2025-2026学年广东汕头市潮阳一中明光学校高三下册第一阶段考试数学试题 含答案

/2025-2026学年高三下学期第一阶段考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算和共轭复数定义计算即可【详解】由题知，复数．故选:B．2.已知集合，集合.若集合，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的包含关系求解即可.【详解】集合，集合，若集合，则.故选：A.3.已知向量，若，则（）A.100 B. C. D.1000【答案】D【解析】【分析】由，根据共线向量的坐标表示列出方程，求得，即可求解.【详解】由向量，因为，可得，即，可得.故选：D4.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义进行计算即可.【详解】设点,则，则，故选：B.5.已知、是方程的两个实根，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用根与系数的关系得到，，并得出，由此可求出的值.【详解】由已知，得，即，又，所以.故选B.【点睛】本题考查对数的运算，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时要熟悉代数式之间的关系，考查计算能力，属于中等题.6.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，若，且，则的离心率为（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】设，可得，，，在中根据余弦定理建立关于的方程，求解可得，可以判断为等边三角形，再结合余弦定理求解离心率.【详解】如图，因为，故设，则，，．在中，，由余弦定理得，化简得，即，可得，所以为等边三角形，所以，在中，由余弦定理得，所以离心率为．7.下列函数中，既是奇函数又在上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.【详解】对于A：函数为奇函数，且在定义域上单调递增，故A正确；对于B：函数为奇函数，但是在上为减函数，故B错误；对于C：函数定义域为，为非奇非偶函数，故C错误；对于D：函数定义域为，且，故为偶函数，故D错误；故选：A8.已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析两直线的性质，确定两直线的垂直关系，从而得出点的轨迹为圆，再结合圆确定两圆的位置关系，进而利用两点间距离公式结合两圆半径得出的最大值．【详解】直线可变形为，直线过定点，同理，则直线过定点，时，直线，，此时；当时，，直线，直线与直线的交点的轨迹是以AB的中点为圆心，半径为的圆，又圆的圆心，半径，两圆位置关系如下图所示，的最大值是．故选：D．二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（）A.若与关于平面对称，则B.若，则A，B，C，D共面C.若，则A，B，C，D共面D.若三点共线，则【答案】BD【解析】【分析】对于A：利用“关于谁对称谁不变”即可求出B点坐标即可判断，对于B：利用共面向量定理可得B正确；对于C：利用共面向量定理的推论即可验证；对于D：利用共线向量定理即可求得结果.【详解】对于A，A与B关于平面对称，则，故A错误；对于B，由共面向量定理易知得B正确；对于C，因，故C错误；对于D，，因为A，B，C共线，所以共线，所以，所以，故D正确．故选：BD．10.已知F是抛物线的焦点，不过原点的直线l与抛物线相交于A、B两点，则下列说法正确的是（）A.若直线l过点F，则的最小值为2B.若直线l过点F，点A在第一象限，，则直线AB的倾斜角为C.若，线段AB的中点为M，则M到y轴的距离最小值是2D.若直线l过点F，则原点在以线段为直径的圆内【答案】BCD【解析】【分析】设，联立方程组，求得，由，可判定A错误；根据抛物线的焦半径公式，求得，结合斜率和倾斜角的定义，可判定B正确；分析直线过抛物线的焦点和直线不过抛物线的焦点，两种情况讨论可求得M到y轴的距离，可判定C正确；根据抛物线的定义过点M作，得到以为直径的圆与准线相切，可判定D正确.【详解】由抛物线的焦点，准线方程为，设，对于A，根据抛物线的定义，可得，则，设，联立方程组，整理得，则，所以，所以，所以的最小值为，所以A错误；对于B，由抛物线的定义，可得，解得，则.因为点A在第一象限，可得，即，所以，设的倾斜角为，可得，所以，所以B正确；对于C，当直线过抛物线的焦点时，则，可得，因为M是线段的中点，所以，所以M到y轴的距离是2；当直线不过抛物线的焦点时，可得，所以，解得.因为M是线段的中点，所以，即M到y轴的距离大于2，综上可得，所以M到y轴的距离最小值是2，所以C正确；对于D，由直线过抛物线的焦点，过分别作，垂足分别为，根据抛物线的定义，可得，且过点的中点作，垂足为，可得，所以以为直径的圆与准线相切.（几何直观）由图可知，为钝角，所以，所以原点在以为直径的圆的圆内.（代数证明）设，由A可知，，，，，，所以，故原点在以为直径的圆内，所以D正确.11.已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（）A.的取值范围是B.若为边的中点，且，则的面积的最大值为C.若是锐角三角形，则的取值范围是D.若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10【答案】ABC【解析】【分析】借助面积公式与余弦定理由题意可得，对A：借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得；对B：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对C：借助正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可得解；对D：借助等面积法及基本不等式计算即可得.【详解】由题意知，整理得，由余弦定理知，，，．对A，，，，，的取值范围为，故A正确；对B，为边的中点，，则，，当且仅当时，等号成立，，故B正确；对于C，，是锐角三角形，，，，故C正确；对于D，由题意得，即，整理得，即，，当且仅当时，等号成立，故D错误．故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查三角形中的最值与范围问题，主要思考方向有两个，一个是借助余弦定理得到边之间的关系，从而通过基本不等式求解，一个是借助正弦定理将边化为角，通过三角形中角的关系将多个变量角化为单变量，借助函数性质得到范围或最值.三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线在点处的切线方程为______.【答案】【解析】【分析】先求出导函数，进而得出切线斜率，再代入求参数，最后应用点斜式得出切线方程.【详解】因为，所以，所以，又当时，，所以在点处的切线方程为，即得.13.“五一”期间人民群众出游热情高涨，某地为保障景区的安全有序，将增派6名警力去两个景区执勤.要求景区至少增派3名警力，景区至少增派2名警力，则不同的分配方法的种数为______.【答案】35【解析】【分析】根据分类加法原理结合组合数求解即可.【详解】由题意可知分两种情况：①景区增派3名警力，景区增派3名警力，则有种方法，②景区增派4名警力，景区增派2名警力，则有种方法，所以由分类加法原理可知共有种方法.故答案为：3514.已知数列的通项公式为，其中表示不超过的最大整数，例如，则__________.【答案】18214【解析】【分析】根据题中定义，结合对数函数的单调性、对数的运算性质、错位相减法进行求解即可.【详解】当时，，每组共有个，，故，设，则，相减得到，整理得到，故.故答案为：18214四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如表：月份x12345繁殖量y/千个1.523.5815（1）据上表数据，计算y与x的相关系数r（精确到0.01），并说明y与x的线性相关性的强弱；（若，则认为y与x线性相关性很强，否则认为y与x线性相关性较弱）（2）利用最小二乘法建立y关于x的线性回归方程，并估计10月份该生物繁殖量．参考数据：，，．参考公式：对于一组数据，其相关系数，其经验回归直线中，，．【答案】（1）0.92，y与x的线性相关性很强；（2），千个．【解析】【分析】（1）根据相关系数的公式，和题干所给参数，代入公式，求出相关系数，判断相关性强弱.（2）根据回归直线方程参数公式，代入数值，求出回归方程，代入数据计算即可.【小问1详解】由已知得，，，，，故，所以y与x的线性相关性很强；【小问2详解】因为，，，，所以，，所以y关于x的线性回归方程为，当时，，则10月份该生物繁殖量为千个．16.已知数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据之间的关系进行求解即可；（2）利用错位相减法、结合等比数列前项和公式进行求解即可.【小问1详解】由.当时，，显然也适合上式，所以.【小问2详解】由（1）可知，所以，于，，两式相减，得.17.如图所示，五面体中，，四边形为平行四边形，点在面内的投影恰为线段的中点，．（1）求五面体体积；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作垂足为，即可得到为等边三角形，过点作的平行线，过点作的平行线交于点，则为三棱柱，再根据柱体、锥体的体积公式计算可得；（2）由（1）知平面，在平面内过点作交于点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】因为点在面内的投影恰为线段的中点，作垂足为，则平面，因为，所以为等边三角形，所以，又，所以，过点作的平行线，过点作的平行线交于点，又四边形为平行四边形，所以为三棱柱，则，又三棱锥的体积是三棱柱的体积的，所以五面体的体积是三棱柱的体积的，所以五面体的体积.【小问2详解】由（1）知平面，在平面内过点作交于点，如图建立空间直角坐标系，则，，，，又，所以，所以，，又平面的法向量可以为，设平面的法向量为，则，取，设平面与平面夹角为，则.18.已知椭圆四点、、、中恰有三点在椭圆上.（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于，两点，若直线与直线斜率的和为0，求证：的斜率为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据给定条件，判断椭圆所过的三点，列出关于的方程求解即得.（2）按直线的斜率存在与不存在设出方程，再与椭圆的方程联立，借助韦达定理计算作答.【小问1详解】由对称性可知和在椭圆C上，所以因为，所以不在上，进而在上，所以，所以，即的方程为.【小问2详解】如果与轴垂直，设：，由题设知，且，可得的坐标分别为，则，所以，不符合题意．从而可设的方程为，联立，所以则，所以，所以，所以，所以，所以，因为直线不经过点，所以，所以，解得.19.设函数.（1）当时，求曲线在点处切线方程；（2）证明：存在，使得当时，.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线并化简即可；（2）利用导数求得的最小值，从而把所证式子转化为证：，，构造函数，结合零点存在性定理并多次求导利用导数研究函数的单调性即可求解最值，即可证明.【小问1详解】当时，，所以，则，则曲线在点处的切线方程为，因此.【小问2详解】因为，，由得到，由得到，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，要证：，即证：，只需证：，.设，则，设，则，当时，，所以在上单调递减，而，，故必存在唯一，使得，所以当