2025-2026学年河南开封市通许县第一高级中学等校高一下册联考数学试题 含答案

/高一年级数学学科试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.下列物理量中，不是向量的是（）A.力 B.位移C.质量 D.速度【答案】C【解析】【分析】根据向量的定义判断求解.【详解】四个物理量：“质量”、“速度”、“位移”、“力”，“速度”、“位移”、“力”它们既有大小、又有方向为向量，因此其中不能称为向量的是“质量”.2.设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】C【解析】【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可.【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，C选项中，，即和为共线向量，所以它们不能作为基底．其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底．故选：C3.已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，可得，，根据平行四边形的性质，可得，化简即可得答案.【详解】由题意，，因为四边形ABCD为平行四边形，所以，即，整理得.故选：B4.2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（）时间（单位：min）A. B. C.6 D.12【答案】D【解析】【分析】由汽车实际行驶方向应与两岸垂直，结合向量加法的平行四边形法则，即可求解.【详解】设点B是长江对岸一点，与江岸垂直，当汽车实际沿方向行驶时，航程最短.设汽车的速度，水流的速度，实际速度.由图可知，.则航行时间为（min）.5.若向量，记，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据向量数量积的坐标运算公式得，再代入余弦的倍角公式即得.【详解】因为，所以，所以.6.设向量绕点顺时针旋转得到向量，且，则向量（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，若以所在射线为终边的一个角为，则以所在射线为终边的角为.由此可得的坐标，根据列出方程，求得，即可得到的坐标.【详解】设，若以所在射线为终边的一个角为，则以所在射线为终边的角为.因为，所以.又，所以.所以.即，解得.所以.故选：B.7.已知在中，，则的外接圆半径为（）A.2 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理可求出，进而求出，再利用正弦定理即可求得答案.【详解】由于在中，，故，即，故，结合，得，故的外接圆半径为.8.在中，分别为的内角的对边，为边上一点，满足，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知条件求出，由余弦定理求出，再由正弦定理求出，进而求出，在中，由余弦定理即可求出【详解】由已知，，则，因为，所以，又，，代入，解得，因为为边上一点，满足，所以，由正弦定理，即，解得，所以，设，则在中，由余弦定理，得，解得，即.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下面给出的关系式中正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【详解】零向量与任意向量的数量积为，故A正确；由平面向量数量积的交换律可知，，故B正确；，故C正确；，故D错误.10.如图，点，分别是长方形的边，上两点且，，，则下面结论正确的是（）A.当时，是钝角三角形B.若，，则的值是C.当时，的面积最小值是D.当时，向量数量积的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求出向量或点的坐标，根据数量积的符号判断A，根据数量积的坐标运算判断B，根据三角形的面积利用配方法判断C，根据向量数量积的坐标运算，配方后判断D.【详解】以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则，当时，，，，，所以，所以为钝角，故A正确；当，时，，，则，故B错误；当时，，，即，，所以，当时，有最小值，故C正确；当时，，，，则，故当时，的最小值是，故D正确.故选：ACD11.在中，角的对边分别是，若，则下列结论正确的是（）A.B.C.若，角的平分线交于点，则D.若为锐角三角形，则的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】对于A；由已知条件结合正弦定理可推出，利用三角恒等变换公式化简可得结论；对于B，利用余弦定理进行判断即可；对于C，由条件可推出，再利用等面积法即可求得；对于D，由，结合正弦定理可得，结合可推出，进而根据为锐角三角形，确定角B的范围，即可求出的取值范围.【详解】由于，利用正弦定理得，而，又，故，结合,则可知，可得或，即或（舍），选项A正确；由余弦定理知，代入得，即，选项B正确；若，由得，从而，由，得，从而，即，解得，选项C错误；对于D，由上面分析知，因为，两边同除以，所以，因为为锐角三角形，故，所以，设，则，即可设为，该函数在上单调递增，则，即，选项D正确．故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.____.【答案】【解析】【分析】根据向量运算法则，化简整理即可.【详解】由题意.13.在中，点满足，若对任意，均有，则的最小值是_____.【答案】##0.8【解析】【分析】根据给定条件，结合向量的几何意义可得，确定点的轨迹，进而求出的最小值.【详解】在直线上取点，令，不等式，依题意，是点与直线上任意点距离的最小值，则，点在以为直径的圆上（除点外），当与圆相切时，最大，最小，令，则，圆半径，，所以的最小值为.故答案为：14.已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可.【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设点，则，，，所以，则，当且仅当，时，取最小值．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，满足，，且与的夹角为.（1）分别求与的值；（2）若，求的值.【答案】（1）1，（2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积定义和向量模的公式求解即可.（2）根据向量垂直，可得到其数量积为0，从而可列出等式求出的值.【小问1详解】..【小问2详解】因为，所以，解得.16.如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为，（1）若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值）（2）求证;山高【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意利用坡面的坡比的定义计算可得；（2）求得的的长度和正弦定理可求得山的高度.【小问1详解】坡面的坡比为【小问2详解】在中,在中,根据正弦定理所以山高为17.在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，．（1）试用，表示向量；（2）在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）设，利用，M，B三点共线和、M、A三点共线，分别用基底、表示向量得到关于的方程组即可求解；（2）由、M、E三点共线用基底、表示向量，结合即可分析计算求解.【小问1详解】设，、M、B三点共线，∴存在非零实数k使得，，，解得①，又、M、A三点共线，∴存在非零实数t使得．．又，，解得②．由①②解得，，；【小问2详解】由（1）知，、M、E三点共线，∴存在非零实数h使得，，所以消去h得，．18.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求；（2）若，的面积为，求：①边长的值；②的值．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，得到，即可求解；（2）①由正弦定理得，利用三角形的面积公式，列出方程，求得的值，结合余弦定理，即可求解；②利用正弦定理，求得的值，结合三角函数的基本关系式和倍角公式，分别求得的值，结合两角差的余弦公式，即可求解.【小问1详解】解：因为，由正弦定理，可得，又因为，可得，所以，即因为，可得，所以，即，又因为，所以.【小问2详解】解：①因为，由正弦定理得，所以的面积为又因为的面积为，可得，解得，则，由余弦定理得，所以；②由正弦定理，可得，因为，可得为锐角，所以，则，，又因为，所以.19.布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题：（1）若，求的大小及的值；（2）已知的条件下，解下列两个问题：①若，求的值；②若，求S.【答案】（1）（2）①12；②【解析】【分析】（1）根据角的关系求得，在、中，分别由正弦定理可得，，由商数关系求的值；（2