平面向量数量积的物理背景及含义

§2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义一、整体设计思路本节课从总体上讲是一节概念教学课，依据新课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课知识的特点，充分利用课件辅助教学，改变相关内容的呈现方式，增加课堂容量。并设计合理板书，加深对主要知识的印象，使学生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。并采用启发类比和探究-建构教学相结合的教学模式。1．情境设置生活化本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生初步了解“数学来源于生活”，采用运用学生熟悉的物理课中功的概念背景，创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲。2．问题探究活动化教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦。通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。3．辨析质疑结构化在理解概念的基础上,及时类比辨析探索、归纳总结，强化了概念理解，促进学生主动建构，有助于学生形成新的知识系统，优化知识结构。二、教学背景分析平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。三、教学目标分析(一)知识与技能1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的运算和判断；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括的能力。(二)过程与方法通过对平面向量数量积性质的探究,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,使学生的思维能力得到训练.继续培养学生的探究能力和创新的精神。情感态度与价值观通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐.体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态度。三、

教学重点、

难点重点：平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质。难点：平面向量数量积的概念。四、

教学基本流程复习引入复习引入合作探究例题讲解课堂练习课堂小结布置作业五、教学准备1、实验教具：多媒体，彩色粉笔。2、教学支持资源：制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。六、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入以物理学中的做功为背景引入思考1：如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？力做的功：W=|F||s|cos，是F与s的夹角思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，能否把“功”看成两个向量的一种运算的结果？从中你得到那些启示？小结：向量的数量积的定义及夹角的特征。教师提出问题，学生思考。教师引导学生理解数量积的定义。回答后归纳夹角特征：两个向量同起点，若不同起点平移至同起点。使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。使学生在形式上认识数量积的定义。合作探究结合物理学中功大小的定义和前面我们说的把功看成是和两个向量的运算结果，两者是等价的.如果把和这两个向量推广到一般的向量，就引出数量积的定义．1、数量积的定义：已知两个非零向量和，把数量叫做与数量积（或内积），记作，用数学符号表示即,（.规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即2、对定义的理解：(1)向量是非零向量；(2)两个向量的运算符号是用“”表示的，且不能省略；(3)是一个数量；(4)两个向量的夹角在，根据余弦函数的知识我们可以知道:当时，，；当时，，.当;；。3、投影的定义是由的引出来的，而是所做的功，是在方向上的分力，那么在数量积中叫做什么呢？这是我们今天要学的第二个新概念“投影”：cosθ（cosθ）叫做向量在方向上(在方向上）的投影.根据投影的定义，引导学生说出数量积的结构，也就是数量积的几何意义：数量积在方向上的投影的乘积小结：向量的几何意义及投影的概念。探究数量积的性质（分组探究）（我们讨论了数量积的正负，那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角:;;.我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向量的数量积及模长,怎样得出它们的夹角呢?根据定义．，由此我们就可以得出的值.当时,。总结.特别地请判断．解：因为，所以．这些就是数量积的性质。在课堂上以上性质以探究形式出现，让同学们积极思考，踊跃回答并总结其各自的应用。）小结：向量特殊位置关系（垂直、共线）下的数量积的特征。教师提出问题，学生思考。教师可在学生回答的基础上进一步归纳夹角对投影的正负情况的影响，加深学生对投影的认识。这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性。让学生体会数学的概括性、严谨性及可操作性。例题讲解诱思探究：我们知道：对任意,恒有对于任意向量，是否也有下面类似的结论？小试牛刀：例1已知，的夹角=120度，求．解：根据数量积的定义:==5=-10.例2：已知例3：教师可将例题内容与代数运算进行比较。教师重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。例1是对数量积定义的考察；例2是数量积的性质和运算律的综合应用，完成计算后，进一步提出问题：此运算过程类似于哪种运算？目的是培养学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例3的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一。课堂练习例2已知︱a︱＝6，︱b︱＝4，向量a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).并思考此运算过程类似于哪种运算？例3已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？并思考：通过本题你有什么收获？教师可将例题内容与代数运算进行比较。教师重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。例2是数量积的性质和运算律的综合应用，完成计算后，进一步提出问题：此运算过程类似于哪种运算？目的是培养学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例3的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用