七年级数学下册113 《平行线》全章复习与巩固（知识讲解）-（浙教版）

专题L13《平行线》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1.熟练掌握平行线及平行公理概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概

念；

2.区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；

3.了解平移的概念及性质.

【知识要点】

知识点一、平行线

1.平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.

判定方法2：内错角相等，两直线平行.

判定方法3，同旁内角互补，两直线平行.

特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：

（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.

（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.

（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.

（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2.平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：

（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点.

（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直.

3.两条平行线间的距离

如图3,直线AB〃CD,EF_LAB于E,EF_LCD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB

与CI）间的距离.

特别说明：

（1）两条平行线之间的苑离处处相等.

（2）初中阶级学习了三种距离，分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.

这三种距离的共同点在于都是线段的长度，它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段

的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度，平行线间的距离是一条直

线上的一点到与之平行的另一直线的距离.

（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，

是一个量，它们之间不能等同.

知识点二、图形的平移

平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移.

特别说明：平移的性质：

（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；

（2）平移后，对应角相等；

（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；

（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.

【典型例题】

类型一、平行线的性质与判定

如图，EF.LBC,AD±BC,Z1=Z2,试说明衣

£A

解：＜EF工BC,ADLBC（已知），

;.NBFE=NBDA=90。（垂直的定义）.

/.EF//AD（）.

（）.

­,•Z1=Z2（已知），

，（等量代换）.

/.DG//AB（）.

【答案】同位角相等，两直线平行；/2=/3；两直线平行，同位角相等；N1=N3；

内错角相等，两直线平行

【分析】根据题意读懂推理过程中每一步的推理依据即可完成解答.

解：•.EF1BC.AD±BC（已知），

?.ZBFE=ZBDA=90°（垂直的定义），

..FF//AD（同位角相等，两直线平行），

.•./2=/3（两直线平行，同位角相等），

•.Z1=Z2（已知），

Z1=Z3（等量代换），

S.DG//BA（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：同位角相等，两直线平行；/2=/3；两直线平行，同位角相等：Z1=Z3；

内错角相等，两直线平行.

【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义等知识，关键是读懂推理过

程，明确每一步的根据.

举一反三：

【变式1】如图所示，点9、E分别在AC、上,BD、CE均与”相交，ZA=ZF,

ZC=ZD,求证：Z1=Z2.

【分析】由N4=N/，证明AC再证O8〃CE,最后根据对顶角相等，可得答

案.

证明：VZA=ZF，

又•・•Z2=Z3,

・・・/DFE=/3,

・・・DF平分NAFE.

【点拨】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键,

即①两直线平行U同位角相等，②两直线平行0rt错角相等，③两宜线平行U同旁内角互补,

@a//b,b〃c=a〃c.

类型二、平移

C>4.如图，在平面直角坐标系中，己知AAbC的三个顶点的坐标分别为A(-3,

5),B(-2,1),C(-1,3).

(1)画出△ABC关y轴的对称图形AAMiG；

(2)画出△AiBiCi向下平移5个单位长度后得到的△A2B2C2;

(3)如果AC上有一点M(a,b)经过上述两次变换，那么对应A2c2上的点M2的坐

标是.

(4)△ABC的面积为.

【答案】(I)见解析：(2)见解析；(3)(・a,/7-5)；(4)3

【分析】(1)根据轴对称的性质即可作出

(2)根据平移的性质即可作出△A282c2；

(3)结合(1)(2)可得AC上有一点M(«,b)的横坐标互为相反数，纵坐标减5,

即可得对应A2c2上的点A/2的坐标；

(4)根据网格即可求出△A/3C的面积.

解(1)如图，△48G即为所求；

(2)如图，△A282c2即为所求;

（3）由（1〉（2）可得AC上有一点M（a,b）的横坐标互为相反数，纵坐标减5,可

得对应A2c2上的点M2的坐标（-〃，5）,

故答案为：（-a,b-5）；

（4）△ABC的面积为：

2x4-^-xlx4-yxl＞：2-1x2x2=8-2-1-2=3.

故答案为：3.

【点拨】本题考查了作图一轴对称变换，作图一平移变换，解决本题的关键是掌握轴对

称的性质和平移的性质.

举一反三：

【变式】如图，在三角形A8C中，AC=4cm,BC=3cm,AAC沿A3方向平移至

..DEF，若AE=8cm,DB=2cm.

（1）求BE的长；

（2）求四边形AEFC的周长.

【答案】（I）3cm；（2）18cm

【分析】＜1）根据平移的性质可得AO=6E=C尸，BC=EF=3cm,然后根据AE、BD

的长度求解即可：

（2）根据平移的性质可得E尸=8C,CF=AD,然后根据四边形的周长的定义列式计算

即可得解.

解：（1）・・・“8。沿）8方向向右平移得到~。七平

：.AD=BE=CF,BC=EF=3cm,

•・"=8cm,/川=2cm,

o

*.AD=BE=CF=——-=3cm,

2

即跖=3cm：

(2)由平移的特征及(1)得

CF=AD=3cm,EF=3cm.

*.*AE=8cm,AC=4cm,

・•・四边形AEFC的周长=A£+E尸+B+AC=8+3+3+4=18(cm).

【点拨】本题考查平承的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小：②经过平移，对

应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.

.如图，已知△ABC的面积为36,将△A8C沿AC平移到△4/77,使点方与

点C重合，连接交4。于D.

（2）求4C，OC的面积.

【答案】⑴见解析；（2）18

【分析】（1）根据平移的性质可以得到AC〃/VC,AC=4C,然后证明△

再根据全等三角形的对应边相等即可证明；

（2）根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可得△4夕C的面积，再

根据等底同高的三角形的面积相等即可求解.

（1）证明：・••△ABC沿平移到△A5C,

：.\C//XC,AC=A'C,

・•・NACD=NCA'D,

又：NADC=NCDA\

/.△ACOg/XCA'。，

••・A'D=CO：

(2)解：•.'△ABC沿8c平移到△AEC,

・•・Z\A8c出△ATTC,

•••△/WC与△ABC的面积相等，等于36,

因为A7)=C7),

所以△COC与△CAO的面积相等，等于18.

【点拨】本题主要考查了平移的性质与等底等高的三角形的面积相等的性质，利用等底

等高的「角形的面积进行求解在今后的学习中经常用的，希望能够熟练掌握.

类型三、平行线的性质与判定综合运用

.如图，在三角形A8C中，D,E,产三点分别在AC上，过点。的

©>6f

直线与线段班的交点为点己知2N1—N2=150。，2Z2-Z1=3O°.

(1)求证：DM//AC；

(2)若DE//BC,ZC=50°,求N3的度数.

【答案】（1）证明见解析（2）50°

【解析】（1）已知24/2=150°,2Z2-Zl=30°,可得Nl+N2=18己,再由

Zl+ZDME=180°,可得N2=NOME,根据内错角相等，两直线平行即可得

DM//AC；（2）由（1）得。M〃AC,根据两直线平行，内错角相等可得N3=

NAED,再由。E〃BC,可得NAED=NC,所以N3=NC50。.

解：（1）•・・2/1-/2=150。，2Z2-Zl=30°,

・・・Zl+Z2=180o.

Zl+ZDME=180°,

:.Z2=ZDME.

/.DM//AC.

（2）•・•DM//AC,

:.N3=NAED.

・・・DE〃BC,

:.ZAED=ZC.

・•・Z3=ZC.

ZC=50°,

・・・Z3=50°.

举一反三：

【变式1】如图所示，已知BD/7AC,CE/7BA,且点D,A,E在一条直线上，设NBAC

=x,ZD4-ZE=y.

⑴试用含x的代数式表示y；

(2)当x=90。时，判断直线DB与直线EC的位置关系，并说明理由.

【答案】⑴y=180。-x(0°<x<180。)；(2)DB_LEC.理由见解析.

【分析】(1)根据两直线平行，同位角相等可得NEAC=ND,ZDAB=ZE,再根据

平角等于180。列式整理即可得解；

(2)延长DB,EC交于点F,由BD〃AC,推出NBAC=NDBA.因为x=90。所以NDBA

=9()。结合CE〃BA,可证DB_LEC.

解：(1)y=180°-x(0°<x<180°).

：BD〃ACCE〃BA,

/.ZEAC=ZD,NDAB=NE,

•••D、A.E在同一条直线上，

・•・ZEAC+ZBAC+ZDAB=180°,

VZBAC=x,ND+NE=y,

/.x+y=180°,

Ay=180°-x.)

(2)DBJLEC.理由：如图，延长DB,EC交于点F.

VBD//AC,

AZBAC=ZDBA.

Vx=90°,即NBAC=90。，

AZDBA=90°.

VCE/7BA,

AZDFE=ZDBA=90°,

ADB1EC.

【点拨】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.

【变式2】如图I所示，MN〃PQ,NA8c与MN,尸。分别交于A、C两点

（1）若NMAB=NQCB=20。，则3的度数为度.

（2）在图1分别作NN4B与NPCB的平分线，且两条角平分线交于点F.

①依题意在图1中补全图形：

②若NA6C=〃。，求/AFC的度数（用含有〃的代数式表示）；

（3）如图2所示，直线4E,C。相交于。点，且满足N84M="?NM4凡NBCP=

mNDCP,试探究NCD4与NABC的数量关系

【答案】（1）40；（2）①见解析；②180。-：〃。；（3）mZCDA-\-ZABC=\S0°

【分析】（I）作MMPQ的平行线"G,根据两直线平行，内错角相等即可解答；

（2）①根据题意作图即可，②过尸作S77/MV，根据两直线平行，同旁内角互补和内

错角相等即可解答；

（3）延长AE交PQ于点G,设NM4E=x°,ZDCP=y°,知N8AM=mNMAE=〃?x。,

ZBCP=mZDCP=my°,N8CQ=180°r世°,根据（1）中所得结论知NA8C=〃Lt°+

180。一〃少。，即），。—》。=——=------,由MN〃2Q知NMAE=NOGP=x。，根据NC7M=

in

ZDCP-ZDGC可得答案.

解：（1）悴HGHMN,

A

M

H--------