七年级数学下册《常见三角形模型》专项训练

《常见三角形模型》专项训练

1.如图，“AC中，ZA=65°,直线DE交AB于点交4C于点E,则N3£>E+NC£D=

（）.

A.180°B.215℃.235°D.245°

2.如图，在△ABC中，ZC=70°,沿图中虚线截去NC,则Nl+N2=（）

A.360°B.250°C.180°D.140°

3.如图，4B和CO相交于点O,/A=NC,则下列结论中不能完全确定正确的是（）

A.ZB=ZDB.Z1=ZA+ZDC.Z2>ZDD.ZC=ZD

4.如图，Zl=60°,则NA+NB+NC+ND+NE+NF=（）

A.240°B.280°C.360°D.540°

5.如图是由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形，ND=28,则NA+NB+/C+/F

的度数为（）

A.62B.152°C.208D.236

6.在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果

ZA=52°,ZB=25°,ZC=30°,ZD=35°,ZE=72°,那么/”的度数是（）.

A.72°B.70°C.65°D.60°

7.如图，在三角形纸片人BC中，NA=60。，NB=70。,将纸片的一角折叠，使点C落在

△ABC外，若N2=18。，则N1的度数为（）

A.50°B.118°C.100°D.90°

8.如图所示，NA+NB+NC+ND+NE的结果为（）

A.90°B.360°C.180°D.无法确定

9.如图，在△ABC中，ZA=20°,NABC与NACB的角平分线交于Di，NABD1与NACDi

的角平分线交于点D2,依此类推，NABD4与NACD4的先平分线交于点Ds，则/BD5c的

度数是（）

A.24°B.25°C.30°D.36°

10.如图，BE平分ZABD,C尸平分NACO,BE与CF交于点、G,若N8QC=140。，

ZBGC=100°,则4=（）

A.80°B.75°C.60°D.45°

11.如图所示，在AABC中，N48CZAC8的平分线比;C。相交于点凡若且NA4C=42。，

4=60。，则NBR7等于().

A.121°B.1200C.119°D.118°

12.如图，△ABC中，ZE=18°,BE平分/ABC,CE平分NACD,则NA等于()

A.36°B.30°C.20°D.18°

13.在仆ABC中，ZA=100°,NABC和NACB的平分线相交于点D,贝1JNBDC的度数是

()

A.150°B.135°C.140°D.120°

14.如图，在△ABC中，NABC和NACB的外角平分线交于点O,设NA=m,则NBOC二

()

A.B.C.D.

15.如图，已知△ABC,0是△ABC内的一点，连接OB、OC,将NABO、NACO分别记

为Nl、N2,则Nl、N2、NA、NO四个角之间的数量关系是()

A.Zl+Z0=ZA+Z2B.Zl+z2+ZA+ZO=180°

C.ZI+Z2+ZA+ZO=360°D.Nl+/2+NA=NO

16.如图，BAi和CAi分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA?是NAiBD的角平分

线CA2是NACD的角平分线，BA3是AzBDN的角平分线，CA3是NA?CD的角平分线，若

NAi=a,则NA2013为()

A.B.C.D.

17.如图，在^ABC中，AD是高，AE是角平分线，ZCZB,则下列能正确表示/EADNB、

NC之间的关系的是()：

A.ZEAD=y(ZC+ZB)

B.NEAD=；(ZC-ZB)

C.ZEAD=90°4^C+ZB)

D.ZEAD=180°4(ZC+ZB)

18.如图，把△A8C沿斯对折，叠合后的图形如图所示.若乙4=55。，Zl=95°,则N2

的度数为（）.

A.14°B.15°C.28°D.30°

19.如图，在，叱中，NC=46。，将AABC沿直线/折叠，点C落在点。的位置，则N1-N2

的度数是（）.

A.23°B.92°C.46°D.无法确定

20.如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B，点重合，若N1+/2=80。,则NB的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

21.如图，NA+N3+NC+N0+NE=.

22.如图，三角形纸片A8C中，4=65。,4=75。，将NC沿■翻折，使点。落在“6c

外的点C'处.若/1=20。，则N2的度数为.

23.如图，五边形八3CQE在N8CDNE/）。处的外角分别是/尸。。,/6。。,。尸,。「分别平分

和NGQC且相交于点P.若44=160。,/8=80。,/七=90。，则NCPD=.

24.如图，削和CA分别是的内角平分线和外角平分线，是乙4"切的平分线，CA

是乙4（。的平分线，是的平分线，C4是N4。的平分线，……以此类推，若

Z4=a,则/Am=.

25.如图，若NEOC=115。，则Z4+N8+/C+/O+ZE+NF=.

26.下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与6。的交点为C,且ZA,切5,/£保持不

变.为了舒适，需调整NO的大小，使NEEO=110。，则图中N力应___________（填“增加”

或''减少”）度.

27.如图，“BC的角平分线OB、OC相交于点0,4=40。，则N4OC=.

28.如图在△ABC"」，BO,CO分别平分NABC,NACB,交于O,CE为外角/ACD的

与E>4、的数量关系是.

37.(1)如图所示，在△人笈C中，80,C。分别是/ABC和ZACB的平分线，证明：

NBOC=90°+L/A.

2

(2)如图所示，A4?C的外角平分线8。和C。相交于点。，证明：/8。。=90。-344.

(3)如图所示，的内角平分线M和外角平分线CD相交于点。，证明：ND=；NA.

38.如图所示，已知四边形A8OC,求证N8Z)C=ZA+N8+NC.

39.模型规律：如图1,延长C0交4B于点。，则/80C=Nl+/8=NA+NC+/8.因为

凹四边形A80C形似箭头，其四角具有“N3OC=NA+/4+NC”这个规律，所以我们把这

个模型叫做“箭头四角形

模型应用

(1)直接应用：

①如图2,ZA=60°,ZB=20°,ZC=30°,贝i」N8OC=°；

②如图3,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=h

(2)拓展应用:

①如图4,ZABO.ZACO的2等分线(即角平分线)交于点。1,已知NBOC=I20。，

/R4C=50。，则/8。0=。；

②如图5,BO、CO分别为NAB。、NACO的10等分线"=123,…,8,9).它们的交点从上

到下依次为。1、。2、。、、…、Q).已知400=120。，Zfi4C=50°,则/BO1C=。；

③如图6,430、4AC的角平分线80、4)交于点。，已知/40。=120。,/。=44。，则

/ADB=。；

④如图7,ABAC.NAOC的角平分线A。、。。交于点D,则少8、NC、/£>之同的数量关

系为.

40.如图①所示是一个飞镖图案，连接A4,BC,我们把四边形"CQ叫做“飞镖模型

(1)求证：^ADC=ZDAB+ZDCB+ZABC；

(2)如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D,若NEDF=120°,求

+NB+NC+NX7+NE+NF的度数.

1.如图，AABC中，Z4=65°,直线OE交AB于点。，交4c于点七，则/BDE+NCED=

().

A.180°B.215°C.235°D.245°

【答案】D

【分析】

根据三角形内角和定理求出4叱+ZA&M根据平角的概念计算即可.

【详解】

解：vZA=65°,

..ZADE+ZAEQ=180°-65°=115°,

/.ZBDE+4CED-360°-115°=245°,

故选：D.

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180。是解题的关键.

2.如图，在△ABC中，ZC=70°,沿图中虚线截去NC,则/1+N2=()

A.360°B.250°C.180°D.140°

【答案】B

【分析】根据三角形内角和定理得出NA+NB=110。，进而利用四边形内角和定理得出答案.

【详解】:△ABC中,4=70。,

:.ZA+ZB=1800-ZC=110°,

.*.Zl+Z2=360o-I10o=250°,

故选B.

【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出/A+NB的度数是解题关键.

3.如图，和C。相交于点O,NA=NC,则下列结论中不能完全确定正确的是()

A.ZB=ZDB.Z1=ZA+ZDC.Z2>ZDD.ZC=ZD

【答案】D

【分析】

利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可.

【详解】

VZ4+ZAOD+ZD=180°,NC+NCO8+NB=180°,Z4=ZC,NAOD=NBOC,

VZ1=Z2=ZA+ZD,

.-.Z2>ZD.

故选项A,B,C正确，

故选O.

【点睛】

本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键.

4.如图，Zl=60°,则NA+NB+NC+/D+NE+NF=()

A.240°B.280°C.360°D.540°

【答案】A

【分析】

根据三角形内角和定理得到NB与NC的和，然后在五星中求得N1与另外四个角的和，加

在一起即可.

【详解】

解：由三角形外角的性质得：Z3=ZA+ZE,Z2=ZF+ZD,

VZl+Z2+Z3=180°,Zl=60°,

/.Z2+Z3=120°,

即：ZA+ZE+ZF+ZD=i20°,

VZB+ZC=120°,

/.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+Zb=240u.

故选A.

【点睛】

本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个

角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起.

5.如图是由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形，ND=28,则/A+/B+/C+/F

的度数为（）

A.62°B.152。C.208D.236'

【答案】C

【详解】

;如图可知ABED="+NR,NCGE=ZC+ZA,

又•：NBED=/D+/EGD，

•••/F+/B=/D+/EGD,

又•・•ZCGE+ZEGD=180°,

:.ZC+Z4+ZF+Zfi-ZD=180°,

又：NO=28°,

AZ4+ZZ?+ZC+ZF=180°+28°=208°,

故选C.

点睛：本题主要考查了三角形内角和定理即三角形外角与内角的关系，解答本题的关键是求

出NC+NA+NF+NB-/。=180。，此题难度不大.

6.在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果

ZA=52°,ZB=25°,ZC=30°,Z£>=35°,ZE=72°,那么N户的度数是（）.

A.72°B.70°C.65°D.60°

【答案】A

【分析】

延长交。尸的延长线于O,连接AO,根据三角形内角和定理求出NBOC再利用邻补角

的性质求出/。田，再根据四边形的内角和求出N。尺九根据邻补角的性质即可求出

N2VC的度数.

【详解】

延长AE交C尸的延长线于0,连接40,如图，

/0AB+N8+N408=180。，

工408=180。--Z0AB,

同理得ZA0C=180°-ZO4C-ZC,

ZAO5+4OC+ZBOC=360°,

，Z.BOC=360°-ZAOB-ZAOC

=360°-(180°-ZB-NOAB)-(180°-ZOAC-ZC)

=ZB+ZC+ZBAC=i()7°,

•・•NBED=72。,

・•・ZDEO=180°-NBED=108°,

・•・ZDFO=360°-ZD-/DEO-/EOF

=360°-35o-108o-107o=110°,

・•・ZDFC=180°-Z.DFO=180°-l10°=70°,

故选：A.

【点睛】

本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关

键是会添加辅助线，将己知条件联系起来进行求解.三角形外角的性质：三角形的一个外角

等于与它不相邻的两个内角的和;邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：180。(〃-2).

7.如图，在三角形纸片A灰?中，ZA=60°,ZB=70°,将纸片的一角折叠，使点。落在

△A4C外，若N2=18。，则/I的度数为()

A.50cB.118cC.100°D.90°

【答案】B

【分析】

在△A3C中利用三角形内角和定理可求出NC的度数，由折叠的性质，可知：ZCDE=

NCDE,ZCED=ZCED,结合N2的度数可求出的度数，在△COE中利用三角形

内角和定理可求出NCOE的度数，再由/1=180。・NCDE-NC7)E即可求出结论.

【详解】

解：在△ABC中，NA=60。，ZB=70°,

ZC=180°-ZA-ZB=50°.

由折叠，可知：NCDE=NCDE,NCED=NCED,

，也=些卫=99。，

2

AZCDE=I800-ZCED-ZC=31°,

/.Z1=I8O°-ZCDE-ZCrDE=180°-2ZCDE=118".

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出

NCDE的度数是解题的关键.

8.如图所示，NA+NB+NC+ND+NE的结果为（）

A.90°B.360°C.180°D.无法确定

【答案】C

【详解】

如图，连接BC,

ZD+ZE+ZDOE=ZBOC+ZOCB+ZBOC=180°,ZDOE=ZBOC,

ZD+ZE=ZOBC+ZOCB,

又ZA+ZABO+ZACO+ZOBC+ZOCB=180。，

/.ZA+ZABO+ZACO+ZD+ZE=180°.

故选C.

9.如图，在△ABC中，ZA=20°,NABC与NACB的角平分线交于Di，ZABD,-tjZACDi

的角平分线交于点D2,依此类推，NABD4与NACD4的先平分线交于点Ds，则/BD5c的

度数是（）

A.24°B.25°C.30°D.36°

【答案】B

【详解】

VZA=20°,NABC与NACB的角平分线交于D],

/.ND|BC+ND1CB=L(NABC+NACB尸-(180°-ZA),

22

.•・NOI=I80。-；(I8O0-NA尸yZA+9O°=I(X)°,

O

同理：ZD2=60°,ZD3=40,N。产30。，ND；=25°.

故选B

10.如图，BE平分ZABD,C/平分NACD,BE与CF交于点G,若/BQC=140。，

NBGC=100。,则NA=()

A.80。B.75°C,60°D.45°

【答案】C

【分析】

连接BC,先求解/DBC+4DCB,再求解NGBC+NGC3,可得NGBD+NGCD,再利用角平分

线的定义可得：乙4瓦)+乙4。,从而可得：N48C+NAC凡再利用三角形的内角和定理可得

乙4的大小.

【详解】

解：连接4c•.・40C=I40。，

ZDBC+NDCR=180°-140°=40°,

•/ZfiGC=100°.

:.NGBC+4GCB=180°-100°=80°,

:"GBD+NGCD=/GBC+/GCB-NDBC-/DCB=40°,

BE平分ZABD,CF平分ZACD,

ZABD+ZACD=2(/GBD+ZGCD)=80°,

ZABC+ZACB=ZABD+ZACD+NDBC+ZDCB=80°+4()°=120°,

：.ZA=[8()。-(ZABC+ZACB)=60°.

故选：C.

【点睛】

本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理

求解与之相关的角的大小是解题的关键.

11.如图所示，在A/SC中，448CZAC8的平分线班工。相交于点片若且NABC=42。，

NA=60。，则/8FC等于（）.

A.121°B.120°C.119°D.118°

【答案】B

【分析】

由NA3C=42。，ZA=60°,根据三角形内角和等于180。，可得NAC5的度数，又因为NA3C、

NAC8的平分线分别为8E、CD,所以可以求得NFBC和的度数，从而求得NBFC

的度数.

【详解】

解：VZABC=42°,ZA=60°,ZABC+ZA+ZACB=180°.

:.ZACB=180°-42°-60°=78°.

XVAABC.NAC8的平分线分别为CD.

・•・ZFBC=-ZABC=210,2FCB=-ZACB=39°.

22

又,：NFBC+NFCB+NBFC=180。.

ZBFC=180°-21°-39c=120°.

故选:B.

【点睛】

本题考查三角形内角和和角平分线的相关知识，关键是订以根据题目中的信息，灵活变化求

出相应问题的答案.

12.如图，△ABC中，ZE=18°,BE平分NABC,CE平分NACD,则NA等于（）

A.36。B.30。C.20°D.18°

【答案】A

【详解】

试题分析：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得NACD=NA+NABC,

NECD=NE+NEBC；由角平分线的性质，得NECD=（ZA+ZABC）,ZEBC=ZABC,利

用等量代换，即可求得NA与NE的关系，即可得到结论.

证明：VZACD=ZA+ZABC,

AZECD=(ZA+ZABC).

又•:ZECD=ZE+ZEBC,

AZE+ZEBC=(ZA+ZABC).

VBE平分/ABC,

AZEBC=ZABC,

.•.NABC+NE=(ZA+ZABC),

.*.ZE=ZA=18°,

ZA=36°.

故选A.

考点：三角形内角和定理.

13.在△ABC中,ZA=100°,NABC和/ACB的平分线相交十点D,则/BDC的度数是

()

A.150°B.135°C.140°D.120°

【答案】C

【详解】

试题解析：如图，

VZABC,ZACB的平分线相交于点D,

AZ1=Z2,Z3=Z4,

VZl+Z3+ZBDC=180°,Zl+Z2+Z3+Z4+ZA=180°.

/.2Zl+2Z3+ZA=180°,

A2(180°-ZBDC)+ZA=180°,

/.ZBDC=90°+yZA,

VZA=100°,

:.ZBDC=90°+yx100°=90°+50°=140°.

故选C.

考点：1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质.

14.如图，在△ABC中，NABC和NACB的外角平分线交于点O,设NA=m,则/BOC二

()

A.B.C.D.

【答案】B

【详解】

试题分析：如图，

•:/ABC和NACB的外角平分线交于点O,AZ1=1800-2Z3,Z2=180°-2Z4,

・・・/1+/2=180。-2/3+180。-2/4,根据图形可得:ZA=1800-Z1-Z2=m,AZ1+Z2=180°-m,

A180o-2Z3+180°-2Z4=180°-m,A2(Z3+Z4)=180°+m,，N3+N4=⑶)“〃,又•.•在

2

m

△BOC中，ZBOC=180°-(Z3+Z4),AZBOC=1800-=f故选B.

2

考点：三角形的角的平分线、三角形内角和.

15.如图，已知△ABC,0是△ABC内的一点，连接OB、0C,将/ABO、NACO分别记

为Nl、Z2,则Nl、N2、NA、NO四个角之间的数量关系是()

A.Zl+Z0=ZA+Z2B.Z1+Z2+ZA+ZO=I80°

C.Z1+Z2+ZA+ZO=360°D.Z1+Z2+ZA=ZO

【答案】D

【详解】

试题分析：连接AO并延长，交BC于点D,

,/ZBOD是^AOB的外角，ZCOD是^AOC的外角，

・・・NBOD=NBAD+N1①，ZCOD=ZCAD+Z2@,

①+②得，ZBOC=(ZBAD+ZCAD)+Z1+Z2,即NBOC=NBAC+N1+N2.

故选D.

考点：1.三角形的外角性质；2.三角形内角和定理.

16.如图，BAi和CAi分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,BA?是NAiBD的角平分

线CA2是NACD的角平分线，BA?是AzBDN的角平分线，CA,是NAzCD的角平分线，若

ZAi=a,则NA2013为()

A.B.C.D.

【答案】D

【详解】

试题分析：根据角平分线的定义可得NAiBC;NABC,ZA,CD=ZACD,再根据三角形的

一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得NACD=NA+NABC,

ZA|CD=ZA,BC+ZA,,整理即可得解，同理求出NA?,可以发现后一个角等于前一个角

的，根据此规律即可得解.

解：・・・A|B是NABC的平分线，AC是/ACD的平分线，

.\ZAiBC=ZABC,ZAiCD=ZACD,

又；NACD=NA+NABC,ZAiCD=ZA.BC+ZAi,

/.(ZA+ZABC)=ZABC+ZAi,

/.ZAi=ZA,

*.*ZAi=a.

同理理可得NA2=ZA|=a

则NA2013E

故选D.

点评：本题主要考杳了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线

的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键.

17.如图，在仆ABC中，AD是高，AE是角平分线，NCNB,则下列能正确表示NEADNB、

NC之间的关系的是()：

A.NEAD=；(ZC+ZB)

B.ZEAD=y(ZC-ZB)

C.ZEAD=90°-^ZC+ZB)

D.ZEAD=18O0-^(ZC+ZB)

【答案】B

【详解】

试题分析：VAD1BC,AZC=900-ZCAD,ZB=90°-ZBAD,又・.・AE是角平分线

AZCAD=ZBAC-ZEAD,ZBAD=ZBAC+ZEAD

AZC-ZB==2ZEAD

/.ZEAD=(ZC-ZB)

考点：三角形的性质

点评：本题难度中等，.主要考查学生对直角三角形及角平分线的学习.需要对所求角进行等

量转化.

18.如图，把△A8C沿E/对折，叠合后的图形如图所示.若NA=55。，Nl=95。，则N2

的度数为().

A.14°B.15°C.28°D.30°

【答案】B

【分析】

根据三角形内角和定理和平角定义证得//七8+/"。=360。-125。=235。，再根据折叠性

质得出ZEFC=ZFEB+ZEFC=235°,进而求得N1+N2=l10。即可求解.

【详解】

解：・・・乙4=55。，

/.ZAEF+ZAFE=180°-55°=125°,

JNFEB+ZEFC=360°-125°=235°,

由折叠可得：NB，EF+ZEFC=NFEB+ZEFC=235°t

Z1+N2=235°—125°=110°,

〈/I=95。，

.*.Z2=1IO°-95°=150,

故选：B.

【点睛】

本题考查折叠性质、三角形的内角和定理、平角定义，熟练掌握折叠性质是解答的关键.

19.如图，在中，NC=46。，将沿直线/折叠，点C落在点。的位置，则N1-N2

的度数是().

A.23°B.92uC.46°D.无法确定

【答案】B

【分析】

由折叠的性质得到NO=NC,再利用外角性质即可求出所求角的度数.

【详解】

解：由折叠的性质得："="=46。，

根据外角性质得：Z1=Z3+ZC,Z3=Z2+ZD,

贝ljNl=N2+NC+ZD=N2+2NC=N2+92。，

则Nl-N2=92。.

故选：B.

【点睛】

此题考杳了翻折变换(折会问题)以及三角形外角性质，熟练掌握折香的性质是解本题

的关键.

20.如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B，点重合，若Nl+N2=80。,则NB的度数为()

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】

由折叠的性质可知/3石。=/9£1£>,/加坦=/9。&再利用平角的定义可求出

“ED+/BDE的度数,进而利用三角形内角和可求NB的度数.

【详解】

由折叠的性质可知/BED=Zfi'ED./BDE=NB'DE

VZ1+/BED+N8'£O=180°,Z2+/BDE+/B'DE=180°

・•・4BED+4BDE=-(3600-Zl-Z2)=-x(360°-80°)=140°

22

Zfi=180°-(4BED+4BDE)=180°-140°=40°

故选C

【点睛】

本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题

的关键.

21.如图，NA+NB+NC+ND+NE=.

【答案】180°

【分析】

利用三角形的外角的性质将五个角转化为三角形的三个角的和即可.

【详解】

解：利用三角形的外角的性质得：

N1=ZD+ZE,N2=NA+N3,

所以Z4+ZB+NC+NQ+NE=N2+NC+/l=180°,

故答案为：180°.

【点睛】

本题考查了多边形的内角与外角及三角形的内角和与外角和的知识，解题的关键是能够

正确的将几个角转化为三个角，难度不大.

22.如图，三角形纸片ABC中，ZA=65°,ZB=75°,将NC沿翻折，使点C落在AABC

外的点C'处.若Nl=20。，则N2的度数为.

【答案】100。

【分析】

根据三角形内角和定理求出NC,根据折叠的性质求出NC,根据三角形的外角的性质计算,

得到答案.

【详解】

解：NA=65。，ZB=75°,

..NC=18（r-65c-75c=40%

由折直的性质可知，ZC=ZC=40°,

/.Z3=Zl+ZC=60°,

.-.Z2=ZC+Z3=100°,

故答案是：l（X）。.

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于18伊是解题的关键.

23.如图，五边形ABCQE在N8CRNEDC处的外角分别是NFCDNGOCCRDP分别平分

NFCO和NGQC且相交于点P.若/4=160。,/8=8()。,/石=90°,则NCPQ=.

【答案】105°

【分析】

根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出/8CQ+NCQE的度数，从而

求出NPCO+NPQC的度数，运用三角形内角和定理即可求出NCPO的度数.

【详解】

解：VZ4=160°,NB=80。，ZE=90°,

；・NBCD+NCDE=(5-2)x180°-160°-80°-90°=210c,

/.ZPCDINPDC=；(180°x2210°)=75°,

在△(7尸。中，ZCPD=180°-(NPCD+/PDC)=1803-75°=105°,

故答案为：105。.

【点睛】

本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求

出NBCD+ZCDE的度数是解题的关键.

24.如图，3和CA分别是“火的内角平分线和外角平分线，B4是4/D的平分线，CA,

是乙41c。的平分线，是乙％8。的平分线，C4是NaCQ的平分线，……以此类推，若

=则乙4绯20=.

【答案】备

【分析】

根据角平分线的定义可得/A田C=g/A8C，ZA^D^ZACD,再根据三角形的一个外角

等于与它不相邻的两个内角的和可得NACZ);NA+NA8C,ZA]CD=ZA]BC+ZA,,整理即

可得解同理求出NA3,可以发现后一个角等于前一个角的g,根据此规

律即可得解.

【详解】

•・・A山是NA/3C的平分线，4c是/ACO的平分线，

・・・N4iBC=J/ABC,N4CD=；NACD,

XVZACD=ZA+ZABC,ZA\CD=ZAiBC+ZAi,

・，(ZA+ZABC)=；N4BC+NAi,

，ZAi=yZ4,

,:ZA=a.

NAi=)NA=;a,同理可得NA?=JNAi=」ra,

2222'

根据规律推导，

・

••乙/A多020一-尹a的，

故答案为晟•

【点睛】

本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻

的两个内角的和的性质，侑平分线的定义是解题的关键.

25.如图，若NE0C=115。，则Z4+NB+/C+/Q+ZE+N^=.

【答案】230°

【分析】

根据三角形外角的性质，得到NEOC=NE+N2=115。，Z2=ZD+ZC,ZEOC=Z1+ZF=115°,

N1=NA+N3,即可得到结论.

【详解】

解：如图

VZEOC=ZE+Z2=115°,Z2=ZZ)+ZC,

：,ZE+ZD+ZC=\\50,

VZEOC=Z1+ZF=115°,Z1=ZA+ZB,

・•・ZA+ZB+ZF=I15°,

/.ZA+Z/^+ZC+ZD+ZE+Zf=23UV,

故答案为：230。.

【点睛】

本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形

外角性质.

26.下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与8。的交点为C,且N4,DB,NE保持不

变.为了舒适，需调整NO的大小，使NEFQ=110。，则图中ND应___________（填“增加”

或“减少”）度.

【答案】减少10

【分析】

先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到NE。尸与ND、NE、NOCE之间的关系，进行

计算即可判断.

【详解】

解：•••/A+N8=50°+60°=110°,

:.ZACB=180°-110o=70°,

，ZZ?CE=70°,

如图，连接并延长，

/.ZDFM=ZD+zDCF=20°+ZDCF,

ZEFM=NE+NECF=30°+ZECF,

・•・ZEFD=ZDFM+ZEFM=20°+ZDCF+301ZECF=50°+ZDCE=50°+70°=120°,

要使NEP£>=110。，则NEFO减少了10。，

若只调整N。的大小，

由ZEFD=ZDFM+ZEFM=ZD+NDCF+NE+NECF=ND+NE+NECO=/。+30°+70。=/

0+100°,

因此应将N。减少10度；

故答案为：①减少；②10.

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识：解决本

题的关键是埋解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所

需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法.

27.如图，“3C的角平分线。B、OC相交于点。，4=40。，则NBOC=.

【答案】110。.

【分析】

根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出/OBC+NOCB的度数，再根据三角

形的内角和定理即可求出NBOC的度数.

【详解】

解：:OB、OC分别是NABC和NACB的角平分线，

/.ZOBC+ZOCB=-ZABC+-ZACB=-(ZABC+ZACB)

222

•・•ZA=40°,

AZOBC+ZOCB=-(180-40)=70°,

2

AZBOC=180°-(ZOBC4-ZOCB)

=180°-70°

=110°.

故答案是HO.

【点睛】

本题主要利用角平分线的定义和三角形内角和定理求解，熟记概念和定理是解题的关键.

28.如图在△ABC中，BO,CO分别平分NABC,ZACB,交于O,CE为外角NACD的

平分线，交BO的延长线于点E,记NB4C=N1,NBEC=N2,则以下结论①Nl=2/2,

②/BOC=3N2,®ZBOC=90°+Z1,@ZBOC=90°+Z2,正确的是.(把所有

正确的结论的序号写在横线上)

【答案】①④

【分析】

依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到N1=2N2,ZBOC=90°+yZl,

NBOC=9(r+N2,再分析判断.

【详解】

♦.♦CE为外角NACD的平分线，BE平分NABC,

，NDCE=gNACD,ZDBE=^-ZABC,

又•・•/DCE是△BCE的外角，

・・・/2=NDCE-NDBE=g(ZACD-ZABC)

故①正确；

VBO,CO分别平分NABC,ZACB,

，NOBC=；ABC,NOCB=J/ACB,

/.ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)

=180°-y(ZABC+ZACB)

=180°-^-(180°-ZI)

=90。+/Nl,

故②、③错误；

TOC平分NACB,CE平分NACD,

AZACO=yZACB,ZACE=^ZACD,

AZOCE=1(ZACB+ZACD)=lxl80°=90°,

•••NBOC是ACOE的外角，

/.ZBOC=ZOCE+Z2=90°+Z2,故④正确；

故答案为：①④.

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性

质，以及角平分线的定义.

29.如右图，NA+N8+NC+ND+NE+NF+NG+N”=_.

【答案】360。

【分析】

根据三角形的外角性质可得NBNP=NA+NB,NOPQ=NC+N。，

/HMN=NG+NH,再杈据多边形的外角和定理即可求解.

【详解】

解：由图形可知：NBNP=NA+NB,NQPQ=NC+/。，ZF^W=ZE+ZF,NHMN

=NG+NH,

•・•/BNP+NOPQ+NFQM+/"MN=360°,

/.NA+NB+NC+NO-ZE+ZF+NG+NH=/BNP+NDPQ+NFQM+/HMN=

360°.

故答案为：360°.

【点睛】

本题考查了三角形的外角性质和多边形外角和等于36()度，将N4+N8+NC+NQ+NE

+ZF+NG+NH的和转化为/用VP+NOPQ+NFQM+ZHMN的和是解题的关键.

30.如图，求NA+NB+/C+NO+NE+N尸+NG+N〃+N/=_.

【答案】900°

【分析】

根据多边形的内角和，可得答案.

【详解】

解：连EF,GI,如图

9

T6边形A5COEFK的内角和=(6-2)x180°=720°,

JNA+/8+NC+NO+NE+ZF=720°-(Z14-Z2),

即NA+N8+NC+NQ+/E+NF+(Z1+Z2)=720°,

VZ1+Z2=Z34-Z4,N5+/6+NH=I80°,

・・・NA+N8+NC+NO-NE+N/NH+(Z3+Z4)=900°,

•••N4+NB+NC+NO+NE+NF(Z3+Z4)+N5+N6+NH=7200+180。，

:.NA+N上十ZC+NZ)-ZE+/尸十NG+N"+ZZ-900%

故答案为：900°.

【点睛】

本题考查了〃边形的内角和定理：〃边形的内角和为(〃-2)X180。(“23的整数).

31.如图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=_.

【答案】361T

【分析】

连接C人根据三角形的外角得到由三角形外角的性质可得：N2=NG+N〃，N3=NA+

/B,Nl=NO+NE=/4+N5,根据四边形的内角和为360。，可得：Z2+Z3+ZGFE

+Z4+N5+NOCB=360°即NG+NH+N4+NB+/GFE+ZD+NE+ZDCB=360°.

【详解】

解：如图，连接尸C,

由三角形外角的性质可得：

N2=NG+N”，

N3=NA+NB,

Zl=ZD+ZE=Z4+z5,

根据四边形的内角和为36。。,可得：Z2+Z3+ZGFE4-Z4+Z5+ZDCB=360°

即NG+NH+ZA+ZB+ZGFE+NO+NE+ZDCB=360°,

故答案为360。.

【点睛】

本题考查了三角形的内角与外角，解决本题的关键是熟记三角形的外角的性质.

32.如图，N4+NB+/C+ND+N七+/F+NG+N"=_.

【答案】720°

【分析】

根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得N2与/H、NG的关系，N1与

N2、N。的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案.

【详解】

解：如图：

由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得

N2=NH+NG,Z1=Z2+ZD,

Zl=Z//4-ZG+ZD,

NA+N4+ZC+/£>+NE+ZF+ZG+NH

=NA十N［十NC十/七十//*十ZH+ZG+N。

=180°x(6-2)

=270°.

故答案为：720°.

【点睛】

本题考查了多边形的内角与外角，先求出N1=N”+NG+NO,再求出多边形的内角和.

33.如图，则NA+N8+NC+ND+NE的度数是_.

【答案】180°

【分析】

由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得N4=NA+N2,Z2=ZD+ZC,

进而利用三角形的内角和定理求解.

【详解】

解：如图可知：

•・・/4是三角形的外角，

:.N4=NA+N2,

同理N2也是三角形的外角，

在A8EG中，VZB+Z£4-Z4=180°,

:.NB+NE+NA+ND+/C=180°.

故答案为：180。.

【点睛】

本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系.

34.如图，把A4BC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若乙4=29。，N6ZM=9(r,

则ZA'EC的大小为.

【答案】32。

【分析】

根据折叠性质以及4=29。，NBOV=90°可知，ZA=ZA\ZADE=ZA'DE>

ZAED:ZA'ED，XZAED+ZCtD=18Ou,即可求出答案.

【详解】

由折叠的性质可知，NA=NA'=29°

又N8Z”'=90。

/.ZADA'=90°,ZADE=ZA'DE=45°

根据三角形内角和可得：ZAED=ZA'ED=\Q6°

ZCDE=180?ZADE=74

AZA'EC=ZA'DE-ZCDE=32°

故答案为32°.

35.如图，在△A8C中，NA4C和NAC4的平分线相交于点P.

(1)若NABC+/ACB=130。，求/BPC的度数.

(2)当NA为多少度时，N8PC=3NA?

【答案】(1)115。；(2)ZA=36°

【分析】

(1)根据角平分线的定义，求得NPAC，NPCA,再根据三角形内角和定理即可求得NBPC；

(2)根据(1)的方法求得NBPC,再结合条件NBPC=3NA,解方程即可求得NA.

【详解】

(1)•“也平分ZABC,PC平分Z4C8,

NPBC=-ZABC,NPCB=-NACB,

22

•••NABC+N4CB=130。，

NPBC+NPCB=-(ZABC+NACB)=65°,

2

/BPC=180°-(ZPBC+NPCB)=180°-65°=115°,

(2),.•收平分NA8C,PC平分NAC3,

/.NPBC=-NABC,NPCB=-ZACB,

22

4PBe+ZPCB=-(ZABC+Z.ACB)

2f

NABC+NACB=180。一乙4,

ZPBC+NPCB=90。一4NA,

2

?BPC180?(?PBC?PCB)

=180°-(90°-izA)

2

=90°+-ZA

2

vZBPC=3ZA

.-.3ZA=90°+izA,

2

/.ZA=36°.

【点睛】

本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题

的关键.

36.(1)已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：/4+N8=NC+NO.

(2)如图②，AP,CP分别平分ZE4D./BCD,若NA8C=36。,NA£)C=16。，求/P的

度数.

(3)如图(3),直线"平分NZiM),CQ平分NBCO的外角NBCE,猜想/P与DA、/£)的

数量关系是;

(4)如图(4),直线平分4W的外角NM£),CP平分/BCD的外角NBCE,猜想NP

与DA、ND的数量关系是.

【答案】(1)见解析；(2)26。；(3)/尸=90。+；(/8+/。)：(4)ZP=180°-^(ZB+ZD)

【分析】

(1)根据三角形的内角和等于180。和对顶角的性质即可得证；

x-¥Z.ABC=y+Z.P-,y

(2)设NB4P=4W)=x,/BCP=/PCD=y,八八厂解h方程即可得到答1案；

x+ZP=y+ZADC

(3)根据直线公平分CP平分N8CD的外角NBCE,得到

NPAB=ZPAD=-ZBAD,NPCB=ZPCE=-ZPCD从而可以得至lj

22

1800-2(NPA8+NPC8)+NZ)=NB,再根据NP+NB4O=NPCQ+NO,

N8AD+4B=/BCD+ND得到乙P—4B=4PAD+/PCB=乙FAB+"CB即可求解:

(4)连接PB,PD根据/APB+ZPBA+ZPAB=180。，NPCB+/PBC+/BPC=180。得到

Z4PC+Z4gC+NPCH+//^A=360。，同理得至I]：ZAPC+ZADC+ZPCD+ZPAD=360°,

再根据NPCE+NPa>=180。，NP43+NA4/=180。，ZFAP=ZPAO,4PCE=/PCB,即

可求解.

【详解】

解：(1)­.•Z4+ZB+ZAOB=180