线，由消去x得，而，解得，，则，，，点，，对于A，直线l的斜率为，由对称性知，也是直线l的斜率，A正确；对于B，点或到y轴的距离均为6，B错误；对于C，由，得，C正确；对于D，直线的倾斜角，由对称性知，也是直线的倾斜角，D错误.故选：AC三、填空题12．若集合，，则__________.答案：解析：得，则，则故答案为：13．已知椭圆的左焦点为F，点G在C上，点H在圆上，则的最小值为______.答案：解析：椭圆的左焦点，圆化为，圆心为，半径为1，因为点H在圆上，所以;的最小值为；因为，当且仅当G，E，F三点共线时，取到等号，而，所以的最小值为.故答案为：14．作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中q表示阶数.若，，则的最小值为_____________.答案：2解析：法1：由题意得，令，则，所以当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即.当时，，当且仅当时，取得最小值2.当时，，当且仅当时，取得最小值2.当时，，当且仅当，时，取得最小值2.综上所述，的最小值为2.法2：表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和.作于H，，令，则，令，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，故的最小值为2.故答案为：2.四、解答题15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求B；(2)若的角平分线交边于点D，，，求的周长.答案：(1)(2)解析：（1）由及正弦定理，得，，，，，，，或.，，，，即.（2）如图：，，①，又在中，由余弦定理可得，即②，将①代入②得，或（舍），.的周长为.16．已知各项均不为零的数列、，且满足，.(1)若是公比为的等比数列，求数列的前n项和；(2)若是公差为2的等差数列，记数列前n项和为，证明：.答案：(1)(2)证明见解析解析：（1）由数列、各项均不为零，且，所以，因为是公比为的等比数列，所以，因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以；（2）证明：因为，且是公差为2的等差数列，所以，即，当，且时，，，，…，，，，所以，因为，所以，所以，所以，因为，，所以.17．社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手.假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立.(1)若.（i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率；（ii）求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率；(2)若前4局中甲参与的平均次数不小于，求p的取值范围.答案：(1)（i）；（ii）；(2)解析：（1）（i）要使三人都参与两局，则每人恰好轮空一次，这要求第1局的胜者在第2局必须输掉，若第1局甲胜乙，则第2局丙必须胜甲，概率为；若第1局乙胜甲，则第2局丙必须胜乙，概率为，所以前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率为；（ii）若第1局甲胜乙，则第2局参与的同学是甲和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形：①第2局甲胜丙，第3局甲胜乙；②第2局丙胜甲，第3局丙胜乙.第①种情形概率为；第②种情形为.若第1局乙胜甲，则第2局参与的同学是乙和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形：①第2局乙胜丙，第3局乙胜甲；②第2局丙胜乙，第3局丙胜甲.第①种情形概率为；第②种情形为.所以第2局和第4局参与的同学完全相同的概率为；（2）设甲在前4局的参与次数为随机变量X，则，，，，所以由得，令，则，整理得，解得，所以，又，所以p的取值范围为.18．已知等差数列的前n项和为，，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.答案：(1)(2)解析：（1）设等差数列的首项为，公差为d，由题意得，解得，，所以.（2）由（1）知，则，所以，得.19．已知函数，其中.(1)当时，求在区间上的最大值；(2)若在上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围；(3)设为在内的极小值点，求证：.答案：(1)(2)(3)证明见解析解析：（1）当时，，，时，，故，单调递增，故.（2）由题，，令，则，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减.①当时，，则在上恒成立，此时单调递减，不存在极值点；②当时，，，，由零点存在性定理知，存在，，当时，