江西省南昌市2026届高三年级下学期四月检测（二模）数学试题（含答案）

2026届高三年级四月检测

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求的.

1.已知复数z满足zi=1+2i,则z的共轭复数为

A.2+iB.2-iC.1-iD.1+i

2.已知函数f(x)=cos(2x+φ)是奇函数，则φ的一个可能取值为

A.0B.C.D.π

3.已知集合B={x|0≤x≤π},则A∩B=

A.B.

C.D.

pq

4.已知p:log₂(x+1)≤2,,则是的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知函在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是

A.[-∞,2]B.(2,+0∞)C.[-∞,4]D.[4,+∞]

6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin²A=sin²B+sin²C+sinBsinC,

bc=8,则△ABC的面积为

A.2B.2√2C.2√3D.4

7.若圆锥的侧面展开图是一个半径为3,圆心角的扇形，则过圆锥顶点的截面中，

截面面积的最大值为

A.3√3B.3√2C.2√5D.

8.某校高三年级准备在接下来的14周内，安排三次心理健康讲座，分别记为第a周、第a₂

周、第a周。为了让学生有足够的时间消化内容，学校要求：①第一次与第二次讲座之间

至少间隔2周(a₂-a₁≥3);②第二次与第三次讲座之间也至少间隔2周(a₃-a₂≥3);

③在第一次讲座之前至少预留1周准备时间，最后一次讲座之后至少预留1周总结时间，

则符合要求的不同安排方案有

A.120种B.84种C.70种D.56种

一高三数学第1页(共4页)一

二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知一组数据：x,x₂,x₃,…,x的平均数为x,方差为s²,中位数为a,极差为b₁,设

,数据：y,J₂,₃,…,y。的平均数为y,方差为s₂²,中位数为a₂,

极差为b₂,则下列判断一定正确的是

A.y=xB.a₂=aC.D.

10.已知抛物线E:x²=2py的焦点为F,过点F作斜率为k(k>0)直线1与抛物线交于A,B

两点(A在第一象限),与准线相交于点C,过点A作抛物线的切线与准线相交于M,当

|BC|=2|BF|,|AF|=4,下列说法中正确的是

A.B.p=2C.|BF|=2D.MF⊥AB

11.已知a>e时，关于x的不等式(eˣ-ax)(x²-bx+c)≥0恒成立，则下列判断正确的是

A.b>0,c>0B.b²>4c

C.e=acD的最大值为

三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆0:x²+y²=4,过点(2,0)作斜率为k(k>0)的直线1与圆O交于A,B两点，若

△AOB的面积为2,则k=.·

13.已知等差数列{an}的前n项为Sn,且S₅-a₃=16,S7-a₄=30,则an=.·

14.已知向量a=(7,9,11),b=(1,1,1),c=(2,3,4),m,n∈R,当向量a-(mb+n)的模长

取得最小值时，m+n=_

四、解答题：共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.

15.(本题13分)

已知函

(1)当a=-1时，求f(x)在x∈[0,3]上的最大值；

(2)讨论f(x)在R上的单调递增区间.

一高三数学第2页(共4页)一

16.(本题15分)

如图，在多面体ADQ-PBC中，若四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADQ,△PBC

都是边长为2的等边三角形，且QB=QC=PA=PD=√2,E,F分别为AD,BC的中点。

(1)求证：平面QEF⊥平面ABCD;

(2)求二面角B-AP-D的余弦值.

17.(本题15分)

在一个人工智能训练系统中，初始数据集包含2个正样本和3个负样本，现对这个数据

集进行多次操作，每次操作，系统从这个数据集中随机抽取一个样本，若抽到正样本，则将

其放回数据集(样本不变);若抽到负样本，则以的概率通过数据增强将其转化为正样本

后放回数据集，以的概率将其放回数据集(仍为负样本).

(1)求经过1次操作后，数据集中正样本个数的可能取值及其概率，并计算期望值；

(2)求经过2次操作后，数据集中正样本个数的期望值.

18.(本题17分)

已知双曲线()的离心率e=3,其上顶点为A(0,1),过点

P(0,-4)作斜率为k的直线1与双曲线的两支分别相交于M,N两点(N在双曲线C的上支)

且与x轴相交于D点，直线AM与x轴相交于E点.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设直线AM,AN的斜率分别k,k,求证：k₁·k₂为定值；

(3)是否存在直线I使得△MDE△MAN,若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

一高三数学第3页(共4页)一

19.(本题17分)

已知一系列椭圆(a>1)的右焦点为F,(c,0),上顶点为B,cn+I>C,

△F,BF+是等腰三角形(n=1,2,3,4,…),a=√2.

(1)求椭圆M₂的方程；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)若数列{an}的前n项和为S。,若对任意的n∈N+,都有,求m-k

的最小值.

一高三数学笔A而(共4而)

2026届高三第二次模拟考试数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求的.

题号12345678

答案ACBBDCDD

二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案ACABDABD

三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分.

12.1;13.n+1;14.5.

四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.

15.【解析】(1)当a=-1,x∈[0,3],

所以,x∈[0,3],

令f'(x)=0可得x=2,…………………3分

当0≤x<2时，f'(x)>0,f(x)单调递增；

当2<x≤3时，f'(x)<0,f(x)单调递减，

所以当x∈[0,3]时，……6分

(2)

当a<2时，令f'(x)>0,则a<x<2,即f(x)的单调递增区间为(a,2);

当a>2时，令f'(x)>0,则2<x<a,即f(x)的单调递增区间为(2,a);

当a=2时，此时f(x)在R单调递减，无减区间.

………………13分

16.【解析】(1)在四棱锥Q-ABCD中，如图，

因为△ADQ是边长为2的等边三角形，

所以QA=QD=2,因为E为AD的中点，

则QE⊥AD,……2分

因为E,F分别为AD,BC的中点，四边形ABCD是边长为2的正方形，

所以AD⊥EF,又因为QE∩EF=E,所以AD⊥平面QEF,5分

因为ADc平面ABCD,平面QEF⊥平面ABCD;7分

(2)如图，连接PE,QE,同理可以证明平面PEF⊥平面ABCD,

过点P作EF的垂线，垂足为0,所以PO⊥平面ABCD,

由条件可求PF=√3,PE=1,EF=2,所以PE⊥PF,所以

取AP的中点M,连接BM,因为BA=BP,所以BM⊥AP,

又因为PD=PA=√2,AD=2,所以DP⊥AP,

所以MB与PD所成的角就是二面角B-AP-D的平面角，

以E为坐标原点，以EA,EF分别为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

………………15分

17.【解析】(1)设第一次操作后，数据集中正样本个数为X₁,可能取值为2,3.

所以………………7分

(2)设第二次操作后，数据集中正样本个数为X₂,可能取值为2,3,4.

所以………………15分

18.【解析】(1)因为e=3,所即b²=8a²,

因为上顶点为A(0,1),所以a=1,则b²=8,

所以双曲线的标准方程为………………4分

(2)设直线AM的方程为y=k₁x+1,直线AN的方程为y=k₂x+1.

联立直线AM与椭圆C方程,得(8k²-1)x²+16kx=0,

解得.,所以所以…………6分

设直线1方程为y=kx-4,微信搜《高三标答公众号》获取全科

因为M∈l,则

整理得24k²+16kk₁-5=0,同理可得24k²+16kk₂-5=0,

所以k₁,k₂是方程24m²+16km-5=0的两根，

所以…………………10分

(3)假设存在1使得△MDE~△MAN,所以∠MDE=∠MAN,

设直线AM,AN的倾斜角分别α,β,再设直线l的倾斜角为θ,

则tan(a-β)=tan(π-θ),所以……13分

又因为k₁,k₂是方程24m²+16km-5=0的两根，

所以