2025-2026学年河北保定市蠡县中学高三下册四月综合测试数学试题 含答案

/2025-2026学年高三下学期四月综合测试数学试题一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由指数函数单调性可化简集合B，然后由集合交集可得答案；【详解】因为函数在R上单调递增，则.故，则.故选：A.2.复数的实部与虚部的和是（）A. B. C.0 D.2【答案】C【解析】【详解】因为复数的实部为1，虚部为，所以实部与虚部的和是.3.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得.【详解】因为，，所以，，则在上的投影向量为.故选：D.4.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】.5.已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，由双曲线的定义求得，，结合，利用列出方程求得，再由，求得的关系式，结合离心率的定义，即可求解.【详解】因为，设，则，又由双曲线的定义，得，，所以，，又因为，可得，即，解得，由，即，可得，双曲线C的离心率为.

故选：C.6.已知某圆台的上、下底面半径分别为1和3，高为3，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算即得.【详解】依题意，该圆台的体积为.故选：C7.数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根据已知条件得，令，通过裂项相消求得，然后代入即可求解.【详解】数列满足①，当时，，即，当时，②，由②①得，数列的所有奇数项，，数列的所有偶数项，，综上，数列的通项公式为.记，所以数列的前项和为：，由得，即，因为，随着的增大而增大，故当时，刚好满足，所以，的最小值为.故选：C.8.已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（）A.B.若，则C.若，则D.，使得【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性，由题意可知函数是偶函数且在上单调递增，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可判断BC，结合函数恒成立即可判断D.【详解】A：由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增，所以，故A正确；B：若，则，得，故B错误；C：若，则或，因为，所以或，故正确；D：因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确.故选：B二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.某校在开展“弘扬中华传统文化，深植文化自信之根”主题教育的系列活动中，举办了“诵读国学经典，传承中华文明”知识竞赛．赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年和高二年学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）A.高一年抽测成绩的众数为75B.高二年抽测成绩低于60分的比率为C.估计高一年学生成绩的平均分低于高二年学生成绩的平均分D.估计高一年学生成绩的中位数低于高二年学生成绩的中位数【答案】ACD【解析】【详解】根据频率分步直方图､样本的数字特征等基础知识判断即可．【试题解析】选项A：高一年学生成绩的众数为区间的中点横坐标，故A正确；选项B：高二年学生成绩得分在区间的学生人数频率为，所以低于60分的比率为，故B错误；选项C：高一年学生成绩的平均数约为分；高二年学生成绩的平均数约为分，因为，故C正确；选项D：高一年学生成绩的中位数位于，高二年学生成绩的中位数位于，故D正确；故选：ACD．10.已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（）A. B.为偶函数C.的图象关于直线对称 D.在区间上单调递增【答案】AC【解析】【分析】根据正弦型函数的图象和性质，结合图象求出解析式，进而判断选项A；求出的解析式，分析函数奇偶性，判断选项B；计算处的值，结合对称轴处正弦值的特点，判断选项C；求的单调递增区间，结合已知区间分析单调性，判断选项D．【详解】由图象可知，最高点到相邻零点的水平距离为，是，，，当时，，，，，选项A：，故A正确；选项B：，，是奇函数，故B错误；选项C：，是的对称轴，故C正确；选项D：的递增区间满足，解得，取，递增区间为，在区间上，在上单调递增，在上单调递减，在上先增后减，非单调，故D错误．故选：AC．11.已知，，是平面上一点，下列说法正确的是（）A.若，则轨迹是以为直径的圆B.若，则与坐标原点间距离恒为4C.若，则“轨迹是椭圆”的充要条件是“”D.若，则“轨迹是双曲线右支”的充要条件是“”【答案】ABC【解析】【分析】设，利用数量积的坐标运算化简得轨迹方程判断AB，根据椭圆的定义及充要条件的概念判断C，根据双曲线的定义及充要条件的概念判断D.【详解】对于A，设，因为，，，所以，即，表示圆心，半径为的圆，所以轨迹是以为直径的圆，正确；对于B，设，因为，，，所以，即，表示圆心，半径为的圆，所与坐标原点间距离恒为4，正确；对于C，若，又，则当时，，根据椭圆的定义知轨迹是椭圆，当时，，则轨迹是线段，当时，，则轨迹不存在，所以“轨迹是椭圆”的充要条件是“”，正确；对于D，，又，若轨迹是双曲线右支时，则，即由“轨迹是双曲线右支”得不到“”，充分性不成立，错误.故选：ABC三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.二项分布和正态分布是两类常见的分布模型，在实际运算中二项分布可以用正态分布近似运算.即：若随机变量，当充分大时，可以用服从正态分布的随机变量近似代替，其中的期望值和方差相同，一般情况下当时，就有很好的近似效果.该方法也称为棣莫佛——拉普拉斯极限定理.如果随机抛一枚硬币次，设正面向上的概率为，则“正面向上的次数大于50、小于60”的概率近似为______.(结果保留三位小数.参考数据：若，则，，【答案】【解析】【分析】先计算出二项分布的均值和方差，符合给定定义后求出正态分布的基本量，结合正态分布的对称性求解即可.【详解】由题意得随机抛一枚硬币次，设正面向上的概率为，同时设正面向上的次数为，则，所以，，此时符合，故有，且，，设所求概率为，因为，所以由正态分布对称性得.故答案为：13.诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的喜爱．现有甲、乙、丙等6人前往江西上犹“阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅游的概率为________．【答案】【解析】【分析】先计算6人前往3个景点（每个景点至少有1人）的总情况数，再结合丙固定去阳明湖、甲乙不同景点的条件分类计算满足要求的情况数，最终得出概率.【详解】一方面，6人前往3个景点，每个景点至少有1人，可分为三类：①各景点人数分别为1，2，3：先将6人分为三组（1人，2人，3人），再分配到3个景点，方法数为种；②各景点人数均为2：先将6人平均分为三组（2人，2人，2人），再分配到3个景点，方法数为种；③各景点人数分别为1，1，4：先将6人分为三组（1人，1人，4人），再分配到3个景点，方法数为种；所以共有种方法．另一方面：要满足每个景点至少有1人，甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹可分为三类：①甲乙去了上犹和崇义各一人，这里种情况；再对除甲乙丙外的3人使用间接法：除甲乙丙外的3人先不作要求任其随意选择，有种，再减去不合题意的，即大余没有人前往的情况，有种，由分步乘法原理，得第①情形共有种；②甲乙去了上犹和大余各一人，这种情形与①相同，也是38种：③甲乙去了崇义和大余各一人，这里种情况；由于此时每个景点都至少有一人了，所以除甲乙丙外的3人可以随意安排景点，有种，由分步乘法原理，可得第③情形有种；最后由分类加法原理，可得三种情形共有种：综上，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖"旅游的概率为，故答案为：14.若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，则称成一个“等差数列”．已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为__________.【答案】1012【解析】【分析】根据等差数列结合已知条件得出，结合已知集合及新定义得出数列个数.【详解】由三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，知，消去，并整理得，所以（舍去），，于是有.在集合中，三个元素组成的所有数列必为整数数列，所以必为2的倍数，且．故这样的数组共1012组.故答案为：1012.四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.记的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果；（2）根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，即可得结果.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，则，又因为，则，可得，即，所以.【小问2详解】因为的面积为，可得，由余弦定理可得，即，可得，所以的周长为.16.在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：该种血清对预防感冒是否有效？未感冒感冒总计使用血清258242500未使用血清216284500总计4745261000附：，0.100.0100.001k2.7066.63510.828【答案】有99%的把握认为该血清能起到预防感冒的作用【解析】【详解】零假设H0：感冒与是否使用该血清没有关系，因K因当H0成立时，的概率约为0.01，故有99%的把握认为该血清能起到预防感冒的作用．17.如图，在三棱锥中，，M是线段上的点．（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长；（3）若平面，Q为垂足，直线PQ与平面的交点为N，当三棱锥的体积最大时，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取的中点O，连接，利用线线垂直证明平面，再由面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据题设建系，写出相关点的坐标，设，利用线面所成角的向量公式列方程求出的值，即可求得的长；（3）设，由可得M(0,23λ,2−2λ)，由平面可得点Q(0,23λ,0)，利用基本不等式求出三棱锥的体积最大值，可得，设PN→【小问1详解】取的中点O，连接，因为，则，由，可得，则，又因，所以，且，又由，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．【小问2详解】因为平面，，故可以O为坐标原点，所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，所以，因为M为棱PC上的点，设，其中，所以，，且，设平面ABM的法向量为，则AB⋅m=4因为直线与平面所成角的正弦值为，所以|cos化简得，即，解得或（舍去）．所以．【小问3详解】设，由（2）得，其中，可得，即点M(0,2因为平面，则点Q(0,23λ,0)，当且仅当时，即当时，等号成立，故当点M为线段PC的中点时，三棱锥的体积取得最大值，此时，点，由（2）可知，此时，平面的一个法向量为，设，其中，则，因为平面，则，所以，，解得，所以，，所以.即的长为．18.已知（1）设，求的极值．（2）若在上恒成立，求的取值范围．（3）若存在常数，使得对任意，恒成立，则称在上有上界，函数称为有上界函数．如是在上没有上界的函数，是在上没有上界的函数；都是在上有上界的函数．若，则是否在上有上界?若有，求出上界；若没有，给出证明．【答案】（1）极小值，没有极大值（2）（3）没有，证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求得的极值.（2）构造函数，利用导数以及不等式恒成立的知识求得的取值范围.（3）根据（1）的结论，利用放缩法、综合法证得没有上界.【小问1详解】，令，解得.所以在上单调递减；在上，单调递增；所以函数有极小值，没有极大值．【小问2详解】依题意，在上恒成立，设，，当时，单调递增，，不符合题意.当时，，令，解得，即使，在上，单调递增；在上，单调递减，不符合题意；当时，单调递减，，符合题意；综上：.【小问3详解】没有上界，理由如下：由（2）可知，在上恒成立，令，则，所以，将上述式子相加得由于没有上界，故也没有上界.【点睛】本题涵盖了导数应用、单调性分析、不等式恒成立及放缩法等知识点，能够有效考查学生的综合能力.通过不等式在区间上的恒成立条件，构造辅助函数，再利用单调性分析得出适合的取值范围.19.已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点．（i）求证：点轨迹方程为；（ii）为坐标