复数的加减运算及其几何意义-高中-数学-教学设计

§7.2.1复数的加减运算及其几何意义王小军西安铁一中滨河高级中学一、内容和内容解析内容：复数的加减运算及其几何意义．内容解析：本节课选自《必修第二册》（人教A版）第七章第2节第一课时的内容．复数四则运算是本章的重点，通过多项式加法类比复数代数形式的加法且复数加法运算法则是一种规定，复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得出的.渗透了转化及类比的数学思想方法。通过实例，明确复数的加减运算法则，发展数学运算能力.经历复数加减运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.二、目标和目标解析目标：（1）掌握复数加减法的运算法则，体会规定复数加法法则的合理性.（2）理解复数加、减法几何意义的形成过程，培养直观想象的核心素养.（2）经历应用法则解决复数加、减运算问题的过程，提升数学运算的核心素养.通过对几何意义的应用，提升数形结合的数学思想在数学中的地位。目标解析：（1）复数的加法法则是直接规定的，教学中可以引导学生结合引入复数集的过程，即在将实数集扩充到复数集时，希望数集扩充后，在复数集中规定的加法、乘法运算，与实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且运算律也满足．（2）引入加法法则后，应引导学生多与多项式的加法进行类比，发现两者的共性.教学时可以引导学生把复数a+bi中的实部和虚部a,b看作常数，i看作“变元”，从而将复数a+bi看成是“一次二项式”，进而可以得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项”.基于上述分析，本节课的教学重点定为：熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则，及正确应用几何意义解决相关问题，从而体会复数和数学其他章节知识之间的联系。三、教学策略分析在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视加减法法则及几何意义的应用和交换律、结合律的证明，让学生体会到知识应用的重要性．四、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图复习回顾，温故知新[问题1]请同学们化简两个多项式相加：[问题2]类比多项式加法，复数的加法如何定义？设置问题探究环节：探究提示：教师：提出问题1．学生1：学生思考,完成.教师：提出问题2．学生2：学生思考,教师给出定义：我们规定，复数的加法法则如下:设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．问题探究环节：学生完成教师点评1、请小组各位同学分别研究当a和b分别为何值时的值为①实数0②实数③纯虚数④虚数2、完成后请各位同学起立，把自己的结论和同组同学进行讨论，每组形成统一结论后击掌坐下教师：小结一下：通过复习，为引入本节新课做好铺垫。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过思考，类比向量的运算引入复数的加法运算，提高学生分析问题、概括能力。探索交流，解决问题[问题3]类比多项式的加法，复数的加法是否也满足交换律和结合律呢？请同学们结合以往所学知识给出证明：做好的同学请举手示意[问题4]我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应.而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？[问题5]类比复数加法如何规定复数的减法?[问题6]类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗?教师：提出问题3．学生3：对任意z1，z2，z3∈C，有①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．即复数加法的交换律和结合律教师对做的好的同学证明过程进行展示，教师：提出问题4．学生4：复数加的几何意义如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是eq\o(OZ,\s\up6(→))，教师点评：说明向量的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.教师：提出问题5．设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的差：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i即两个复数的差实质上就是将两个复数的实部与实部相减，虚部与虚部相减，其结果仍然是一个复数.如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1－z2对应的向量是，教师点评：说明向量的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.典例分析，举一反三1.复数的加减运算例1已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.(1)求eq\o(AO,\s\up6(→))表示的复数；(2)求eq\o(CA,\s\up6(→))表示的复数．例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)之间的距离.[课堂练习]：教师：完成例题1．【答案】（1）－3－2i；（2）5－2i；（3）1＋6i．教师完整书写过程例2：两个复数差的模|z1-z2|的几何义：|z1-z2|表示复平面上两点Z1，Z2的距离计算：通过例题进一步巩固复数的加减运算，提高学生的概括问题的能力、解决问题的能力。[课堂练习1]巩固复数加减法的几何意义．[课堂练习2,3]能用复数的几何意义解决综合问题.课堂小结升华认知1.由多项式加减法运算类比得出复数的加减法运算，由向量加减法运算的几何意义类比得出复数加减法运算的几何意义,体现了数学学习中的类比推理能力和数学运算的核心素养；2.掌握复数加减法运算法则,会求复数对应的两点之间的距离、并能够利用“数形结合”的思想解题；3.在数学学习中积极思考，主动探索，自动自发的投入到学习中，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解.练习2练习2练习3：在复平面中、点所对应的复数分别且，