2025-2026学年广东佛山市实验中学第二册段考（一）高二数学试题 含答案

/佛山市实验中学2025-2026学年第二学期段考（一）高二数学试题满分150分．考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.x1≤x<3 C. D.【答案】C【解析】【详解】由解得，又，所以，因为，所以.2.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】，，3.如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，所以4.已知甲、乙、丙、丁、戊五位司机中，甲、乙既能开大客车也能开小客车，丙、丁、戊只能开小客车．现从这五位司机中选两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，则不同的安排方案有（）A.20种 B.6种 C.8种 D.5种【答案】C【解析】【详解】第一步，为大客车选司机．从甲、乙两位司机中选1人，有2种选法．第二步，为小客车选司机．从剩下的四位司机中选1人，有4种选法．由分步乘法计数原理，得不同的安排方案有种，5.设函数，若，则（）A.或 B.或0 C. D.0【答案】B【解析】【详解】函数的导数为：，由条件得：，解得：，即或.6.已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（）A.28 B.29 C.30 D.31【答案】B【解析】【分析】由可知，结合等差数列的通项公式及前n项和公式确定，即可得.【详解】因为，所以，令数列公差为，所以，所以是单调递减数列，且，则，所以，则取得最大值时对应，即，因为，，且，在开口向下的抛物线上，所以成立的最大，即，故.7.如图，正方体的棱长为4，P为正方形的中心，Q为棱的中点，则过点A、P、Q的截面周长为（）A. B. C. D.74【答案】C【解析】【详解】如图所示，，且点靠近点，，且点靠近点，过点作NT⊥DD1，过点作则NQ2=在正方体中，平面∥平面，又因为平面，所以∥平面，由线面平行的性质定理可得：∥，则平面为平行四边形，且平面过、、三点，所以过点A、P、Q的截面为平面，因为正方体棱长为4，所以，，则截面四边形的周长为：.8.设偶函数的导函数为，；当时，，则使得成立的x的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题设不等式的形式特征构造函数，利用导数的性质，结合函数的奇偶性和单调性进行求解即可.【详解】令，则，当时，，故，所以在上为减函数，因是偶函数，则，故，则函数为定义域上的奇函数，故在上为减函数.又∵g1=f∴不等式fx则得，或，，∴或，所以成立的x的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若向量，，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则向量在向量上的投影向量的模为【答案】AD【解析】【详解】A选项，若，则b=3,34，aB选项，若，则存在唯一实数，使，则−λ=34λ=xC选项，若，则−12+42D选项，若，则，向量在向量上的投影向量的模长为a⋅ba=−3+2017=10.数列满足，则下列结论中正确的有（）A. B.是等比数列C. D.【答案】ACD【解析】【分析】A选项，令即可求得；B、C选项，根据即可求得；D选项，先求出时的通项公式，再代入已知条件即可验证.【详解】由，当时，，解得，故A正确；当时，可得，所以，所以，即，而，故C正确，B不正确；因为且，所以对有，代入得，故D正确．故选：ACD.11.已知函数，则（）A.总有两个极值点B.当时，C.是中心对称图形，其对称中心为D.当时，有且仅有一个零点，且【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A：先求的导数，再分析的实根个数，进而得到函数极值点个数；对于选项B：因为比较和的大小，可先判断函数在区间上的单调性，所以先求导数，分析当时在该区间的符号，进而确定单调性，再根据单调性比较函数值大小；对于选项C：可利用关于对称的函数的性质，代入假设的对称中心坐标，验证是否对任意都成立即可；对于选项D：因为判断函数零点个数，可先分析函数的单调性和极值情况，所以先求导数，确定当时的极值点，计算极值，结合函数在时的趋势，判断零点即可.【详解】A选项，求导：，因为，所以为二次函数，且，故导函数有两个变号的零点，所以总有两个极值点，故A正确；B选项，，由得：a−1∈−2,−1，，所以f'所以区间完全落在负半轴，且位于的右侧，对于区间内的任意x∈，又因为，所以，故，又因为，所以f'故在区间上单调递增，因为，所以，因此原选项中的不等式不成立，故B错误；C选项，=，，故f (故是中心对称图形，且其对称中心为，故C正确；选项D，当时，，两个极值点为和，的单调性为：当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，计算两个极值点的函数值：，f2a=1−4所以，，当时，的最小值大于0，因此无零点；当时，单调递增，，当时fx=由零点存在定理，在有且仅有一个零点，即唯一零点，故D正确.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在处的切线斜率为______．【答案】【解析】【详解】∵，∴,由导数的几何意义可知，曲线在处的切线斜率为：13.若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据函数的区间单调性，将问题化为在上恒成立，即可求参数的取值范围.【详解】由fx=x当在区间上单调递增时，即在上恒成立，即在上恒成立，因为函数在上单调递增，则，故.14.已知各项均为整数的数列满足：对任意的，都有.若，，则正整数的最大值为______.【答案】64【解析】【分析】依题意，可得，计算即可.【详解】因为，则，因为，且，所以，当时，；当时，.所以正整数m的最大值为64.故答案为：64四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.给定函数．（1）判断函数的单调性，并求出的极值；（2）画出函数的大致图象；（3）求出方程解的个数．【答案】（1）函数的单调递增区间为；单调递减区间为；函数的极小值为，无极大值.（2）答案见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解.（2）由函数的单调性、极值即可作出图象.（3）利用数形结合法即可求解.【小问1详解】由，定义域为，可得，令，得，解得；令，得，解得；令，得，解得，所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，所以为极小值点，所以函数的极小值为f1=1【小问2详解】函数的大致图象如图所示：【小问3详解】方程解的个数等价于与的交点个数.由（2）可知当时，方程的解为个；当时，方程的解为1个；当时，方程的解为2个.16.在数列中，，，，且是等差数列．（1）设，求，的值和数列的通项公式；（2）证明：．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用是等差数列，通过等差中项求出首项和公差，进而可利用累加法求得通项公式；（2）将通项裂项为相邻两项之差，通过裂项相消法求和，进而证明不等式成立.【小问1详解】因为，则，，因为是等差数列，即是等差数列，则有，即220−a2=a则的公差为2，首项为6，则，即，则a=6+n【小问2详解】由（1）知，1a则1a因为，则，所以.17.如图所示，已知四棱锥的底面ABCD是梯形，侧棱底面，，，，．（1）证明：平面；（2）当平面时，求的值；（3）根据（2）的结论，求直线PB与平面MBD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质，结合直角梯形，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）结合已知条件利用线面平行的性质定理求出，然后根据相似三角形求解即可；（3）根据题意建立空间直角坐标系，写出相应的点，从而得出相应向量的坐标，求出平面的法向量，最后利用向量法求解即可.【小问1详解】因为，，所以，又底面，底面，所以，因为是平面内的相交直线，所以平面.【小问2详解】连接与交于点，连接，因为，所以，又，所以，又，所以CDAB=EC所以，因为平面，平面，平面平面，所以，所以PMPC=AEAC=1【小问3详解】因为底面，底面，所以，又，所以两两互相垂直，故以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由，则D0,0,0设MxM,又，所以xM,即xM=0y所以DB=设平面的一个法向量，则m·令，则，，故m=3,−3,1，设直线与平面所成的角为，所以sin=1×3+1×所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，.（1）求数列和的通项公式；（2），求数列的前项和；（3）将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根据等差数列前项和公式可构造方程组求得，由等差数列通项公式可得；根据已知等式可得，由前项和与通项之间关系可得，由此可得；（2）求得后，采用错位相减法可求得结果；（3）通过分析可确定前项中，包含数列的前项和数列的前项，结合并项求和法和等比数列求和公式可求得结果.【小问1详解】设等差数列的公差为，由得：，；，，当且时，，，则；当时，，满足；综上所述：.【小问2详解】由（1）得：，，，，.【小问3详解】当为奇数时，；当为偶数时，；，均为递增数列，，，，的前项中，包含数列的前项和数列的前项，的前项和为.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，存在不相等的、，满足，证明：；（3）对任意的，恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）对进行求导，然后分和两种情况确定的单调性.（2）当时，由（1）可知在上单调递增，转化为证明，然后利用极值点偏移证明.（3）将问题转化为来求解.【小问1详解】的定义域为，.（i）当时，，此时在上单调递增