河北省石家庄市2026届高三数学上学期11月摸底考试含解析

河北省石家庄市2026届高三上学期11月教学质量摸底检测

数学试卷

一、单选题

1．已知集合M∣x3x27,N1,2,3,4，则MN（）

A．1,2,3,4B．2,3C．3,4D．

2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是3,4，则iz（）

A．34iB．34iC．43iD．43i

3．已知平面向量ax,2,b3,6，若a//b，则a（）

A．2B．2C．5D．5

ππ

4．“2kπ,kZ”是“函数ycosx的图象关于x对称”的（）

44

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2

5．已知fx是定义在R上且周期为6的奇函数，当0x3时，fx3xx，则f4（）

A．-4B．-2C．2D．4

6．已知an是公差不为零的等差数列，a12，若a1,a2,a4成等比数列，则a8（）

A．16B．18C．18D．20

π1

7．在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则sinA（）

44

A．2B．5C．25D．2

4552

2

8．若xπ,π，曲线fxax24a与gxsinxax2恰有一个交点，则a的取值范围为（）

11

A．,B．,

44

11

C．,0,D．,0,

44

二、多选题

9．已知ab0,c0，则下列不等式正确的是（）

112

A．B．2a2b2ab

ab

C．acbcD．abab

10．已知fxx312x15，则（）

A．曲线yfx关于点0,15对称

B．2是函数fx的极小值点

C．若方程fxm有三个不同的实数根，m的取值范围为m1

D．不等式fx1的解集为,4

11．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c2,b6,2cb2acosB，以下说法正确的是（）

π

A．A

3

B．若O为ABC的外心，则AOBC20

133

C．若BDDC，则AD

32

D．若点P为ABC所在平面内一动点，且BP1，则PA2PC2的最小值为3447

三、填空题

12．已知角的终边经过点P3,4，则cos．

12

13．已知a0,b0,2ab4，则的最小值为．

ab

14．牛顿数列是牛顿迭代法在求函数零点时生成的数列．对于函数fx和数列xn,若

xn1xnfxnfxn0,则称数列xn为函数fx的牛顿数列．已知数列an满足

2

anlnxn2lnxn2,a12,其中xn是函数fxx4的牛顿数列．则数列an的通项公式

n1

为．记数列an的前n项和为Sn,若1Sn2an10对nN恒成立，则实数的取

值范围为．

四、解答题

15．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b2c2a223bcsinA．

(1)求A的大小；

ππ

(2)若a3，且B,，求c的取值范围．

62

2*

16．已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，且S410S2,a39a1,nN．

(1)求数列an的通项公式；

(2)若bn2n1，令cnanbn，求数列cn的前n项和Tn．

eax31

17．已知函数fxaR在x处取得极小值．

x22

(1)求a的值，并求fx的单调区间；

1

(2)若x,2,求fx的最大值与最小值．

4

18．已知函数fxsin4x2sinxcosxcos4x．

(1)求函数fx的最小正周期；

π

(2)将函数fx的图象向左平移个单位长度，得到函数gx的图象；再将函数gx图象上各点的横坐

24

1

标变为原来的倍0（纵坐标不变），得到函数hx的图象．

（i）若hx在区间,上没有对称轴，求的取值范围；

42

g2x5

（ii）若关于x的不等式2msin2xm30在区间,上有解，求实数m的取值范

231212

围．

19．已知函数fxlnx1,gxaxex,aR．

(1)求fx在点1,f1处的切线l的方程，并证明除切点外，函数fx的图象在切线l的下方；

1

(2)若0a，

2e

（i）证明：函数hxfxgx恰有两个零点；

（ii）设x1为hx的较大零点，hx00，证明：x13x0．

参考答案

题号12345678910

答案CDCABACDBDABD

题号11

答案ACD

1．C

【详解】因为3x27，所以x3，可知Mxx3，

集合N1,2,3,4，则MN3,4.

故选：C.

2．D

【详解】在复平面中，点坐标为(3,4)对应的复数为z34i，

izi(34i)i3i4i3i4i23i(4)43i.

故选：D

3．C

【详解】平面向量ax,2,b3,6，

x2

因为a//b，所以，解得x1

36

因此，a(1,2)，

22

a12145.

故选：C.

4．A

π

【详解】若函数ycosx的图象关于x对称，

4

ππ

则kπ，即kπ,kZ，

44

ππ

可得2kπ,kZ是函数ycosx的图象关于x对称的充分不必要条件.

44

故选：A

5．B

【详解】由于fx的周期为6，因此f(4)f(46)f(2)，

又因为fx是定义在R上的奇函数，

所以f(2)f(2)，

又由条件得：f(2)3222642，

所以f(4)f(2)f22.

故选：B

6．A

【详解】设公差为dd0，

a12，a2a1d2d，a4a13d23d，

aa

24

由于a1,a2,a4成等比数列，可得：，

a1a2

2d23d

即：，

22d

即：d22d0，

解得：d0或d2，

又因为d0，所以d2，

故a8a17d27221416.

故选：A

7．C

π1

【详解】∵在ABC中，B，BC边上的高等于BC，

44

22

112

∴ABBCBCBC，

444

1110

由余弦定理得：ACAB2BC22ABBCcosBBC2BC2BC2BC，

824

1111210

故SBCBCABACsinABCBCsinA，

ABC242244

25

∴sinA.

5

故选：C

8．D

2

【详解】因为xπ,π时曲线fxax24a与gxsinxax2恰有一个交点，

2

所以当xπ,π时ax24asinxax2恰有一个解，

即当xπ,π时4axsinx恰有一个解，

显然x0满足4axsinx，

所以当xπ,00,π时4axsinx无解，

sinx

即xπ,00,π时4a无解，

x

sinx

令gx，xπ,00,π，

x

sinxsinx

则gxgx，所以gx为偶函数，

xx

令hxxsinx，x0,π，则hx1cosx0，所以hx在0,π上单调递增，

所以hxh00，所以xsinx0在0,π上恒成立，

sinx

所以1在0,π上恒成立，

x

sinx

又当x0,π时sinx0,1，所以0，

x

sinx

综上可得01在0,π上恒成立，

x

所以当x0,π时gx0,1，又gx为偶函数，所以当xπ,00,π时gx0,1，

sinx

由上述分析可得y4a与gx在xπ,00,π无交点，

x

1

所以4a1或4a0，解得a或a0，

4

1

即a的取值范围为,0,.

4

故选：D

9．BD

11

【详解】对于A：当a3，b1时满足ab0，但是，故A错误；

ab

22

对于B：因为2a2b2aba2b22abab0当且仅当ab时取等号，

2

所以2a2b2ab，当且仅当ab时取等号，故B正确；

对于C：当c0时acbc，故C错误；

对于D：因为ab0，所以ab0，则2abab，

2

又abab2ab0，当且仅当ab时取等号，所以ab2ab，所以abab，故D正确.

故选：BD

10．ABD

【详解】函数fxx312x15的定义域为R，

3

对于A：因为fxfxx312x15x12x1530，

所以yfx关于点0,15对称，故A正确；

对于B：因为fx3x2123x2x2，

所以当x2或x2时fx0，当2x2时fx0，

所以fx在,2，2,上单调递增，在2,2上单调递减，

所以2是函数fx的极小值点，故B正确；

对于C：因为f21，f231，

若方程fxm有三个不同的实数根，则m的取值范围为1m31，故C错误；

对于D：令f(x)1，即x312x151，整理得x312x160。

因式分解：易得x2是根，使用综合除法：(x312x16)(x2)x22x8,

再因式分解x2+2x-8=(x+4)(x-2)，

故x312x16(x2)2(x4),因此f(x)1(x2)2(x4).

其中(x2)20恒成立，且当x2时严格大于0.

符号分析：

当x40（即x<4)，(x2)20，x40，故f(x)10，即f(x)1。

当x4，f(x)10（仅在x4和x2处等于0），故f(x)1.

因此f(x)1当且仅当x<4，解集为(,4)，故D正确.

故选：ABD

11．ACD

【详解】因为c2,b6,2cb2acosB，结合余弦定理的推论可得

a2c2b2a232

462a2a228a27，

2ac2

c2b2a22262281π

对于A，由余弦定理推论cosA，因为A0,π，所以A，A正确.

2bc22623

对于B，以点A为原点，AB为x轴建立坐标系，A0,0,B2,0,C3,33，

3315

外心O在AB垂直平分线x1上，代入BC的垂直平分线方程yx

2332

535353

得O1,，AO1,,BC1,33，AOBC11331620，B错误.

333

1

对于C，设Da,b，因为BDDC，B2,0,C3,33，

3

11

BDa2,b,DC3a,33b，所以a23a,b33b，

33

2

2

解得93393333,C正确.

D,,AD

44442

2

对于D，设Px,y满足x2y21则

22

PA2PC2x2y2x3y332x22y26x63y36，

由圆的方程得x2y24x3代入化简得PA2PC28x66x63y362x63y30，

设x2cos,ysin，得PA2PC222cos63sin30342cos63sin

263

2

2sin,cos=

，其中22，

34263sin22

263263

2

因为sin1,1，得PA2PC2的最小值为3422633447，D正确.

故选：ACD.

3

12．/0.6

5

【详解】因为角的终边经过点P3,4，

33

cos3

所以2，所以coscos.

34255

3

故答案为：-

5

13．2

【详解】因为a0,b0，

12b4ab4a

(2ab)22248，

ababab

12

代入2ab4，得：48，

ab

12

即：2，

ab

b4a

当且仅当，即b2a2时取等号.

ab

12

综上，的最小值为2.

ab

故答案为：2

11

14．a2n,

n22

【详解】对于第一空：f(x)2x,数列{xn}为函数f(x)的牛顿数列，

x24

2n

有(xn1xn)2xnxn40，得xn1，

2xn

xn2

anlnxn2lnxn2ln，

xn2

x24

n2

x22xx2

则n1n(n)2，两边取对数得：

x2x24x2

n1n2n

2xn

xn12xn2

ln2ln，即an12an.

xn12xn2

n

又a12,an2.

22n1

对于第二空：S2n12，

n21

n1n1n1n

则1Sn2an10可整理为：12210，

n111

即解1.

22n1

分n为奇数和偶数讨论：

n111

当n为奇数时，11，不等式变为：.

22n1

1111

由于fn是递增函数，且当n时，fn，故.

22n122

n1

当n为偶数时，11，不等式变为：

1111

，即.

22n122n1

1111

由于gn是递减函数，且当n时，gn，故.

22n122

11

因此，[,].

22

11

故答案为：①a2n；②[,].

n22

π

15．(1)

6

(2)3,23

【详解】（1）由余弦定理及b2c2a223bcsinA得2bccosA23bcsinA，

3

显然cosA0，tanA，

3

π

A0,π,A；

6

π

（2）sinCsinπABsinABsinB，

6

π

3sinB

asinC6π

c23sinB，

sinA16

2

ππππ2π3

B,,B,,sinB,1，

6263362

c的取值范围是3,23.

16．(1)n1

an3

n

(2)Tn1n13

【详解】（1）由S410S2，则q1，

S410S2

2,.

a39a1

42

a11q10a11q

a11

1q1q解得，

q3

22

a1q9a1

又q0,

q3,

n1n1

an133.

n1

（2）由（1）得cnanbn32n1.

Tnc1c2c3cn1cn，

1303315322n33n22n13n1，①

123n1n

3Tn1333532n332n13，②

12n1n

①-②得2Tn12323232n13，

1231323n12n13n，

313n1

122n13n，

13

n

Tn1n13.

11

17．(1)a4，fx的单调递增区间为,0,,，单调递减区间为0,；

22

4e5

(2)fx，fx.

minemax4

eax3ax2

【详解】（1）fx.

x3

1

fx在x处有极小值，

2

1

f()0，

2

1

a31

e2(a2)

即20，

1

()3

2

解得a4.

e4x3

当a4时，fxx0，

x2

e4x34x21

fx，令fx0，得x.

x32

当x(,0)时，fx0,fx单调递增，

1

当x(0,)时，fx0,fx单调递减，

2

1

当x(,)时，fx0,fx单调递增，

2

1

所以当a4时，fx在x处取得极小值.

2

11

综上，fx的单调递增区间为(,0),(,)，单调递减区间为(0,).

22

e4x3111

（2）由（1）得f(x)，fx在[,]单调递减，在(,2]单调递增，

x2422

1

43

1e24

fxf()，

min1

2()2e

2

1

43

1e416e423e5

又f(),f2，

122

4()2e24

4

16e5

，

e24

e5

fxf2.

max4

1e54

综上所述，当x[,2]时，f(x)的最大值为，最小值为.

44e

18．(1)

24515

(2)（i）0,,；（ii）m3或m．

3338

【详解】（1）fxsin4x2sinxcosxcos4x，

sin2xsin2xcos2xsin2xcos2x

sin2xcos2x

2sin2x

4

2

函数fx的最小正周期为；

2

（2）（i）将函数fx的图象向左平移个单位长度，得到

24

gx2sin2x

244

2sin2x,

6

1

将函数gx图象上各点的横坐标变为原来的倍0（纵坐标不变），

得到函数hx2sin2x

6

（i）（法一）

ππ

x,，而0，

42

ππππ

2x,π.

6266

k,

226

kZ.

k,

26

2

2k,

3

解得kZ,.

2

k,

3

又0，

2

当k0时，0；

3

45

当k1时，

33

245

综上可知，的取值范围是0,,.

333

（法二）

令2xkkZ，

62

k

则hx的对称轴方程为xkZ，.

26

又hx在区间,上没有对称轴，

42

k

264

kZ，

k1

262

2

2k

3

解得,kZ，

2

k

3

（后同法一）；

g2x

（ii）由2msin2xm30，

23

2

可得sin2x2msin2xm30，

63

2

即cos2x2msin2xm30，．

33

2

即1sin2x2msin2xm30，

33

25

即sin2x2msin2xm40，其中x,，

331212

5

因为x,，则2x，

1212236

1

令tsin2x1,，

32

1

则关于t的不等式t22mtm40在1,上有解，

2

（法一）

21

设Ftt2mtm4,t1,，

2

115

则F1m30或F2m0，

24

15

解得m3或m；

8

（法二）

1

依题意先研究：当t22mtm40在1,上恒成立时m的取值范围，再求其补集即可．

2

21

设Ftt2mtm4,t1,，

2

F10m30

则1即15.

F02m0

24

15

解得m3,

8

15

满足题意的m的取值范围是m3或m．.

8

（法三）

2

由t22mtm40可得t4m2t1，

1

当2t10，即t时，不等式不成立，舍去；.

2

11t24

当2t10，即t时，m有解，

222t1

t241151

设t2t1，令u2t10,2，

2t142t12

15

则yu在0,2上单调递增，所以当u2时，

u

11511515

2m即可，解得m；

42288

1t24

当2t10，即1t时，m有解，

22t1

此时u2t11,0，

15

而yu在1,0上单调递增，所以当u1时，

u

11

1153m即可，解得m3；

42

15

综上可知，m3或m．

8

19．(1)yx，证明见解析；

(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析

1

【详解】（1）fx，所以f11，即fx在点1，f1处的切线的斜率为