2025-2026学年海南省定安县定安中学等校高三下册第二次模拟考试数学试题 含答案

/海南定安县2025-2026学年第二学期高三联考数学试卷一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．设（i为虚数单位），则复数的虚部为（

）A． B．4 C． D．33．已知向量，，且，则（

）A．10 B．8 C． D．4．已知，则（

）A． B． C． D．15．从1至5的5个整数中随机取出2个不同的数，则这两个数都是偶数的概率是（

）A． B． C． D．6．已知点M是抛物线上的一点，点F是C的焦点，点为线段的中点，则（

）A．5 B．6 C．7 D．87．等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（

）A． B． C． D．8．已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．设函数，则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期为π B．的图象关于直线对称C．的一个零点为 D．的值域为10．已知数列满足，，则（

）A． B．数列为等比数列C．数列的前项和 D．数列的通项公式为11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为A，B，与y轴的交点为D，若，则下列说法正确的有（

）A． B．双曲线C的离心率为C．直线的斜率为 D．点D到双曲线C上的点的距离的最小值为三、填空题12．曲线在点处的切线方程为_____.13．已知函数为奇函数，当时，，则_____.14．如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个实心铁球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，若向该容器内注满水，则水的体积为_____.四、解答题15．如图，在中，，，，点D在边上，且．(1)求；(2)求的面积．16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，点M，N分别是棱，的中点.(1)证明：平面；(2)若，，平面平面，求直线与平面夹角的正弦值.17．已知函数.(1)若，求函数的极值；(2)若函数有两个零点，求的取值范围.18．已知点分别为椭圆：的左、右顶点，且，的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求弦长；(3)若直线：与椭圆C交于两点，设直线，的斜率分别为，且，求的值.19．小明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第n天晨跑的概率为.(1)求，，的值；(2)求数列的通项公式；(3)若X，Y都是离散型随机变量，则，记小明前n天晨跑的天数为X，求.参考答案及解析1．B解析：解一元二次方程，因式分解得，解得或，因此；已知，因此.2．C解析：由，则复数的虚部为.3．C解析：由得，所以，，则，所以.4．A解析：因为，所以，上下同除即可得，代入，可得.5．B解析：1至5的5个整数中，有两个偶数，从1至5的5个整数中随机取出2个不同的数，则这两个数都是偶数的概率.6．D解析：如图，由可得，准线为，又因点为线段的中点，则点的坐标为，而等于点到准线的距离，即.7．B解析：由题意得，，化简得，又，，即，故，，，故数列的前20项和为.8．D解析：由题意可知，不等式恒成立，即，，即，，，，，，，当且仅当，即时等号成立，当时，取得最小值为8，，即，解得.9．AC解析：对于A：函数，根据周期公式可得，故A正确；对于B：令，解得，当时，，当时，，所以直线不是函数的对称轴，故B错误；对于C：令，解得，当时，，所以是的一个零点，故C正确；对于D：对于函数，因为的值域为，所以的值域为，故D错误.10．ABC解析：，，取倒数得，即。选项A：，，正确；选项B：，是首项为、公比为的等比数列，正确；选项C：，，，正确；选项D：，，原式错误.11．ABD解析：由，且，得，由双曲线的定义得，，所以，，又，所以，则，即，所以，故A正确；在中，，在中，，所以，则离心率，故B正确；在中，，，则，则，所以直线的斜率为3，又因为，所以直线的斜率为，故C错误；由C选项得，直线的方程为，令，得，即设双曲线上点，则，即，因为，所以，则，所以，，，所以当时，有最小值，且为，所以，即点到上的点的距离的最小值为，故D正确.12．解析：因为，则，可得，即切线斜率为1，所以曲线在点处的切线方程为.13．解析：由函数为奇函数，得：，令，得：，，又因为当时，，得，因此.14．解析：作几何体的轴截面图如图，分别是大球和小球的球心，是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点.分别是球和球与圆台侧面的切点，分别是与圆台上下底面的切点．则，且，，．过点作交于，显然，可知四边形为矩形，且，在直角三角形中，，且为锐角，则，由可得，所以，在直角三角形中，，得，所以．在直角三角形中，．在直角三角形中，,．即圆台的上底面半径，下底面半径，高．可得圆台的体积，所以水的体积为．故答案为：.15．(1)(2)解析：（1）由余弦定理得，，又，所以．（2）因为，，所以，，在中，由正弦定理得，，即，所以．16．(1)证明见解析(2)解析：（1）取中点，连接.因为为中点，所以为的中位线，所以且.在正方形中，为中点，所以且，所以且，所以四边形是平行四边形.所以.又平面平面，所以平面.（2）由于平面平面，平面平面，平面平面.以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则有.设平面的法向量，，所以，不妨令，得，得；又，设直线与平面夹角为，则，所以直线与平面夹角的正弦值为.17．(1)的极大值为，的极小值为(2)解析：（1）当时，，则，令，，，或，单调递增，，，单调递减，当时，取得极大值，，当时，取得极小值，，因此的极大值为，的极小值为.（2）函数，令，即，因为，所以，即令，则函数有两个零点转化为直线与曲线有两个交点.又，因为恒成立，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，则在处取得极小值，也是最小值，.当，，，，当，，，，要使直线与曲线有两个交点，则，的取值范围为.18．(1)(2)(3)解析：（1）由题意可得，即，由离心率，所以.故椭圆方程为：.（2）由（1）左顶点，直线​倾斜角为，斜率，故直线方程为，联立椭圆方程消去得：，又，由韦达定理，得​，由弦长公式得：（3）如图，作出符合题意的图形，由题意可知直线：与椭圆交于,，设，，，，与椭圆联立方程，消去可得.则，，根据，可得，即，整理得：，即，可得：，因为，为常数，则不恒成立，则，解得.19．(1)，，(2)(3)解析：（1）已知第1天一定晨跑，故，第2天晨跑的概率由第1天晨跑决定，故，第3天晨跑的情况分两种：①第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率为，②第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率为，故.（2）由题意得，时，第天晨跑的事件可分为两种