历年高考数学真题高频考点试题42 线性相关

历年高考数学真题高频考点试题精选

42线性相关

一.选择题（共10小题）

1.（2014•重庆）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数元=3,歹=3.5,则

由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）

A.y=0.4文+2.3B.y=2x-2.4

C.y=—2t+9.5D.y=-0.3x+4.4

2.（2020•新课标I）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率），和温度x（单位:℃）

的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（X/,>7）（/=1，2,…，

20）得到下面的散点图：

x的回归方程类型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+b^rC.y=a+bexD.y=a+blnx

3.（2017•山东）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高），（单位：厘米）的关系，

从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出），与x之间有线性相关关系，

设其回归直线方程为y=ht+a,已知£随刘=225,空置）7=1600,b=4,该班某学生

的脚长为24,据此估计其身高为（）

A.160B.163C.166D.170

4.（2015•福建）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户

家庭，得到如下统计数据表：

收入x（万元）8.28.610.011.311.9

支出），（万元）6.27.58.08.59.8

根据上表可得回归直线方程y=bx+Q,其中6=0.76,a=y-bx,据此估计，该社区

一户收入为15万元家庭年支出为（）

A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元

5.（2014•湖北）根据如下样本数据:

X345678

y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0

得到了回归方程、=/U+Q,则（）

A.QX),b<0B.aX),b>0C.a<0,b<0D.aO,b>0

6.（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程、=加+小则（）

X345678

y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0

A.«>0,。>0B.心0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<0

7.（2013•福建）已知工与y之间的几组数据如表:

Xi23456

y021334

假设根据上表数据所得线性【可归直线方程为y=bx+a,若某同学根据上表中的前两组数

据（1,0）和（2,2）求得的直线方程为>，=»x+优，则以下结论正确的是（）

AAAA

AAAA

A.b>b',a>a,B.b>br,a<a'C.b<bf,a>a,D.bVb',a<a'

8.（2011•陕西）设5,yi）,（X2,”），…，（而，川）是变量x和y的〃个样本点，直线/

是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以卜结论正确的是（）

A.直线/过点叵，y）

B.大和），的相关系数为直线/的斜率

C.X和｝，的相关系数在。到1之间

D.当〃为偶数时，分布在/两侧的样本点的个数一定相同

9.（2011•江西）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下

父亲身高x（cm）174176176176178

儿子身高y（cm）175175176177177

则）•对.，的线性回归方程为（）

A.y=x-1B.y=x+\C.y=88+D.y=176

10.（2015•湖北）已知变量x和,，满足关系丁=-0.Lr+l,变量），与z正相关，下列结论中

正确的是（）

A.x与），负相关，x与z负相关

B.X与y正相关，x与z正相关

C.4与），正相关，x与z负相关

D.x与y负相关，x与z正相关

二.解答题（共6小题）

11.（2018•新课标II）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额），（单位：亿元）

的折线图.

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了），与时间变量t的两个线性回归

模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量/的值依次为1,2,17）建立模型

①：y=-30.4113.5/；根据2010年至2016年的数据（时间变量，的值依次为1,2,…,

7）建立模型②：y=99+17.5/.

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

12.（2015•重庆）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民

币储蓄存款（年底余额）如下表：

年份20102011201220132014

时间代号t12345

储蓄存款y（千亿元）567810

（I）求y关于f的回归方程y=b/+Q.

（II）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款.

附：回归方程y=4+a中

,二£之1«「£)(%；刃£之1九扬

2

2-

%(4了z7Qt.nt

i=1x

A_A_

a=y—bt

13.（2015•新课标I）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单

位：千元）对年销售量丁（单位：/）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣

传费而和年销售量V（i=l，2,8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些

统计量的值.

年俏售里外

年宣传费/千元

2

Xyw(x/-x)(Wj-W)2（即一工）

（）—）

46.65636.8289.81.61469108.8

表中Wi=y/xi，w=耳£1Wi

（I）根据散点图判断，尸。+历•与哪一个适宜作为年销售量），关于年宣传费

x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（III）已知这种产品的年利润z与x、〉，的关系为z=0.2），・x.根据（II）的结果叵答下

列问题：

（/）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（"）年宣传费工为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据（U|,vi）,（〃2,V2）»•••»V/t）,其回归线v=a+ptt的斜率和截

距的最小二乘估计分别为：0=珞1刃,a=v-pu.

%（%-正）

14.（2014•新课标II）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入），（单位：千元）

的数据如表：

年份2007200820092010201120122013

年份代号/1234567

人均纯收2.93.33.64.44.85.25.9

入y

（I）求），关于，的线性回归方程；

（II）利用（I）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收

入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：匕=%_鱼二再与2,a=y-

%（GT）

bt.

15.（2013•重庆）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第，个家庭的月收入刘（单位：千

元）与月储蓄》（单位:千元）的数据资料，算得2g项=80,£蜃%=20,鹉/%=

184,鹉xf=720.

（I）求家庭的月储蓄了对月收入x的线性回归方程），=法+〃：

（II）判断变量x与），之间是正相关还是负相关；

（III）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.

附：线性回归方程），=云+。中，匕=粤盟普'a=y-bx,其中区歹为样本平均

E%勺—HX

值，线性回归方程也可写为、=bx+a.

16.（2012•福建）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价

格进行试销，得到如下数据：

单价X（元）88.28.48.68.89

销量），（件）908483807568

（I）求回归直线方程y=bx+a,其中b=-20»a=y一成：

（H）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4

元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入・成本）

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42线性相关

一.选择题(共10小题)

1.【解答】解：•・•变量x与y正相关，

・••可以排除C,。；

样本平均数元=3,歹=3.5,代入A符合，8不符合，

故选：A.

2.【解答】解：由散点图可知，在10C至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点(x，)，)

在一段对数函数的曲线附近，

结合选项可知，可作为发芽率y和温度X的回归方程类型.

故选：。.

3.【解答】解：由线性回归方程为y=4/+a,

则—=告£与即=22.5,y=^2?=i>7=160.

则数据的样本中心点(22.5,160),

由回归直线方程样本中心点，则a=y-4x=160-4X22.5=70,

，回归直线方程为y=4r+7O.

A

当x=24时，y=4X24+70=166,

则估计其身高为166,

故选：C.

4.【解答】解：由题意可得h(8.2+8.6+10.0+11.3+11.9)=10,

y=|(6.2+7.5+8.0+8.5+9.8)=8,

代入回归方程可得a=8-0.76X10=0.4,

・"可归方程为y=0.76.v+0.4,

A

把K=15代入方程可得y=0.76X15+0.4=11.8,

故选：B.

5.【解答】解：样本平均数元=5.5,y=0.25,

・•・£?=](阳一工)8-刃=-24.5,货=1(勺-7)2=]7.5,・・・b=-撰=-1.4,

：.a=0.25-(-1.4)*5,5=7.95,

故选：4.

6.【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以8<

0,月.回归方程经过（3,4）与（4,2.5）附近，所以。>0.

故选：B.

7.【解答】解:由题意可知〃=6,x=i^i7=聂匕%=届

•1>。乙11O

故Ekixf-nx2=91-6x(^)2=22,2Ml左丫》-九双=58-6x§x今=等,

Ejli勺为一“取=51357_1

故可得a=y-bx=X

b=必,戒2一〒~6~72-3,

而由直线方程的求解可得〃、泻=2,把（I,。）代入可得标=-2,

比较可得,a>a'，

故选：C.

8.【解答】解：回归直线一定过这组数据的样本中心点，故A正确，

两个变量的相关系数不是直线的斜率，而是需要用公式做出，故8不正确,

直线斜率为负，相关系数应在（-1,0）之间，故C不正确，

所有的样本点集中在叵归直线附近，不一定两侧一样多，故。不正确，

故选：A.

c，冷〃伙初••一

9.［解r答i］解：.%=1-7-4-+-1-7--6-+-17--6-+-1-7-6--+-1-7-8=17,6,

一175+175+176+177+177

y=-------------------------------=176,

・•・本组数据的样本中心点是（176,176）,

根据样本中心点一定在线性回归直线上，

把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有）=88+1适合，

故选：C.

10.【解答】解：因为变量X和），满足关系1=-0.Lr+l,一次项系数为-0.1V0,所以x与

y负相关；

变量），与z正相关，设，y=kz,（k>0）,所以依=-0.1x+l,得到z=-竽%+%一次

项系数小于0,所以z与x负相关；

故选：A.

二.解答题（共6小题）

11.【解答】解：（解根据模型①：y=-30.4+13件,

计算，=19时，y=-30.4+13.5X19=226.1；

利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；

根据模型②：y=99+17.5/,

计算1=9时，y=99+17.5X9=256.5；

利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；

（2）解法1：模型②得到的预测值更可靠，因为从总体数据看，该地区从2000年到2016

年的环境基础设施投负额是逐年上升的，从2000年到2009年间递增的幅度较小些，从

2010年到2016年间递增的幅度较大些，所以利用模型②的预测值更可靠些.

解法2,模型②对应的7个点分布宽度小于模型①对应的17个点的分布宽度，则|山＞|川，

所以模型②较好；

解法3,选择与2018邻近的三个年份（2014,2015,2016）计算模型②对应的残差绝对

值之和=2.5+5+15=9,模型①对应的残差绝对值之和=12+23.5+21=56.5；旦9V56.5,

所以模型②较好；

所以利用模型②的预测值更可靠些.

12【解答】解：（I）

i匕无毕3

11515

226412

337921

4481632

55102552

S153655120

由题意，t=3,y=7.2,

E?=102—5针=557x32=10,Elittyt-Sty=120-5X3X7.2=12,

：.b=1.2,a=7.2-1.2X3=3.6,

关于t的回归方程y=12+3.6.

(II)f=6时，y=1.2X6+3.6=10.8(千亿元).

13.【解答】解：(I)由数点图可以判断，y=c+d4适宜作为年销售量)，关于年宣传费x

的回归方程类型；

(II)令w=瓜先建立)，关于卬的线性回归方程，由于4=与等=68,

A

c=y-dw=563-68X6.8=100.6,

所以y关于卬的线性回归方程为y=100.6+68ir,

因此y关于x的回归方程为y=100.6+68Vx,

(III)(/)由(II)知，当x=49时，年销售量y的预报值y=100.6+68回=576.6,

年利润z的预报值;=576.6X0.2-49=66.32,

(/7)根据(H)的结果可知，年利润z的预报值z=0.2(100.6+68^)-x=-

13.6V%+20.12,

当《=字=6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大.

14.【解答】解：(I)由题意，t=yx(1+2+3+4+5+6-7)=4,

y=1x(2.9+3