七年级数学下册培优辅导人教版1

当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.

第1讲与相交有关概念与平行线的判定问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.

【例2】如图所示，点0是直线AB上一点，0E、0F分别平分/B0C.

考点•方法•破译

ZA0C.

1.了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.

⑴求/斯的度数：八/<

2.掌握南顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并使用图形或⑵写出/施的余角与补角.\//

几何符号表大它们.

【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉与的角八。

3.掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.

的定义，以与各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解：

经典•考超・贯析

【解】⑴；0E、0F平分NBOC、NA0CZE0C=Z30C,ZFOC=ZA0C:.

(IMI)加轨三条“线AB.CD.EF相交千点0,一共构成理儿对对项用？夬构成电:儿对州补角？

【解法指导】ZE0F=ZE0C4-ZF0C=ZBOC+ZAOC=又VNBOC+NA0C=180°AZ

⑴对顶角和邻补角是两条直战所形成的图角.EOF-X10Ce-90°⑵/BOE的余角是；NCOP、ZAOF；NBOE的补角是；ZAOE.

⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长【变式题组】

线.01.如图，已知直线AB.CD相交于点0,0A平分NEOC,且NE0C=100°,JMZBOD

⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.的度数是()

有6对对顶角.12对邻补角.

【变式题组】Cx

01.如石图所示，直线AB.CD.EF相交于P、Q、R,则：

(DZARS的对顶角是邻补角1/、噂、

是.⑵中有几对对IS角.几对邻补角？,'

02.当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；

线11、12相交于点0,A、B分别是11、12上的点，试用三角尺完成下列作图:

当三条电线相交于一点时，共有6对对顶角；

⑵试说明必与独的位置关系.

03.如图，UttlAB1BCJB.DB1EBJ-B,并iL/CBE：ZABD-I：2,南作出/CBE的对攻角，并

求其度JR.

【例5】如用.拈山卜列名组用是睇四条比纹被m•黑a段所载而制刊的,并说lira#】的代标।

N1和N2:

/I和N3:

01.P为直线1外一点，A.B.C是直线1上三点，且PA=4c«,

N1和N6:

PB=5ca,PC=6CB,网点P到直线1的距离为（）

/2和N6:

A.4cnB.5caC.不大于4caD.不小于6CE

N2和N4:

02如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行段，M、N为位于公路两例的

N3和N5:

村庄；

N3和N4:

⑴设汽军行驻到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位■时.—庄N

»ifi.请在图中的公路上分别做出点P.Q的位雕

【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是।首先弄清所判断的

⑵当汽军从A出发向D行驶的过程中，在的路上距离M村越来越近..

是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直战

在

就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.

的路上距圈村庄N越来越近，而距离忖庄M越来越远.

【变式题组】

{Ml］如图.HitAB.CD相交于.MO.OFICD.OF1AB.ZDO-65,,求/BOE和/AOC的度

tR.

01.如图，平行直线AB.CD与相交直线EF,GH相交,

【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据,也可以作为该图形具备的

图中的同旁内角共有（）

性质，由图可得：NA0F=90°,OF±AB.

A.4对8.8对C.12对D.16对

【变式题组】

02.如图找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.

03.4118.技各组角的位置刈断怖谟的是＜）

01.如图，若EO_LAB于0,直线CD过点0,ZE0D：ZEOB=1

A.N1和N2是同旁内角

：3,求NAOC.ZA0E的度数.

B./3和N4是内错角

02.加图.O为直线AB上•点.NBOC=3NAOC.OC平分NAOD.

⑴求/力力的度数：C.Z5和N6是同旁内角

D./5和N7是同旁内角又•••N1=N2(已知)

1例6】如图，根据下列条件,可推为哪两条在校平行？并说明理由•

：.ABi/DE(.)

SZCBAZAD灰

。工ill131.已如八E平分NCAB.CE邛分NACD.NCAE+NACE-9O•.水迎：AB〃CD.

⑵N及⑦4■44优=180，04.如图，已知NABC=NACB,BE平分NABC,CD平分NACB,ZEBF=ZEFB,求

⑶明C证：CD/7EF.

【解法指导】图中有即即有同旁内

【例7】如图⑴，平面内有

角，有“”即有内错角.

不平行的直战，试证：在所有的

【解法指导】⑴由NCBD=NADB,可推得AD〃BC；根据内错角相等，两直线平行.

至少有一个角小于31°.

⑵由NBCD+NADC=180・，可推得AD〃BC：根据同旁内角互补，两直线平行.

⑶由NACD=NBAC可推得AB〃DC；根据内错角相等，两直线平行.

【变式震组】八

01.如图，挂理填空.

（ir：ZA=Z（已知）!\^/

：.AC//ED（）"---、

为图⑵.

⑵VZC=Z（已知）

证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°

:.ACHED（.）

则12X3U=372°>360°

（3）VZ4=Z（已知）"

这与一周角等于360°矛盾

：.AB//DF{）

所以这12个角中至少有一个角小于31°

02.如图，AD平分NBAC,EF平分/DEC,且N1=N2,试说明DE与AB的位置关系.

【变式题组】

w：v?.DitzbAca'jr>H«<€2知）

...//MO2N1（角平分线定义）01.平面内有18条两两不平行的直战，试证：在所有的交角中至少有一个角小于

又丫如平分/胸（己知）11*

02.在同一平面内有2010条直线al,a2,…，a2010,如桑al_La2,a2〃a3,a3±a4,=6CB,点P到直线1的距离是（）

a4〃a5……那么al与a2010的位置关系是.A.4CBB.5cmC.小于4cBiD.不大于4ca

03.已知n（n>2）个点Pl,P2,P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线06.将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点威合），则NA0B+ND0C

上，设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2=l,S3

=3,S4=6,.•.S5=10…则Sn=.

演练巩固-反馈提高

01.如图，NEAC=NADB=90♦.下列说法正确的是（）

A.a的余角只有NBB.a的邻补角是NDACC.NXCF是a的余角D.a

第6的阳।第7JS图第，咫图

与/ACF互补

07.如图，矩形ABCD沿EF对折，且/DEF=72°,则NAEG=.

02.如图，已知直线AB.CD被直线EF所载，则NEMB的同位角为（）

08.在同一平面内，若直线al〃a2,a2_La3,a3〃a4,…则alal0.（al与alO

A.^AMFD.^DUFC./ENCD.^END

不重合）

03.下列语句中正确的是（）

09.如图所示，直线a、b被直线c所敬，现给出下列四个条件：①N1=N5,②N1

A.在同一平面内,一条直栽只有一条垂线

=Z7,③N2+N3=180.,④N4=N7,其中能判断a〃b的条件的序号

B.过直线上一点的直线只有一条

是.

a过直线上一点且垂宜于这条直线的亘线有且只有一条

10.在同一平面内两条直线的位置关系有.

D.垂线段底是点到直线的距离

11.如图，已知BE平分/ABD,DE平分/CDB,且NE=NABE+NEDC.试说明

04.如图，NBAC=9（T,AD_LBC于D,则下列结论中，正确的个数有（）

AB〃CD?

①仞L"②3与4c互相垂直③点C到四的垂线段是线段AB④线段段的长度

A--------------7^

是点6到〃•的距离⑤垂线段切是点6到“的距图®AJJ>BD12.如图，己知BE平分NABC.CF平分NBCD,Z1,./\

A.0B.2Q4D.6=Z2,那么直线AB与CD的位置关系如何？

05.点A«B,C是直线1上的三点，点P是直线1外一点，且PA=4cn,PB=5CB,PC

13.如图，推理填空：纸上画一条与这个角的平分统平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并

（1）VZ.A=（已知）证明你的正确性.

:.ACHED（）06.平面上三条直线相互间的交点的/\个数是

（2）VZ2=（已知）

（）

：.AC//ED（）

A.3B.I或3C.I或2或3D.

（3）VZ/+=180°（已知）

不一定是1,2,3

；.AB〃FD.

07.请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另

14.如图，请你填上一个适当的条件使，D〃BC.

三条直线相交，并简单说明画法？

08.平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排

才能办到？

09.如图，在一个正方体的2个面上画了两条对凭

线AB.AC,那么两条对角线的夹角等于（）

02.平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平

A.6Q°B.75°C.90°D.135*

面分成（）部分.

10.在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？

A.60B.55C.50D.45

03.平面上有六个点，每两点都连成一条宣战，问除了原来的6个点之外，这些（1）任意两条直线都有交点；

直线最多还有（）个交点.⑵总共有29个交点.

A.35B.40C.45D.55第2讲平行线的性质与其应用

04.如图，图上有6个点,作两两连线时，河内最多有考点•方法•破译

__________________交点，1.掌握平行我的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系;

05.如图是某施工队一张破损的图纸，己知a、b是一个角的两边，现在要在图2,初步了蟀命题，命题的构成，真假命题、定理；

3.灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，02.（安徽）如图，直线11//12,Z1=55*,Z2=65°,则N3为（）

感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.A.50*B.55*C.60*D.65*

经典•考题•赏析03.如瓯已知FC〃AB〃DE,/a：ZD:ZB=2:3:4,试求/a、ZD.ZB

【例1】如图，四边形ABCD中，AB/7CD,BC/7AD,ZA=38°,求NC的度数.的度数

【解法指导】【例2】如图，已知AB〃CD〃EF,GC1CF,ZB=60*,ZEFC=45*,求NBCG

两条直线平行，同位角相等；的度数.

【解法指身】平行规的性质与对顶角、邻补角、市出和角平分统相姑今.可求冬种位置的用的也敢，但

两条直线平行，内情角相等।

注意看■清角的位优

两条直线平行，同旁内角互补.【解】•.♦AB〃CD〃EFAZB=ZBCDNF=NFCD：两条直镂平行，内错角相

平行线的性顺是推号角关系的重要依据之一,必须正确识别图形的特征，看清等）又:/8=60°ZEFC=45*/.ZBCD=60eZFCD=45°又•.•GC_LCF

截线，识别角的关系式关键..•.ZGCF=9O0（垂直定理）/.ZGCD=90'-45°=45°ZBCG=60°-45,

【解】：,••AD〃CDDC/7AD-15°

.-.ZA+ZB=180*NB+NC=180♦（两条直线平行，同旁内角互补）【变式题组】

AZX=ZC,:N4=38°;NQ38°01.如图，已知AF〃BC,且AF平分NEAB,NB=48°,则NC的的度数=

【变式题组】

01.如理，已知AD〃BC,点E在BD的延长线上，若NAD£=155',则NDBC的度

数为（）

A.1559B.50rC.459D.25*

《第3黑图）

02.如图，已知/ABC+NACB=120",BO、CO分别NABC.N4CB,DE过点。与BC平行,

则NB0C=___________

8£

（第।«re>（第2麴图）（第3•留）03.如图，已知AB〃MP/7CD,MN平分NAMD,NA=4”，ZD=50*,求NNMP

的度数.条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论

【例3】如图，已知N1=N2,ZC=ZD.求证：ZA=ZF.的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的।

【解法指导】Z1=Z3）

因果转化，媒合运用.证明：VEG1BC,AD±BC.*.ZEGC=ZADC=90o

逆向也惟：要证明NA=NF.即变证明DF〃AC.

（垂直定义）••.EG/ZAD（同位角相等，两条直线平行）

要证明即〃AC,即要证明ND+NDBC=180°,

VZ1=Z3，N3=/BAD（两条直线平行，内错角相等）

即：ZC+ZDBC=180°；要证明NC+NDBC

.•.4?平分N班。（角平分线定义）

=180°即要证明DB〃EC.要证明DB〃EC即要

【变式题组】

证明Nl=/3.

01.如图，若AE_LBC于E,Z1=Z2,求证：X±BC.

证明：7Z1=Z2,Z2=Z3（对顶角相等）所以/1=N3：.DB〃EC（同位角

02.如图，在中，CEJ_AB于E,DF«LAB于F,AC〃ED,CE平分NACB.求

相等•两直线平行）.••NDBC+NC=180・（两直线平行，同旁内角互补）•••NC=ND

证：ZEDF-ZDDF.

.,.ZDBC+ZD=180*，DF〃AC（同旁内角，互补两直战平行）（两直线

3.已知如图，AB〃CD,ZB=40*,CN是/BCE的平分线.CMJ_CN,求：NBCM的

平行，内错角相等）

度数.

【变式座组】C，

人------------

01.如图，已知AC〃FG,Z1=Z2,求证：DE〃FW,J）/【例5】已知，如图，AB/7EF,求证：ZABC+ZBCF+ZCTE=360e//

~I"【解法指导】从考虑360.这个特殊角入手展开联想，分析题乙”

02.如图，已知Nl+N2=180°,Z3=ZB.求证（:华清幽引绝CBEO-

03.如图，两平面镜。、6的夹角3入射光线AO例午联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.

过我C什:CD〃AB即把已知条件AB〃EFH泵起来.这是美城.

T-P人射到a上.经两次反射后的出射光线O'B平行

J--------【证明】：过点（:作CD〃ABVCDABAZl+ZABC=180e

于a,则角8等于.（第2出图）

（两直线平行,同旁内角互补）又•••AB〃EF,...CD〃EF（平行

【例4】如图，己知EG_LBC,AD±BC,Z1=Z3.

于同一条直线的两直线平行）.-.Z2+ZCFE=180°（两直线平行，

求证:AD¥分NBAC.

【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析同旁内角互补）.•.N3+N1+N2+N0F=18O°+180°=360,

即乙演斗/殴计/凝=360・【变式题组】

【变式题组】01.如图，AB/7EF,ZC=90*,则Na、/6、NT的关系是（）

01.如图，已知，AB/7CD,分别探究下面四个图形中/APC和NPAB./PCD的关A.+/yB./B+/a+NY=180°

系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.C./a+/B-/Y=90°D./B+Ny—Na=90"

02.如图，已知，AB〃CD,NABE和NCDE的平分线相交于点F,ZE=140,,求

ZBFD的度数，

【例7】如图，平移三角形ABC,设点A移动到点A/,画出平移后的三角形

A/B/C/.

【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连.

⑴定；确定平移的方向和距离.

（2淡：找出图形的关键点.

【例6】如图，已知，AB/7CD,则Na、NB、Ny、N中之间的关系是

⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点.

Za+Zr+ZN?=180°

（4）连：按原图形顺次连接对应点.

【解法指导】基本图形

【解】①连接AA/②过点B作W的平行线1③在1截取BB/=AA/,则点B/

善于从复杂的图形中找到基本国形，运用基本图形的规律打开思路.

就是的B对应点，用同样的方法作出点C的对应点C/.连接A/B/,B/C/,C/A/就得到

【解】过点E作EH〃AB.过点F作FG〃AB.VA3/7EH.•./a=Nl（两直

平移后的三角形A/B/C/.

线平行，内错角相等）又•••FG〃AB/.EH/7FG（平行于同一条直线的两直线平行）工

【变式题组】

Z2=Z3XVAB/7CD，FG〃CD（平行于同一条直线的两直线平行）,N寺+N4

01.如图，把四边形ABCD按脩头所指的方向平移218,作出平移后的图形.

=180°（两直线平行，向旁内角互补）.•.Na+/Y+/*—NB=N1+N3+N4

-<>-Zl-Z2=Z4+♦=180,

02.如图，已知三角形ABC中，ZC=90°,BC=4,AC=4,现将aABC沿CB方向平移

到△A/B/C/的位置，若平移距离为3,求aABC与△A/B/C/的重叠部分的面A.对顶角相等B.同位角相等C.内错角相等D.同旁内角互补

积.05.学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是

03.原夹是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移BE的距通过折一张半透明的好得到的［如图⑴T4）］

恩，就得到比图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）

从图中可知，小敏画平行线的依据有（）

演练巩固反馈提高

①两直线平行，同位角相等：②两直线平行，内惜角相等；③同位角相等，两直

01.如佟，由A测B得方向是（）

线平行；④内错角相等，两直线平行.

A.南偏东30°B.南偏东60.

A.嚣B.细C.D.吻

C.北偏西M*D.北偏西&）•

06.在A.B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.

02.命题：①对顶角相等：②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行：

现A.B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该

④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（）

是（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

A.北偏东52°B.南偏东52°C.西偏北52°D.北偏西38°

03.一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向

07.下列;I种运动中属于平移的有（）

相同，两次拐弯的角度可能是（）

①水平运输带上的砖的运动：②第直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮

A.第一次图左拐30*,第二次向右拐30°B.第一次向右拐50*,第二次向左拐

的转动上③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.

130°

A.1种B.2种C.3种D.4种

C.第一次向左拐50*,第二次向右拐ISO*D.第一次向左拐6（）..笫二次

08.如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好

向左拐120°

位于左上角的位置（不能出格）

04.下列命题中，正确的是（）

09.观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）15.如图，AB/7CD,Z1=Z2,试说明NE和NF的关系.

10.如图，AD/7BC,AB〃CD,AE1BC,现将进行平缘平移方向为射线AD的方

培优升级•奥赛检测会

向.平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.

01.如图,苏边AABC各边都被分亚五等分,这样在4ABC内能与ADEF完成*R令的

小加彩共425个,那么在AABC内由ADEF平移得到的三角形共有（）个

02.加图.足以运动彷在球场上点A处后到足球从B点沿芥BO方向匀速浪来.运/V\AA/

动员立即从A处以匀速H戏先跑前去已故足理.若兄理滋动的读懂与该运动她先“

跑的速吱树",请标出运动员的平移方向与收快他收住足球的贸.（运动员先艳于足球浪动视为点的

平移）

03.如图，长方体的长AB=4cm,宽BC=3s,高AAl=2cm.将AC平移到A1C1的

11.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.