二项分布与超几何分布的区别、联系-高中-数学-教学设计

离散分布“两兄弟”二项分布与超几何分布的区别、联系高文倩西安铁一中滨河高级中学一、教学内容解析本节内容源自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布》,在本章，首先结合古典概型，采用归纳的方法建立条件概率的概念，导出乘法公式和全概率公式，从而为计算复杂事件的概率提供有利工具。在此基础上，引入了随机变量的概念，在更高的观点下，利用数学工具，采用统一的方式系统、全面地研究离散型随机变量取值的概率分布及数字特征。在函数的学习中，学习完函数的概念、表示、性质等一般知识后，通过学习幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数类，不仅加深了对一般函数概念的理解，而且为我们奠定了建立适当的函数模型解决不同类型实际问题的数学基础。与函数的学习类似，本章我们通过研究二项分布、超几何分布等重要离散型随机变量的分布，不仅进一步理解了离散型随机变量在描述随机现象中的作用，而且对随机思想在解决实际问题中的作用也有了更深入的理解。本章最后根据频率稳定到概率的原理，借助误差数据频率分布直方图，建立了正态分布模型。本节课学习的二项分布与超几何分布。既是前面的互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法以及分布列有关内容等知识的延续和扩展，又为后续内容提供理论基础。本节课的教学内容针对高三学生设计，通过高二的学习，他们对二项分布和超几何分布的基本概念和简单应用已有初步了解。但由于时间间隔较长，可能存在遗忘或者理解不深入的情况。加之，新高考旨在培养学生的理性思维和创新意识，对二项分布和超几何分布，学生不仅要理解定义、特点及适用场景；熟练掌握概率计算公式、期望和方差公式。更要能将超几何分布与二项分布与其他数学知识，比如排列组合、数列、函数等结合，解决综合性问题；同样也要应用相关知识解决实际生活中的问题，比如风险评估、决策分析或者为策划提供参考等。总之，对学生分析问题的能力、计算能力、综合应用能力及实际问题解决能力都提出了更高的要求。二、教学目标设置课程标准要求学生理解离散型随机变量及其分布列的概念，通过具体实例，理解超几何分布和二项分布的模型特征，掌握二项分布和超几何分布的定义、公式、特点及适用场景等知识。明确二项分布适用于独立重复试验，超几何分布适用于有限总体不放回抽样问题。同时，要掌握两种分布的概率计算方法、期望和方差的计算公式。学生在具体问题情境中，要有识别随机变量所服从的分布类型的能力，运用相应分布的公式进行概率计算、期望和方差计算的能力，以及运用概率分布知识解决实际问题的能力。通过实际问题的引入和分析，培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力，建立概率模型并进行求解。在学习过程中，引导学生进行自主探究、合作交流，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。让学生体会数学在实际生活中的广泛应用，感受数学的价值和魅力，激发学生学习数学的兴趣。通过解决实际问题，培养学生的科学态度和严谨的思维习惯，增强学生的应用意识和创新意识。三、学生学情分析通过高一高二的学习，学生已有一定的概率基础知识，了解概率的定义、性质，会计算一些简单事件的概率。对二项分布和超几何分布的基本概念和简单应用也有初步了解。也能够理解和计算排列数、组合数，这对于确定二项分布和超几何分布中的各种情况数至关重要。但学生依然存在些许问题：1）概念理解不深入，二项分布和超几何分布的概念较为抽象，学生在理解上可能存在困难。尤其是对于分布的特点、适用场景等方面，容易出现混淆；2）公式记忆和应用不熟练，二项分布和超几何分布的概率计算公式较为复杂，学生在记忆和应用上可能存在问题。容易出现公式记错、用错的情况实际问题；3）分析能力不足，在解决实际问题时，学生往往难以准确地判断问题中的概率分布类型，建立正确的数学模型。为使学生更好的掌握超几何分布和二项分布，并利用其解决相关问题，这就使得学生应具备以下能力：1）较强的逻辑思维能力：能够分析问题中的各种情况，准确判断是二项分布还是超几何分布的问题情境。2）熟练的计算能力：包括进行复杂的组合数计算、概率计算等，确保在解题过程中不出错。3）理解实际问题的能力：能够将实际问题转化为数学模型，准确应用二项分布和超几何分布的公式进行求解。因此，教学过程中，需结合实例讲解：通过具体的实际问题，引导学生分析问题，确定使用哪种分布进行概率计算，加深学生对概念的理解；对比分析：将二项分布与超几何分布进行对比，明确它们的区别和联系，帮助学生准确区分和应用；强化练习：布置适量的练习题，让学生进行巩固练习，提高解题能力；总结归纳：引导学生总结二项分布与超几何分布的特点、公式和应用场景，形成知识体系。四、教学策略分析本节课的主要目标在于，帮助学生理解、掌握二项分布和超几何分布的区别与联系，使其在具体问题情境中，具有识别随机变量所服从的分布类型的能力，运用相应分布的公式进行概率计算、期望和方差计算的能力，以及运用概率分布知识解决实际问题的能力。1）在教学过程中，做好对比举例，最好是在同一个问题情境下，既创设二项分布又创设超几何分布，让学生很清晰的能看出两者的不同。通过两个情境的创设，让学生运用二项分布和超几何分布进行求解，逐步完善二项分布与超几何分布的判断依据。2）个人展示与小组展示相结合，给个人提供充分展示自我才华、锻炼独立表达能力的机会，个人展示内容更加集中，确保了展示的连贯性和逻辑性。小组展示，小组成员可以从彼此身上学到不同的知识和技能，与此同时，培养团队合作能力，激发思维的碰撞。3）借助GeoGebra软件进行概率计算结果的输出以及超几何分布逼近二项分布的动态呈现，免去非必要计算的同时，让学生更易于理解离散分布“两兄弟”的区别与联系。4）学习了“两兄弟”的区别，能识别分布模型，但在实际的概率问题解决中，并不是纯粹的两种分布应用，而是用其思想。借助高考真题及其改编，培养学生应用知识解决实际问题的能力。五、教学过程1.情境创设引导语：巴拿赫是波兰著名的数学家，他开创了泛函分析领域；深入研究了线性算子的性质；提出巴拿赫空间的概念；还提出了巴拿赫不动点定理。概率论的发展史上，有一个和他相关的经典概率问题——巴拿赫火柴问题。我们暂不揭晓，留带后语。离散分布的“两兄弟”二项分布和超几何分布有诸多相似之处，这就使得我们混淆难辨。特别是，不论选择哪一种模型，计算出的期望值都相等，这就使得有些同学错而不自知。今天，我们将通过具体情境、具体问题让大家感受两者的区别与联系。2.问题探究问题1：课前大家已完成了二项分布与超几何分布相关知识的梳理。二项分布和超几何分布模型中的参数有哪些，其含义分别是什么？分别举一个二项分布和超几何分布的例子。师生活动：教师随机提问，学生凭借记忆和理解进行回答。二项分布的两个参数分别是试验发生的次数和试验中事件发生的概率。超几何分布的三个参数N,M,n依次为试验中包含的元素的个数、特殊元素的个数及要抽取的元素个数。学生能说明参数，但参数的含义可能会表达不清，师生共同完善表述。举出具体例子，在例子中再次熟悉“两兄弟”。问题2：产品抽取问题，多次提及，请看问题例1：某批件产品的优质率为,现从中任意地抽取20件进行检验.计算：当时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到件优质品的概率各是多少?如何识别变量服从的分布类型，判断的依据、突破口是什么？师生活动：题目的设置是教材多次提及的产品抽取问题，学生较为熟悉。依据教材对两种分布的解释，“放回、不放回”显著的字眼，是判断“两兄弟”的关键条件。二项分布是有放回，超几何分布是不放回。教师提问，要求学生口述列出相应概率的计算公式。因数字较大，教师借助GeoGebra软件完成结果的输出。并引导学生观察计算结果。通过结果的观察，发现随着N取值的增大，超几何分布的计算结果逐渐逼近二项分布的结果。教师借助软件，动态呈现“两兄弟”的逼近过程。因此，总体数量是多是少，也是判断“两兄弟”的依据。问题3：你能解释课前老师指出的，不论选择哪一种模型，计算的期望值都相等的理由吗？师生活动：借助两种分布的期望计算公式说明，变量,是产品的次品率，也是二项分布中，每次任取一件产品为次品的概率。与此同时，师生共同总结超几何分布与二项分布既有区别,又有联系。当总体的数量非常大,抽取样本数量很少时,可以近似地认为每次抽取时事件发生的概率不变,这样就可以看成每次抽取结果是相互独立的,进而将超几何分布近似地看作二项分布来处理，超几何分布的极限是二项分布。所以，每次试验中某一事件发生的概率相同还是不同，是判断“两兄弟”的又一依据。设计意图：依据抽取方式是有放回还是不放回，可以判断变量服从二项分布还是超几何分布，但此判断并不是绝对的。当总体的数量非常大，抽取样本数量很少时，可以近似地认为每次抽取时事件发生的概率不变，这样就可以看成每次抽取结果是相互独立的,进而将超几何分布近似地看作二项分布来处理。完善判断依据，若是有放回抽样，则是二项分布。若是不放回抽样，则需要考虑总体数再确定。此例借助于信息技术进行计算，可快速准确地得出计算结果，节省大量的时间。学生无需花费过多时间进行繁琐的手算，能够将更多精力放在理解分布的特点和应用上。也可拓宽学生的知识面和思维视野，培养学生借助于信息技术解决问题的探索精神。此例，也强有力的解释了二项分布和超几何分布二者之间的联系，超几何分布的极限是二项分布。问题4：例2:月日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了名高一学生进行在线调查，得到了这名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）为进一步了解这名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；（2）以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取名学生，记日平均阅读时间在的学生人数为，求的分布列及数学期望.师生活动：学生独立思考，并在学案上进行完整过程的书写。随机选择一个小组进行展示（组员合理分配任务，将过程写于黑板上，并进行讲解与补充分享）。设计意图：本题以“世界读书日”为情境，关注学生的阅读时间。学生以五人小组进行该题目的展示。要求组员分工协作、相互配合、合理分配任务，共同确定展示的内容和方式，培养学生团队合作能力和协调能力。也锻炼学生的表达能力，准确、流畅的表达数学概念和解题过程。以此题为例，进一步完善学生判断二项分布和超几何分布的体系。在试验活动中,要明确是在总体中抽取,还是在样本中抽取．若在总体中抽取,甚至在某些情况下总体数量是不确定的，此时应按二项分布的类型来处理。若在样本中抽取，无放回，则按超几何分布来处理。训练学生对基础题型的过程书写。3.总结归纳问题5：通过上述情境的分析，离散分布“两兄弟”二项分布和超几何分布的区别和联系是什么？师生活动：学生自由发言，教师进行补充说明。师生共同总结得出二项分布与超几何分布的区别与联系。区别：1.随机试验的条件不同.超几何分布在试验过程中必须给定总体数,且是有限的；而二项分布进行的试验无需知道总体数；2.随机试验的类型与特点不同.超几何分布进行的随机试验是在含M(M≤N)件次品的N件产品中任取n(n≤N)件产品，他包含了n次试验，是满足古典概型的随机试验，每次试验都会相互影响，不是独立重复试验；二项分布进行的试验是在同一条件下进行的独立重复试验，每次试验的结果只有两种；3.随机试验的模型不同.超几何分布进行的试验是不放回抽样模型；而二项分布每次试验的条件不变，可以理解为有放回抽样模型.联系：当总体数无限或者很大时，此时超几何分布就等价于二项分布，也即超几何分布的极限为二项分布.设计意图：借助于问题情境的具体分析，通过师生协力合作，明确“两兄弟”的区别与联系。让学生在具体问题中能准确快速的识别随机变量所服从的分布类型，并能运用相应分布的公式进行概率和期望的计算，以及运用概率分布知识解决实际问题。引导语：明确了二项分布与超几何分布的区别与联系，后续我们面对具体问题时，需要做到四看，一看：总体数是否给出。未给出或给出总体数较大时，一般考查二项分布；二看：看抽样方法。若是有放回抽样，则是二项分布。若是不放回抽样，则需要考虑总体数再确定；三看：看一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生的概率是否不变，若事件独立且概率不变，一定考查二项分布，这也是判断二项分布最根本的依据；四看：抽取的范围。若在总体中抽取，甚至在某些情况下总体数量是不确定的，此时应按二项分布的类型处理。若在样本中抽取，且无放回，则按超几何分布来处理。希望“四看”能助力大家快速识别二项分布和超几何分布，横扫此类问题。设计意图：再次系统梳理例题，为学生后续解决此类问题提供具体思路。4.课堂教学目标检测问题6：（2023上海高考题改编）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观棕色内饰128米色内饰23该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，求出X的数学期望．小张和他的好朋友共5人，依次抽奖（假设抽奖顺序确定），求第三次抽中三等奖的概率.师生活动：学生自主思考，有思路后可与组员交流讨论。完成思路的梳理及整合后，学生进行自我风采展示。设计意图：通过高考真题及其改编，让学生强化模型意识。遇到古典概率模型，可以抽象出对应的超几何分布模型，即便不是熟悉的超几何分布模型，也有思想在其中；想到可以把复杂事件分为互斥事件的并事件，也应从中抽象出对应的二项分布。问题7（巴拿赫火柴问题）波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴，分别放在左右两个衣袋里，每盒有n根火柴。每次使用时，便随机地从左右衣袋中掏出一盒并取出一根（从左右衣袋掏火柴盒的概率均为），而且每次掏火柴的习惯是相互独立的。试求他首次发现一盒火柴用完，而另一盒中恰好剩余r根火柴地概率.变式1：将两盒火柴各有n根，变为“两盒火柴编号为1，2，分别有m,n根火柴”.变式2：左衣袋有一盒火柴共m根，右衣袋有一盒火柴共n根，每次从左衣袋掏火柴盒的概率为，从右衣袋掏火柴盒的概率为。师生活动：讨论并尝试找寻巴拿赫火柴问题的突破口。教师可做指导，首次发现一盒火柴用完，而另一盒中恰好剩余r根火柴，共有两种情况，可以是甲盒空了，也可以是乙盒空了。以甲盒空为例，第次取甲时，发现甲盒空了，此时，一共取了次。也就意味着，前次，甲盒取了次，乙盒取了次，第次又取了甲。火柴问题的变式1和变式2六个学生课后完成。设计意图：回应课前引入提及的巴拿赫火柴问题，在教学中渗入数学文化。新高考强调将二项分布和超几何分布至于复杂的实际应用情境中，考查学生对知识的理解和应用能力。注重与其他数学知识（如排列组合、函数等）的综合考查，要求学生能够灵活运用多种知识解决问题。上述两个问题用到超几何和二项分布的相关知识，但都需通过对问题的具体分析、深度挖掘才能找到突破口。对学生的思维能力和解决问题的能力提出较高要求。也希望通过对概率问题的分析，能培养学生遇到问难，不畏艰难，勇于尝试的信心与决心。5.总结提升引导语：通过本节课的学习，你收获了什么？设计意图：通过提问的形式，帮助学生梳理本节课学习的主要内容和主要思想方法。有助于学生明确二项分布与超几何分布的区别、联系，以及面对相关问题的判断依据。也有助于学生把握数学思想方法，提升他们的数学素养。6.作业布置必修作业：《二项分布与超几何分布》课时作业选修作业：巴拿赫火柴问题变式1、变式2附：《二项分布与超几何分布》课时作业1．北京冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点．冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福．小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”，随机选了3个寄给他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为()A．1B．2C．3D．1.52．高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块(如图所示)，并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块．如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是()A．532B．516C．3163．某校召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬