2025-2026学年江苏如皋市长江高级中学度高一下册第一次月考数学试题 含答案

/江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一下学期第一次月考一、单选题1.若复数满足，则复数虚部为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由题意可得，所以复数虚部为.2.下列说法中，正确的是（）A.有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形【答案】A【解析】【分析】根据棱锥、棱台、棱柱的定义和性质逐一对选项ABC进行判断，通过举反例对选项D进行判断.【详解】对于A选项，由棱锥的定义判断A正确；对于B选项，只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，所以B错误；对于C选项，棱柱的底面可为任意平面多边形，所以C错误；对于D选项，斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，所以D错误.故选：A.3.在中，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理即可得解.【详解】因为，即，所以，由余弦定理可得，又，所以.故选：B．4.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（

）A.2 B. C.4 D.6【答案】D【解析】【详解】将直观图还原为原图，如图，

在直观图中，，则，故在原图中，，，所以，而，所以原四边形ABCD中最长边为6.5.若，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式求出的值，再利用诱导公式求出的值．【详解】解：，，．故选：．【点睛】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，属于基础题．6.已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意得出；再利用正弦定理、三角恒等变换和同角三角函数基本关系对三角形面积公式进行化简变形得出；最后结合即可得出结果.【详解】因为在中，，，所以.又因为为锐角三角形，所以，解得.又因为，所以由正弦定理可得：，由三角形面积公式可得：.又因为，所以，则.故，即.所以面积的取值范围是.故选：B.7.已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A.2 B.48 C.50 D.96【答案】C【解析】【分析】由题可求圆锥底面半径和母线长，先求当截面过中心轴时，顶角为钝角，然后得出截面面积的最大值即可.【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则，当截面过中心轴时，所以，所以，由三角形面积公式得当时，截面面积最大，最大为.故选：C.8.已知，且，则有（）A.最大值 B.最小值C.取不到最大值和最小值 D.以上均不正确【答案】D【解析】【分析】注意到，将等式化成，展开整理得到，利用角的范围，将其简化为，代入中整理可得，利用基本不等式即可求得最大值.【详解】由可得：，展开得：，即（*），因且，故，由（*）可得：.由，因，则，由,可得：，当且仅当时，即时，时，等号成立，故时，有最大值为.故选：D.二、多选题9.下列等式计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【详解】对A：，故A正确；对B：，故B错误；对C：，故C错误；对D：，故D正确.10.已知向量，则（

）A.若，则 B.若，则C.的最大值为5 D.若，则【答案】AD【解析】【分析】根据向量共线的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合三角函数的性质即可判断C；根据，求出的关系，进而可判断D.【详解】因为，，所以，，对于A，若，则，所以，故A正确；对于B，若，则，所以，又，解得或，故B错误；对于C，，其中，当时，取得最大值，故C错误；对于D，若，则，即，所以，所以，故D正确.故选：AD.11.对于有如下命题，其中正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若，则的面积为C.在锐角中，不等式恒成立D.若且有两解，则的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断AB，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D.【详解】选项A：中，若，即，所以由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，为钝角三角形，A说法正确；选项B：中，若，则由正弦定理得，解得，所以或，所以或，的面积或，B说法错误；选项C：因为是锐角三角形，所以，所以，又，所以，则，又因为在单调递增，所以，C说法正确；选项D：如图所示，若有两解，则，解得，D说法正确；故选：ACD三、填空题12.若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______.【答案】1+i【解析】【分析】，代入条件求解即可.【详解】由已知.故答案为：13.计算_____.【答案】1【解析】【分析】用诱导公式化“大角”为“小角”（锐角），然后切化弦，通分后逆用两角差的正弦公式，再结合二倍角公式和诱导公式求解．【详解】．14.如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过.欲测量两棵树和两棵树之间的距离，现可测得两点间的距离为，.则两棵树和两棵树之间的距离分别为__________､__________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理求解即可.【详解】在中，，根据正弦定理，代入，，，得，解得.在中，，，，所以，且，根据余弦定理，在中，，代入得，因此.故答案为：.四、解答题15.（1）已知化简求值：；（2）已知且求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式，将所求进行化简，再分子分母同时除以，计算求值，即可得答案.（2）根据条件，求出的范围，根据同角三角函数的关系，可得，的值，根据两角差的余弦公式，化简计算，即可得答案.【详解】（1）由诱导公式得.（2）因为，所以，因为，，所以，，则.16.已知.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据同角关系即可求解，（2）根据同角关系以及正弦的差角公式即可求解.【小问1详解】由于故因此【小问2详解】由于则，结合，故，故，由于则，故，17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数，（1）求角A的大小；（2）在中，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理和面积公式即可得到角的值.（2）先利用数量积公式得到的解析式，进而得到边的值.利用正弦定理将边换成角，然后利用三角函数知识求解的取值范围.【小问1详解】由已知，可以得到再利用面积公式可以得到，由余弦定理知，所以有即.因为，所以.【小问2详解】由数量积公式可知由二倍角公式和辅助角公式可得.所以.由正弦定理可得，所以,，因为,所以，所以，因为，所以.所以，所以的取值范围为.18.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若为中点，，的面积为，求的长度；（3）若为锐角三角形，，求的周长的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先由正弦定理边化角，再由两角和与差的正弦公式即可分析求解；（2）先由和余弦定理求出、，再由两边平方即可计算求解；（3）先由正弦定理边化角，再结合三角恒等变换公式得到，再由三角函数性质即可求解.【小问1详解】因为，所以由正弦定理可得，因为，所以，因为，则，故，即，所以，而，则，故，解得；【小问2详解】由，可得，又由余弦定理可得，即，则，因为为边的中点，所以，即，所以，故；【小问3详解】根据正弦定理得，所以，，可得，由为锐角三角形可得，解得，所以，可得，，所以的周长的取值范围是．19.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（即的三条边，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知米，米，记．（1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数；（2）若，求此时管道的长度L；（3）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．【答案】（1），定义域为.（2）（3）当或时所铺设的管道最长，为米.【解析】【分析