2025-2026学年湖南怀化市溆浦县第三中学高一下册测试（二）数学试题 含答案

/2026年上学期高一测试试卷（二）数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.在中，角所对的边分别为.若，则（）A.2 B.4 C.16 D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用余弦定理，即可求解.【详解】在中，，由余弦定理得，解得.故选：B.2.已知复数的虚部是（）A.0 B.1 C. D.6【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法化简，即可由虚部定义得解.【详解】，故虚部为1，故选：B3.已知向量，若，则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.【详解】因为，所以，所以即，故，故选：D.4.在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记m，＝n，则＝（）A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n【答案】B【解析】【详解】解析：因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2（－），所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B.【考查意图】向量线性运算及共线定理.5.已知向量，若，则（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】由向量平行的坐标表示即可求解.【详解】由条件可得因为，所以所以故选：B6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（）等级风速大小m/s名称21.1~3.3轻风33.4~5.4微风45.5~7.9和风58.0~10.1劲风A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风【答案】A【解析】【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论.【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，∴，船行风速：，∴，，∴由表得，真风风速为轻风，故选：A．7.设的内角所对的边分别为,若,则的形状为A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形【答案】B【解析】【分析】依题意，利用正弦定理可知，易知，从而可得答案.【详解】中，因为，所以由正弦定理得：，即，又，所以，所以，所以的形状为直角三角形，故选B.【点睛】该题考查的是有关三角形形状的判断问题，涉及到的知识点有正弦定理，正弦函数和角公式，诱导公式，属于简单题目.8.一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（）A.南偏东方向 B.南偏西方向C.北偏西方向 D.北偏西方向【答案】D【解析】【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求.【详解】如图，由题意，在中，，，，由正弦定理得，所以，在中，因为，，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，所以，因为，故为锐角，故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向.故选：D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，，则下列结论正确的是（）A.若，则的实部为25 B.若，则的虚部为C.若为实数，则 D.若为纯虚数，则【答案】AC【解析】【分析】应用复数定义分别判断实部及虚部判断A，B，再根据复数类型计算求参判断C，D.【详解】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误.若为实数，则，得，C正确.若为纯虚数，则得，D错误.故选：AC.10.已知向量，，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据已知条件求出的坐标，然后逐个分析判断即可.【详解】因为，，所以，对于A，因为，所以与不垂直，所以A错误，对于B，因为，，所以，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，所以，所以C错误，对于D，因为，所以，所以，所以D正确.故选：BD11.已知点是平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，若点满足，，垂足为，则（）A. B.是锐角C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据平面向量模的坐标表示公式、平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量夹角坐标表示公式、平面向量数量积的坐标表示公式、平面向量垂直的坐标表示公式逐一判断即可.【详解】设，由AC=−12A：由AB=B：由OA=3,2,OB=C：因为OC=5,3所以，因此本选项结论不正确；D：由BD.直线的方程为，因为点在直线上，所以，解得，即，所以本选项结论正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知，则＝______.【答案】##【解析】【分析】由复数的乘除法运算化简，即可求出，即可得出答案.【详解】因为，所以，所以.故答案为：13.如图，在四边形中，，，，，，则的面积______．【答案】##【解析】【分析】由求出，然后在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求出，然后利用三角形的面积公式可求出其面积.【详解】因为，，所以，在中，由正弦定理得，，所以，得，在中，由余弦定理得，因为，所以，所以的面积为，故答案为：14.如图所示，在平面四边形中，，，为正三角形，则面积的最大值为__________．【答案】##.【解析】【分析】在中设，运用余弦定理，表示出，利用正弦定理可得，进而用三角形面积公式表示出，利用三角函数的有界性可得结果.【详解】在中，，为正三角形，由余弦定理可知，由正弦定理得：，，，，为锐角，∴，，∴当时，，故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）已知复数满足，求与；（2）计算：．【答案】（1）,;（2）.【解析】【详解】解:（1）设,那么由可得，，即，所以，解得，故,;（2）1+==i16.在中，已知内角所对的边分别为，且满足.（1）求角；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，然后结合三角函数的公式求解即可；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理求解即可.【小问1详解】由及正弦定理，可得，结合，由，得，化简可得.，，即.又.【小问2详解】由的面积为，结合（1）可得，在中，由余弦定理可得，，或（舍去），的周长为.17.已知在中，．（1）求；（2）设，求边上的高．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.【小问1详解】，，即，又，，，，即，所以，.【小问2详解】由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.18.记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，因为，所以，即．又因为，所以．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为，如图，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因为，所以，解得或，当时，（舍去）．当时，．所以．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知，则，即，而，即，故有，从而．由，即，即，即，故，即，又，所以，则．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化简得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作，交于点E，则．由，得．在中，．在中．因为，所以，整理得．又因为，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为，所以．以向量为基底，有．所以，即，又因为，所以．③由余弦定理得，所以④联立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则．由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设，则．⑤由知，，即．⑥联立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.19.已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求函数的单调递增区间；（2）若锐角的内角的对边分别为，且，，（ⅰ）求的值．（ⅱ）求面积的取值范围．【答案】（1）．（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合降幂公式和辅助角公式化简函数解析