2025-2026学年河南唐河县第一高级中学高一下册第二次月考数学试题 含答案

/2026年春期高一第二次月考数学试题一、选择题（共6小题）1.计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值求得答案.【详解】.故选：A2.向量，化简后等于（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的加减运算法则计算即可求得结果.【详解】，故选：C3.在中，若，则的形状是（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形【答案】C【解析】【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案.【详解】解：因为在中，满足，由正弦定理知，代入上式得，又由余弦定理可得，因为是三角形的内角，所以，所以为钝角三角形，故选：C.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知向量，满足，，且，则（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】将向量的模的运算转化为数量积运算即可求解.【详解】由，，，两边平方可得，即，解得，则.故选：A.5.在三角形ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一个解的是A.b=7，c=3，C=300 B.b=5，c=，B=450C.a=6，b=，B=600 D.a=20，b=30，A=300【答案】C【解析】【详解】三角形ABC中已知（为锐角），若或则三角形有一个解.A选项已知，且；B选项已知，且；C选项已知，所以有一个解；D选项已知，且；故选C.【点睛】已知两边和其中一边的对角，解三角形，要注意对解的个数的讨论．可按如下步骤和方法进行：

例如已知，（一）若为钝角或直角，当时，则无解；当时，有只有一个解；

（二）若为锐角，结合下图理解.①若或，则只有一个解.②若，则有两解.③若，则无解.无解一解两解一解也可根据的关系及与的大小关系来确定.6.以下变换中，能将函数的图象变为函数的图象的是（）A.每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度B.每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的D.向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍【答案】B【解析】【分析】由三角函数伸缩变换，平移变换知识结合诱导公式，可判断选项正误.【详解】对于A，变换后的函数为，故A错误；对于B，变换后的函数为，故B正确；对于C，变换后的函数为，故C错误；对于D，变换后的函数为，故D错误.故选：B7.若函数（，）的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题可得函数的最小正周期为，再结合【详解】由函数（，）的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，则得函数的最小正周期为，所以，由向右平移个单位长度后得为奇函数，则，，又，所以当时，有最小值，故B正确.故选：B.8.已知，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】作出图形如图所示，扇形，设半径为1，，设，，由图可知，又，所以，所以，由，，得．，，故．故选：A.二、多选题（共2小题）9.下列说法中错误的为（）A.终边经过点的角的集合是B.若一扇形的圆心角为4，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为C.若与平行，则在方向上的投影数量为D.若非零，满足，则与的夹角是【答案】ACD【解析】【分析】选项A：分和两种情况，根据任意角三角函数的定义集合求角；选项B：根据弦心距及扇形面积公式求解即可；选项C：分与同向或反向讨论即可；选项D：根据向量数量积的运算率及向量夹角的坐标运算计算即可.【详解】选项A：当时，终边经过点的角的集合是；当时，终边经过点的角的集合是αα=5选项B：由题意知，扇形半径，所以扇形面积为S=选项C：若与同向，在方向上的投影数量为；若与反向，在方向上的投影数量为−a，C错误.选项D：已知，设，则，即a−b2=1所以，所以.设与的夹角为，则cosθ又，所以，D错误.10.在中，，，与交于点，则（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【详解】因为，，所以，如图，对于A，，正确；设，则，设，又，所以，又，所以，解得，可知，，，故BC正确，D错误.11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有（）A.h关于t的函数解析式为B.点P第一次到达最高点需用时5秒C.P再次接触水面需用时10秒D.当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米【答案】ABC【解析】【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．【详解】函数中，所以，时，，解得，因为，所以，所以，A正确；令得，则，解得，所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确；由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确；当时，，点P距水面的高度为2米，D错误．故选：ABC三、填空题（共5小题）12.设，是平面内不共线的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数______.【答案】##【解析】【分析】根据平面向量共线定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.【详解】，，由，，三点共线，则有，解得，故答案为：.13.在△ABC中，，则角B的大小是________；若，则△ABC的面积的最大值是________.【答案】①.##②.【解析】【分析】根据条件，结合余弦定理得，再由基本不等式变形求出的最大值，最后利用三角形面积公式表示出，代入的最大值即可求三角形的面积最大值.【详解】因为，由余弦定理得，所以.因为，所以，当且仅当时取等号，所以，面积，所以三角形面积的最大值为.故答案为：；14.如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为_______.【答案】-3【解析】【分析】利用向量线性运算及平面向量基本定理，用表示与，然后利用数量积的运算律求解即可【详解】因为，所以，所以，即，故答案为：-3四、解答题（共5小题）15.已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点．（1）求的值．（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据任意角的三角函数定义求出，，根据诱导公式进行化简，代入求值即可.（2）根据诱导公式求解即可.【小问1详解】角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点，则，所以，．所以．【小问2详解】由于，，所以．16.已知向量，．（1）若，求x；（2）若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直的充要条件及向量坐标的数量积运算即可得解；（2）先根据投影向量的计算公式求出x，然后根据向量夹角为锐角即可得出，且与不共线，然后列出关于λ的不等式组，解出范围即可．【小问1详解】∵，，，∴，解得；【小问2详解】∵在方向上的投影向量为，∴，解得，∴，，，∵与的夹角为锐角，∴，且与不共线，∴，解得且，∴λ的取值范围为：．17.某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；（2）若在上有两根，求的取值范围.【答案】（1）表格见解析，（2）【解析】【分析】（1）根据表格数据可得A和周期，然后可得，带点可得；（2）令，将问题转化为在上有两个根，然后根据正弦函数的性质求解可得.【小问1详解】补充表格:由最大值为最小值为可知又，故再根据五点作图法，可得，得故

【小问2详解】令，则所以=有两个根，转化为在上有两个根.即在上有两个根.由在的图像和性质可得：,所以故实数的取值范围为18.在中，角，，所对的边分别为，，，，.（1）求外接圆的面积；（2）若，，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用诱导公式将原式化简，再运用正弦定理进行边角互化，得出角的大小，然后运用正弦定理求解外接圆的半径，从而得出外接圆的面积.（2）由及可解出，的大小，得出角的大小，进而得出角，然后在中，由余弦定理可解得的值，得出的周长.【详解】（1）∵，∴，由正弦定理得：，因为，所以，得，又，故，∴外接圆的半径，∴外接圆的面积为.（2）由及得：，，∵，则为锐角，∴，故.如图所示，在中，由余弦定理得，，解得，则的周长为.【点睛】解三角形时，若题目所给式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或者边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则两个定理都有可能用到.19.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）求关于的方程在上所有的实数根之和；（3）当时，关于的方程恰有3个不同实根，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由图可得最大值及其周期，即可得、，再利用点，代入计算即可得，即可得函数的解析式；（2）借助整体思想结合正弦函数图象可得有四个不同的根，再利用正弦函数对称性计算即可得；（3）借助整