七年级数学下册浙江七年级第二学期数学竞赛冲刺卷02（解析版）

2021.2022学年浙江七年级第二学期数学竞赛冲刺卷02

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）设〃?为一个有理数，则一定是（）

A.负数B.正数C.非负数D.非正数

【分析】机为有理数，则以|20,由于〃?的值不确定，所以应分三种情况进行讨论.

【解答】解：•，八为有理数，

，依|20,

当>0,|w|-m=m-w=0；

当m<0,|///|-m=-m-m=-2〃？>0；

当m=0,\m\-?n=0-0=0.

综上所述，当，〃为有理数时，|〃?|一机一定是非负数.

故选：C.

【点评】本题通过求代数式的值考查了绝对值的代数意义，正数的绝对值等于其本身，0

的绝对值是0,负数的绝对值等于其相反数.

2.（5分）若a,b为有理数，且2a2-2ab+b2+4a+4=0,则a2b+ab2=（）

A.-8B.-16C.8D.16

【分析】由2a2-26必+户+4。+4=0,可化为两个完全平方的形式，根据非负数相加等于0,

所以各个非负数都为。进行解答.

【解答】解；加/升店+4。+4=0,即J-2出?+"+/+4。+4=0,

:.（a-b）2+（a+2）2=0,

故。-0=0,。+2=0,

解得：a=-2,b=-2.

故fb+at^uab（o+Z?）=-16.

故选：B.

【点评】本题考查了完全平方公式及非负数的性质，属于基础题，关键是掌握几个非负

数相加等于0,各个非负数都为0.

3.（5分）已知：4+WI和4-WI的小数部分分别是a和。，贝Uab-3a+4b-7等于（）

A.-3B.-4C.-5D.-6

【分析】先求出JU的范闱，根据不等式的性质得出4+J五和4-。五的范闱，进而得

到a、。的值，再代入而-3a+4b-7求出即可.

【解答】解：・・・3V11<4,

:.-3>-Vll>-4,4+3<4+Vll<4+4,

.\4-3>4-Vll>4-4,

即7V44Vli<8，0V4-VTlvi，

.*.«=4+V-ll-7=V-11­Z?=4-VT1-0=4-vn，

:.ab-3a+4〃-7

=（VH-3）x（4-V11）-3X（V11-3）+4X（4-VH）-7

=4^11-H-12+3VT1-3dli+9+16-4Vil-7

=-5.

故选：C.

【点评】本题考查了无理数的大小和实数的运算，关键是确定〃和人的值，题目比较好,

难度适中.

4.(5分)如图，已知A8/7CO,N8CD的三等分线是CP,CQ,乂CRJ_CP,若NB=78°,

则NRCE=()

A.66°B.65°C.58°D.56°

【分析】根据两直线平行，，同旁内角互补求出N8C。的度数，再根据CP、CQ是NBCD

的三等分线即可求出N8cp的度数，然后N据CAJ_CP求出N4CR,再根据两直线平行，

内错角相等求出NBCE的度数，两角相减即可求出/RCE的度数.

【解答】解：*：AB//CD.N8=78°.

AZ£?CD=1800-78，=102°,

•・・N8CO的三等分线是CP,CQ,

・・・N3CP=2xN4CQ=2xiO20=68°,

33

VCT±CF,

・・・NBCR=90°-ZBCP=90°-68°=22°,

9：AB//CD,N8=78°,

：.ZBCE=ZB=1S°,

；・NRCE=NBCE-NBCR=78°-22°=56°.

故选：D.

【点评】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补，内错角相等的性质以及角的计算，

准确识图，并仔细分析从而求出NBCA的度数是解题的关键.

5.（5分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7木，圆珠笔1

支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、

练习本、圆珠笔各1件共需（）

A.1.2%B.1.05%C.0.95元D.0.9元

【分析】设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x,户z元，建立三元一次

方程组，两个方程相减，即可求得x+y+z的值.

【解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x,），，z元，

根据题意得俨+7丫+2=3.152

]4x+8y+2z=4.2②

②・①得x+）^z=1.05（元）.

故选：B.

【点评】解答此题的关键是根据题意列出方程组，同时还要有整体思想.

6.（5分）已知。是任意有理数，在下面各题中结论正确的个数是（）

①方程ax=0的解是x=1；②方程ax=a的解是4=1；③方程ax=1的解是"=』；④

a

方程|，心=。的解是x=±\.

A.0B.1C.2D.3

【分析】解一元一次方程的步骤有5步：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；

⑤系数化为1,系数化为1时的字母系数一定不能为。，①②④都忽略了系数为0的情况.

【解答】解:①当“K0时，X=0,错误：

②当“W0时，两边同时除以出得：x=l,错误；

③or=l,当时，两边同时除以心得：x=l,错误；

a

④当。=0时，x取全体实数，当〃>0时，x=I,当。V0时，x=-I,错误.

故选：A.

【点评】本题考查了一元一次方程的解法，注意：当是含字母的系数时，一定要保证字

母的系数不为0,才能同时除以这个字母的系数.

7.(5分)方程M+|x-2002|=|x-10011+K-30031的整数解共有()

A.1002个B.1(X)1个C.1000个D.2002个

【分析】根据绝对值的意义，就是表示一点到另一点的距离，可以对x的范围进行讨论，

即可作出判断.

【解答】解：IM+h2002|是数轴上点x到0和2002的距离的之和，记为d.显然,当0

WxW2002时,4=2002；

当xVO或工>2002时，d>2002.

同理，氏・10011+4-30031是数轴上的点x到两点1001和3003的距离之和,记为d',

显然当1001WLW3003时,d'=2002；

当xVlOOl或%>3003时，d'>2002.

因此，如果，1001Wx(2002,则"=/=2(X)2：

如果2002VxW3003,则d>2002=d'；

如果OWxVIOOl,则小>2002=4

如果x>3003,则d=.x+(x-2002)>(x-1001)+(x-3003)=d'；

如果xVO,则d=-x+(2002-x)<(1(X)1-x)+(3003-x)=d'.

所以题设方程是符合1001WxW2002的所有整数，共有1002个.

故选：A.

【点评】本题主要考杳了绝对值的意义，利用讨论正确去掠绝对值符号是解决本题的关

键.

8.（5分）今有长度分别为1,2,…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段

组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）

A.5组B.7组C.9组D.II组

【分析】易得线段的总长为45,可得正方形的最大边长；根据组成正方形的线段的条数

可得最小的边长，再看共有几种取法即可.

【解答】解：显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条.当用7条线段去拼接成正

方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用I条线段，其长度恰好等于

其它3条边中每两条线段的长度之和.当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条

线段相接，其长度和相等.

又因为1+2+---+9=45,

所以正方形的边长不大于［奈］=口.

由于7=1+6=2+5=3+4：8=1+7=2+6=3+5；9=1+8=2+7=3+6=4+5；1+9=2+8=3+7

=4+6；2+9=3+8=4+7=5+6.

所以组成边长为7、8、10、II的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5

种方法，

故这样的“线段组”的组数有9组.

故选：C.

【点评】考查了计数方法，推理与论证，得到所组合正方形的最大边长与最小边长的长

度是解决本题的关键.

二.填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）

9.（5分）一个自然数〃减去59之后是一个完全平方数，加上30之后仍是一个完全平方数，

则n=1995.

【分析】设〃-59=/,〃+30=序，则存在/-廿=-89=-1X29,根据奇偶性相同即

可求得4、。的值，即可求得〃的值.

【解答】解：设〃-59=,/，〃+30=后，

则〃2-从=-89=-1X89,

即(a+b)(a-Z?)=-1X89.但a+b与a-b的奇偶性相同，

故a+〃=89,a-b=-1,于是a=44,/?=45,

从而〃=1995.

故答案为：1995.

【点评】本题考查了完全平方数的应用，考查了因式分解法求值的应用，考查了奇偶性

的判定.

10.(5分)248-1能够被60〜70之间的两个数整除，则这两个数是65、63.

【分析】先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可.

【解答】解：248-1=(224+1)(224-1),

=(224+1)(2|2+1)(2%-|),

=(224+1)(2,2+1)(26+1)(26-1)；

V26=64,

/.26-1=63,26+1=65,

故答案为65、63.

【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，先分解因式，然后再找出范围内的解是

本题解题的思路.

11.(5分)如果(Zt-1)6=«0+fliX+«2X2+«3X3+fl4.V4+fl5^+fl6,t6»那么。0+〃1+。2+。3+。4+〃5+46

=1,40+42+44+46=365.

【分析】已知等式是关于X的恒等式，即X取任意数时，等式成立，(1)所求式子为恒

等式右边系数的和，令x=l即可；

(2)所求式子为恒等式右边系数的和，令x=-1即可，与(1)式相加，奇数项系数抵

消，可得出偶数项系数的和.

(解答]解：(1)令X=1,得〃0+。|+。2+〃3+44+。5+。6=(2X1-])6=]；

(2)令4=-/,得40-41+42-。3+〃4-45+46=[2X(-1)-|]6=729；

与(1)式相加，得2的+242+2.4+246=730,

解得40+42+44+46=365,

故答案为：1，365.

【点评】本题考查了代数式的求值问题，关键是充分运用恒等式的意义，给x取不同的

值，得出所求式子的值.

12.(5分)如果x+y=1,/+)?=3,那么x^+y3—4.

【分析】根据立方和公式变形，再将已知条件整体代入即可.

【解答】解：•・"+)=1,

f2

(x+y)2=],即,r+Zr<>'+5=1,

3+2xy=1,解得xy=-1,

・•・/+)[=(A+J)<A2-xy+y1}=1X(3+1)=4.

故答案为:4.

【点评】本题考查了整式的混合运算，化简求值.关键是关键是利用立方和公式，完全

平方公式将代数式变形，整体代入求值.

13.(5分)若x+y+z=30,3x+y-z=50,x,)，，z都为非负实数，则M=5x+4.v+2z的取值范

围是120WMW130.

【分析】首先根据题意列出方程组，且x20,y»0,z20.进一步确定z的取值范围.再

将5x+4y+2z通过拆分项转化为(2x+2y+2z)+(3x+y-z)+(y+z),将x+y+z、3x+y・z、

y代入求得M关于z的表达式，进而根据z的取值范围确定M的取值范围.

【解答】解：由题意得卜4y+z=30且/o,后0,z》()

13x4y-z=50②

由②-①得x-z=10,

即x=10+z

由①X3-②得2y+4z=40,

即y=20-2z,

又〈GO,y2O,z2O,

•••OWzWlO,

VA/=5.¥+4>'+2Z=(2x+2y+2z)+(3x+y-z)+(.y+z)=130-z,

•••120WMW130.

故答案为：12OWMW13O.

【点评】解决本题的关键是根据题意确定z的取值范围.

14.(5分)对自然数a.b.c,定义运算*,设其满足(a%)*c=a*(be),(a%)(a*c)

=a*(b+c),则4*3的值为64.

【分析】逆用(。*〃)(a*c)=a*(Z?+c),可求得4*3=(4*1)3,又由(a%)*c=a*

(be),即可得(4*1)*1=4*(1X1)=4*1,则可求得4*1=4,继而求得答案.

【解答】解：V(a%)(a*c)=a*(b+c),

,-.4*3=4*(2+1)=(4*2)(4*1)

=[4*(1+1)](4*1)

=(4*1)(4*1)(4*1)

=(4*1)3,

又＜又*b)*c=a*Cbc),

.・.(4*1)*1=4*(1X1)=4*1,

.•.4*1=4,

.•.4*3=43=64.

故答案为：64.

【点评】此题考查有理数与无理数的概念与运算的知识.属于了新定义题型，此题难度

较大，注意根据题意求得4*3=(4*1)3与4*1=4是解此题的关键.

三.解答题(共4小题，满分50分)

15.(12分)已知a-b=~^，a2+b2+c2=1,求帅+反+ca的值.

【分析】根据已知条件a-b=2,b-c=—»求得然后由(a-b)2+(b-c)

131313

2+(a-c)2=2(fz2+/?2+<?2)-2(ab+bc+ca),求a〃+/?c、+ca的值.

【解答】解：a-b=2,①

13

b-c*，②

£0

由①+②，得

a-c=—,®

13

*.*Ca-b)2+(b-c)2+(a-c)

169169169169

/.2(«2+/?2+c2)-2(ab+bc+ca)=-^-,

169

\'a1+b2+c2=\,

.*.2-2(ab-^bc+ca)=

169

ab+bc+ca==-12..

16913

【点评】本题考查了完全平方公式，巧妙地用到了完全平方公式，把已知条件转化为三

个完全平方式，然后将/+力2+02=1整体代入求值即可.

16.(12分)某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过10()元的不给优惠；

超过100元而不超过300时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9

折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定

一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？

【分析】由100X0.9=90<94.5<100,300X0.9=27(X282.8,设小美第二次购物的原价

为x元，根据购物付，282.8元可得方程，求得解.解大于300元时要分两种情况情况考虑

小丽应该付的钱数：①小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元；②小美

第一次购物原价超过K)0元，第二次购物原价超过300元.分别列出代数式求解.

【解答】解:因为100X0.9=90V94.5V100,300X0.9=27(X282.8,

设小美第二次购物的原价为x元，

则(x-300)X0.8+300X0.9=282.8解得，x=316

所以有两种情况：

情况1：小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元

则小丽应付(316+94.5-300)X0.8+300X0.9=358.4(元)

情况2：小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元;

则第•次购物原价为：94.54-0.9=105（元）

所以小丽应付(316+105-300)X0.8+300X0.9=366.8(元).

答：小丽应该付款358.4元或366.8元.

【点评】本题考杳了一元一次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思、，根据题目给

出的条件，找出合适的等量关系列出方程，注意分情况讨论.

17.（12分）如图1,点。为直线A8上一点，过点。作射线OC使N8OC=120°.将一

直角三角板的直角顶点放在点。处，一边在射线08上，另一边ON在直线43的下

方.

（1）将图1中的三角板绕点。逆时针旋转至图2,使一边0M在N80C的内部，且恰

好平分N8OC问：此时直线ON是否平分NAOC?请说明理由.

（2）将图1中的三角板绕点0以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程

中，第f秒时，直线ON恰好平分锐角N4OC,则/的值为10或40（直接写出结果）.

（3）将图1中的三角板绕点。顺时针旋转至图3,使ON在NAOC的内部，求NAOM

-NNOC的度数.

【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解;

(2)由N3OC=120°可得NAOC=60°,则NRON=30。,即旋转60°或240°时ON

平分NAOC,据此求解；

(3)因为NMON=90°,NAOC=60°,所以NAOM=90°-/AON、NNOC=60°

-/AON,然