2025-2026学年江苏南通市天星湖中学高二下册4月月考数学试题 含答案

/2026年4月天星湖月考卷一、单选题1.已知复数满足，则复数的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，再得共轭复数，即可得其虚部.【详解】复数满足，则，所以，故复数的共轭复数的虚部是.故选：D.2.已知事件与独立，当时，若，则（）A.0.34 B.0.68 C.0.32 D.1【答案】C【解析】【分析】由条件概率公式、相互独立事件概率乘法公式与对立事件的概率关系可得.【详解】因为事件与独立，且，所以，故，所以.故选：C.3.在的展开式中项的系数为（）A.360 B.540 C.720 D.1080【答案】D【解析】【分析】根据给定多项式，结合指定项及组合数求对应系数即可.【详解】相当于6个因式相乘，其中一个因式取，有种取法，余下5个因式中有3个取，有种取法，最后2个因式中全部取，有种取法，故展开式中的系数为．故选：D4.若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两点分布求，再根据期望和方差公式以及性质，即可求解.【详解】由题意可知，，所以，，，.5.若的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为，则除于13的余数是（）A.0 B.3 C.10 D.11【答案】C【解析】【分析】根据二项式系数之和求出的值，再根据系数和求出的值，最后计算除以的余数.【详解】由二项式系数和，得代入，得，解得：计算除以：先把写成，则根据二项式定理得：除了这项外，其余项都含有因数能被整除所以除以余数和除以余数相同除以商余，所以除以余数是故选：C.6.“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记在的人数为，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】应用正态分布的对称性有，进而有，则有，应用二项分布求概率、期望、方差判断各项正误.【详解】因为，所以，所以，故A错误；在的概率为，则，所以，故B正确；由，所以，故C错误；由，所以，故D错误．故选：B7.袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】记骰子掷出的点数为i，，事件B:取出的球全是白球，分别求出利用条件概率公式即可求解.【详解】记骰子掷出的点数为i，，事件B:取出的球全是白球，则,，所以所以若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：.故选：C.8.已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据古典概型概率公式，结合组合数公式，即可判断AB，，，再代入概率公式，判断C，代入超几何分布期望公式，判断D.【详解】由题意可得，故A正确；，，故B正确；，，故，故C错误；因为X，Y均符合超几何分布，所以，，故D正确.二、多选题9.下列说法正确的是（）A.若随机变量的概率分布列为，则B.若随机变量，若，则C.若随机变量，则D.在含有4件次品的10件产品中，任取3件，表示取到的次品数，则【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据分布列的概率和为1可求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可求解；对于C，根据二项分布的方差公式即可求解；对于D，根据超几何分布的概率公式即可求解.【详解】对于：，所以，所以，故A正确；对于，可得，故B不正确；对于，因为，所以，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD.10.若，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】对于A，令，即可判断，对于BC，由，由系数计算公式和令进行判断，对于D，分别令和，得到和，进而可判断.【详解】对于A，取，得，A错；对于B,展开式中项的系数为，B对；对于C，令，可得二项式，展开式中各项系数均为正，即，又，C错；对于D，取，得，取，得，联立解得，因此，D对.故选：BD11.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（）A.第行的第个位置的数是B.若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则C.70在杨辉三角中共出现了3次D.记第行的第个数为，则【答案】BCD【解析】【分析】A选项，由杨辉三角形的特征，可直接判断A错；B选项，由题意易知，根据累加法即可判断B正确；C选项，根据，可判断C正确；D选项，逆用二项展开式，得到，即可判断D正确.【详解】A选项，第行的第个位置的数是，故A错；B选项，由题意可得，，，则,，,，，以上各式相加得：，因此，故B正确；C选项，由于，不妨设，令，当时，，所以；当时，，无正整数解；当时，，当时，；当时，；而递增，从而，无正整数解；当时，，当时，；而是第九行最中间的数，杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于，所以当时，，70在杨辉三角中共出现了3次，故C正确；D选项，第行的第个数为，则，因为，所以.故D正确；故选：BCD三、填空题12.如图，有两堆同样的盒子，一堆3个，一堆7个，现需要将这些盒子搬走，每次只能从其中一堆搬走最上面的一个盒子，共有_________种不同的搬法．（用数字作答）【答案】120【解析】【分析】根据题意10次搬盒子任选其中3次搬第一堆的3个盒子，应用组合数求不同的搬法数.【详解】由题设，共需搬10次，选择其中3次搬走第一堆的3个盒子，故有，故答案为：12013.已知的展开式中的系数为17．则实数的值为______【答案】【解析】【详解】由，由于的展开式通项为，因为的展开式中的系数为17，所以，解得.14.若随机变量，则______．【答案】【解析】【分析】根据正态曲线的性质求解即可.【详解】由，，得；所以，所以，又，所以，解得.故答案为：四、解答题15.已知的展开式中，第五项的二项式系数是第三项的系数的4倍，求：（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）写出二项式展开式的通项公式即可解；（2）由可得，3，6，从而可解．【小问1详解】已知的展开式的通项公式为，因为第五项的，所以第五项的二项式系数：，因为第三项的，所以第三项的系数为：，由题意可得，得，由二项式系数的性质可知，展开式中第4项的二项式系数最大，即，【小问2详解】由（1）知，，又，，由，可得故展开式中的有理项为：．16.为预防新冠肺炎，需做好个人的防护与自我检测，倡导个人每天做好体温检测工作．我国某体温仪生产厂商在加大生产的过程中，严格管控质量，随机做好体温仪质量抽检工作．该厂质检人员从某天所生产的体温仪中随机抽取了100个，依据质检指标值分成五组，并制成如下的频率分布直方图．（1）规定：体温仪的质量指标值越高，质量越好，其中质量指标值低于40的为一级品，质量指标值不低于40的为特等品．现利用分层随机抽样的方法从样本体温仪中随机抽取12个体温仪，再从抽取的12个体温仪中随机抽取3个，记其中特等品的个数为X，求X的分布列及期望．（2）为节省检测成本，现采用混装的方式将所有的体温仪按200个一箱包装．已知一个一级体温仪的利润是20元，一个特等体温仪的利润是15元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱体温仪的利润．【答案】（1）分布列见解析，；（2）元.【解析】【分析】（1）求出抽取的12个体温仪中特等品的个数，再求出的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答；（2）设一箱体温仪中一级体温仪有个，每箱体温仪的利润为元，利用二项分布的期望公式，期望的性质计算作答.【小问1详解】由频率分布直方图知，质量指标值低于40的频率为0.75，质量指标值不低于40的频率为0.25，则利用分层随机抽样抽取12个体温仪，其中一级、特级品的个数分别为9，3，X的可能取值为0，1，2，3，，，，，所以X的分布列为：X0123P期望．【小问2详解】设每箱产品中一级体温仪有个，每箱体温仪的利润为元，则每箱特等体温仪有个，因此，由（1）知，任抽一个体温仪，为一级体温仪的概率是，有，则，所以（元），即每箱体温仪的利润大约为3750元．17.某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为：乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为.（1）混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少？（2）从混合放在一起的零件中随机抽取4个，用频率估计概率，记这4个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）设甲工厂有件，乙工厂有件，得到，，根据题意，列出方程，求得，即可求解；（2）由（1）知所以，且的可能取值为，取得相应的概率，列出分布列，利用二项分布的期望公式，即可求解.【小问1详解】解：设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件，事件“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，则，，，解得，即.【小问2详解】解：由（1）知所以，随机变量的可能取值为，且，可得，，，，，所以随机变量的分布列为：01234所以期望为.18.一个箱子中装有大小质地完全相同的5个小球，其中黑球3个，红球2个.每次从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面向上，小球留在手上；如果硬币出现反面向上，小球放回箱子.重复以上操作，当箱中无小球时停止试验.试验刚开始时手上没有小球.（1）求经过两次操作后，手上恰好有1个黑球1个红球的概率；（2）求经过两次操作后，手上恰好有1个红球的概率；（3）设第次操作后停止试验的概率为，求当取最大值时，的取值.【答案】（1）（2）（3）8或9【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式列式计算.（2）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式求解.（3）依题意，列出的解析式，通过作商判断概率的增减性，即可求出的最大值以及此时的值.【小问1详解】“经过两次操作后，手上有1个黑球和1个红球”即第一次和第二次操作各取到了1个黑球和1个红球，且这两次取出的球都未放回箱子，也即两次抛掷硬币均正面向上，所以所求概率为.【小问2详解】“经过两次操作后，手上恰好有1个红球”，即“两次操作中一次取到红球并留下，另一次无论取到何种颜色均放回”，因此两次抛掷硬币，一次正面向上，一次反面向上，所以所求概率为.【小问3详解】依题意，，由，当时，，当时，，当时，，所以当或9时，取最大值.19.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布.考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名.（1）求最低录取分数（结果保留为整数）；（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由.附：①当时，令，则.②当时，，，，【答案】（1）266