河北省石家庄市新乐市七校联合体2025-2026学年高二数学上学期11月期中质量检测试题含解析

2025～2026学年度高二上学期期中质量检测

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应

题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域

内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第2节.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.直线在轴上的截距为（）

A.-3B.C.D.3

【答案】C

【解析】

【分析】令，求得对应的即可

【详解】令，得，即在轴上的截距为.

故选：C.

2.已知空间向量，，若，则（）

A.B.C.2D.4

【答案】A

【解析】

【分析】由向量共线定理可得.

【详解】因为，所以存在实数，使得，即.

即，，，所以，，所以.

故选：A.

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3.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，则（）

A.的长轴长为5B.的离心率等于

C.D.的周长为14

【答案】C

【解析】

【分析】结合题意并利用椭圆的性质逐个选项求解即可.

【详解】如图，作出符合题意的图形，

由题意知，，，

对于A，结合题意可得的长轴长为10，故A错误，

对于B，结合题意可得的离心率为，故B错误，

对于C，由题意得，

由两点间距离公式得，故C正确，

对于D，结合椭圆的定义得的周长为，故D错误.

故选：C

4.圆与圆的位置关系为（）

A.外离B.外切C.相交D.内切

【答案】A

【解析】

【分析】由圆心距和半径和、差的关系即可判断.

【详解】由题意知，，两圆的半径分别为，，

所以，故两圆外离.

故选：A.

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5.在四面体中，是的重心.记，，，若，则

（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由空间向量的运算，用表示，即可得到结果.

【详解】连接并延长交于，则为的中点，

所以，，

所以，

所以，，所以.

故选：B.

6.已知双曲线的右焦点为，过的直线交于，两点，点在第二象限，且关

于轴的对称点为，若，则的方程为（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据对称性求出直线的倾斜角，由点斜式可得方程.

【详解】由题意知（为坐标原点），，

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故直线的斜率为，所以的方程为，即.

故选：A.

7.已知实数，满足，则取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，联立椭圆方程，利用判别式求得的范围即可.

【详解】设，则，可看作是一组与椭圆有公共点的平行直线.

由，得.

，解得

故选：B.

8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，

若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

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【分析】应用双曲线定义结合已知条件得出，，再结合余弦定理得出边长间关系得出

，即可得出离心率范围.

【详解】由题意知，，关于原点对称，

不妨设点为第一象限内一点，则，，

又，，所以，，

记，因为为锐角三角形，

所以，，，

即，，，

解得，所以.

故选:D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图，若正方体的棱长为，为的中点，则（）

A.与所成的角为B.

C.D.与平面所成的角为

【答案】AB

【解析】

【分析】先建立空间直角坐标系，再应用异面直线的余弦公式计算判断A，应用数量积公式计算判断B，应

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用模长公式计算判断C，应用线面角正弦计算判断D.

【详解】以点为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，

所以，，，，

所以，，

所以与所成的角为，，.

平面的一个法向量为，设与平面所成的角为，

所以，所以A，B正确，C，D错误

故选:AB.

10.已知曲线，则下列命题错误的是（）

A.若，则为椭圆

B.若或，则表示双曲线

C.若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距

D.若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距

【答案】ACD

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【解析】

【分析】由椭圆、双曲线标准方程的结构特点可判断AB，由焦距的概念可判断CD.

【详解】因为，但，即不是椭圆，故A错误；

当，即，或时，为双曲线，故B正确；

当时，为焦点在轴上的椭圆，其焦距为，

当时，为焦点在轴上的椭圆，其焦距为，

而的焦距为，故C错误；

当时，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为，

当时，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为，

与双曲线的焦距不相同，故D错误.

故选：ACD.

11.已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线.点，直线

，则（）

A.曲线的方程为

B.当最小时，

C.当最大时，

D.若曲线上仅有一点到直线的距离为2，则的值为

【答案】ABC

【解析】

【分析】由动点满足的条件列得其轨迹方程，判断A；由A知动点P的轨迹为圆，结合图象可知，当直线

与曲线相切时，可分别使最小或最大，求出切线长可判断B，C；由曲线上仅有一点到直

线的距离为2，得圆心到直线的距离等于，由此可求得两条满足条件的直线，判断D.

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【详解】设，由，得，

化简得，曲线，故A正确；

由曲线的方程，知曲线表示以为圆心，且半径为的圆.

当最小或最大时，如图所示，直线分别在的位置，均与曲线相切，

，故B，C正确；

圆心到直线的距离，由题意得，解得

，或，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若双曲线的实轴长为4，虚轴长为，则该双曲线的离心率等于__________.

【答案】##

【解析】

【分析】记实轴长为，虚轴长为，焦距为，由及求解即可.

【详解】记实轴长为，虚轴长为，焦距为.

则，，所以，，.

所以该双曲线的离心率.

故答案为：.

13.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为

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__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据椭圆定义，以及的范围，转化为二次函数求值域.

【详解】由题意知，，所以，

设，则，由，得，

故，

所以当时，取得最大值9，

当或时，取得最小值5，

故的取值范围为．

故答案为：

14.已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程

为__________.

【答案】

【解析】

【分析】先根据切线得出在上，再两圆作差得出直线的方程.

【详解】因为切点分别为，，则，，所以，，，四点在以为直径

的圆上，

因为，所以在圆心为，半径为的圆上，其方程

为，

所以与两边分别作差，得，

即直线的方程为.

故答案为：.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

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15.回答下面两个问题

（1）求焦点为，，且过点的双曲线的标准方程；

（2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）首先求和，再根据双曲线的定义，即可求解；

（2）首先设双曲线方程为，再代入点，即可求解.

【小问1详解】

由题意知，双曲线的焦点在轴上，且半焦距，

故设所求双曲线的标准方程为，

，，

所以，所以，

所以，

故所求双曲线的标准方程为.

【小问2详解】

设所求双曲线的方程为，

将点代入上述方程，得，

所以，所以，

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故所求双曲线的方程为.

16.已知点，，.

（1）求的面积；

（2）求的外接圆的方程.

【答案】（1）7（2）

【解析】

【分析】（1）根据两点间距离公式求底边，再代入点到直线的距离公式求高，即可求解；

（2）将三点坐标代入圆的一般方程，即可求解.

【小问1详解】

直线的方程为，即，

点到直线的距离，

，

所以的面积.

【小问2详解】

设外接圆的方程为，

由题意得

解得

故的外接圆的方程为.

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17.已知三条直线，，.

（1）若，，交于一点，求实数的值；

（2）若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；

（2）先求出，，不可以围成一个三角形，即两条直线平行或三线共点求参，进而得出，，可

以围成一个三角形时参数范围.

【小问1详解】

联立与的方程，得解得

即与的交点坐标为，

由题意知点在上，所以，

解得.

【小问2详解】

由（1）知，

当时，，所以，

当时，，所以，

当不与和平行，且不过同一点时，，，三条直线可以围成三角形，

所以，且，且，

故的取值范围为.

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18.如图，在三棱柱中，，，，，平面

平面，为的中点.

（1）证明：；

（2）求点到平面的距离；

（3）求平面与平面的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，转化为证明平面，即可证明线线垂直；

（2）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，再代入点到平面

的距离公式，即可求解；

（3）求两个平面的法向量，再代入二面角的向量公式，即可求解.

【小问1详解】

证明：因为，为中点，所以，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

又平面，所以；

【小问2详解】

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因为，，所以为等边三角形，

因为为的中点，所以，

由（1）得，，故以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立

如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

，所以，，，

设平面的一个法向量，

则即，解得，，所以，

所以点到平面的距离.

【小问3详解】

由（2）得，，

设平面的一个法向量，则即

令，解得，，所以，

由（2）知平面的一个法向量为，

设平面与平面的夹角为，则

.

19.已知右焦点为的椭圆过点.

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（1）求的方程；

（2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值；

（3）过点的直线与交于，，与双曲线的右支交于点，，是否存在常数，使得

为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）

（2）

（3）存在，

【解析】

【分析】（1）代入点，再根据右焦点可得椭圆的方程；

（2）