2025-2026学年江苏泰州市第三高级中学下册高二第一次教学质量检测数学试题 含答案

/2026年春学期高二第一次教学质量检测数学试卷2026.4.8（考试时间：120分钟；总分150分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，结合空间向量垂直的坐标关系求解即可.【详解】因为，直线的方向向量为，平面的法向量为，所以，所以，即，解得2.有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（）A.243 B.125 C.60 D.120【答案】A【解析】【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】每名学生都有种选择方法，所以不同的报名方法的种数为.故选：A3.在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（）A. B. C.10 D.13【答案】B【解析】【分析】根据三点共线，可得空间向量共线，即存在实数，使得，结合向量的坐标运算，即可得答案.【详解】因为，且三点共线，所以存在实数，使得，解得．故选：B.4.若，则（）A.1 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】根据排列数公式，将已知条件展开，即可得出答案.【详解】由已知，.因为，.则由可得，，整理可得，解得.故选：D.5.已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.【详解】依题意，.故选：D6.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A.40个 B.48个 C.52个 D.64个【答案】C【解析】【分析】分0，2，4作为尾数三种情况讨论，结合排列知识可得答案.【详解】三位数为偶数，则尾数只能为0，2，4若偶数尾数为0，则百位，十位的数字排列情况数为；若尾数为2，百位的情况数为4种，十位的情况数为4种，则共有16种；若尾数为4，百位的情况数为4，十位的情况数为4，共有16种.则满足题意的偶数共有：种.故选：C7.在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，三角形重心为G，则点P到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到直线的距离即可得解.【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，则，，，则，，，故在的投影为，点到线的距离为.故选：D.8.如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，将几何问题转化为关于二面角的函数问题，再求解三角函数的最值即可.【详解】取的中点记为，连接，，.，，则二面角的平面角为.记二面角的大小为，则.如图所示，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系.，.，，.直线和所成角为，，.当，即，有最小值，最小值为.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若空间向量，，则在上的投影向量为B.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面C.若空间向量，满足，则与夹角为锐角D.若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则【答案】ABD【解析】【分析】A投影向量定义求在上的投影向量；B由空间向量共面的推论判断；C由，同向共线即可判断；D由即可判断.【详解】A：在上的投影向量为，对；B：在中，故P，A，B，C四点共面，对；C：当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，错；D：由，即，故，对.故选：ABD10.用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数和五位数，则（）A.可组成360个四位数B.可组成216个是5的倍数的五位数C.可组成270个比1325大的四位数D.若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数为2301【答案】BCD【解析】【分析】对是否包含0进行分类讨论即可求解A，B选项；而对于C，D选项，我们需要对四位数的开头若干位进行分类讨论，从而得到比某个特定数大或比某个特定数小的选取方式个数.【详解】当组成四位数时，我们要做的是从这6个数中取4个.选取以后，不包含0的取法有种，此时有种排列方式；包含0的取法有种，此时要保证首位不为0，故只有种排列方式.所以总共能组成的四位数有个，A错误；当组成5的倍数的五位数时，我们需要组成末位是0或5的五位数.如果末位数是0，则剩下四位可以任意从1，2，3，4，5中选择并任意排列，此时有个；如果末位数是5，则剩下四位可以任意从0，1，2，3，4中选择，但排列时0不能排在首位.而不包含0和包含0的选择方式各有种和种，故此时有个.所以总共能组成5的倍数的五位数有个，B正确；当组成比1325大的四位数时，以2，3，4，5开头的有个，以14，15开头的有个，以134，135开头的有个，所以总共能组成比1325大的四位数有个，C正确；当组成比2301小的四位数时，以1开头的有个，以20，21开头的有个，所以总共能组成比2301小的四位数有个，从而2301是从小到大排列的第85个数，D正确.故选：BCD.11.设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：成立．我们把叫做基底，把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．已知三棱锥．以为坐标原点，以为轴正方向，以为y轴正方向，以为轴正方向，以同方向上的单位向量为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是（）A. B.的重心坐标为C.若，则 D.异面直线AP与BC所成角的余弦值为【答案】AB【解析】【分析】根据新定义判断A，由新定义得出三点坐标，再由重心坐标公式判断B，根据向量的数量积是否等于0判断C，由向量的夹角公式判断D.【详解】因为，所以，故A正确；因为，，所以,所以，即，故B正确；因为，，所以，所以错误，故C错误；因为，，所以，故面直线AP与BC所成角的余弦值为，故D错误.故选：AB三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知长方体的底面是边长为2的正方形，是的中点，则___________.【答案】4【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，结合数量积的运算律即可求解.【详解】故,故答案为：413.满足方程的的值为______【答案】或【解析】【分析】根据组合数相等的条件列方程求解即可.【详解】由可得，或，化简得或x2+4x−21=0解得：或；或，因为x2−x解不等式组得1≤x≤215，所以14.即将暑假，小明一家5人计划开车回趟老家，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．家人中只有小明和哥哥不会开车，且小明未成年只能坐在后排，则一共有_____种不同的乘坐方式．【答案】54【解析】【分析】考虑利用分布乘法计数原理的应用，结合“特殊元素（特殊位置）优先法”解决问题.【详解】第一步：考虑小明只能坐在后排，所以小明的坐法有：种；第二步：考虑驾驶座的坐法，只能从3人中选1人，有：种；第三步：其他3人，还有3个位置，坐法有：种.根据分步乘法计数原理，一共有：种不同的乘坐方式.故答案为：54四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知向量，，（1）求的值；（2）求；（3）求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据空间向量的减法运算法则和数量积运算公式直接计算；（2）根据空间向量夹角公式直接计算即可；（3）根据条件写出模的表达式，再直接求最小值即可.【小问1详解】因为，，所以，又因为，所以.【小问2详解】因为，，所以.【小问3详解】因为，，所以，所以，当时，取得最小值，则最小值为.16.3名女生和5名男生排成一排.（最终答案为数字！）（1）如果女生全排在一起，有多少种不同排法？（2）如果女生都不相邻，有多少种排法？（3）这8名学生中有甲、乙两人，若将他们排成一排，其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据相邻问题捆绑法求解即可；（2）根据不相邻问题插空法求解即可；（3）根据特殊元素法或特殊位置法或间接法等求解即可.【小问1详解】解：（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样和5个男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法，而其中每一种排法中，3个女生间又有种排法，因此共有（种）不同排法．【小问2详解】解：（插空法）先排5个男生，有种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有种排法，因此共有（种）不同排法．【小问3详解】解：甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．解法一（特殊元素法）：当甲排在最右端时，该情况同时满足“甲不站左端”和“乙不站右端”两个条件，此时其余7人全排列，有种；当甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有种，而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有种，其余人全排列，共有种．由分类加法计数原理，共有（种）．解法二（特殊位置法）：先计算满足“甲不站左端”的总排法数：左端位置可从除甲外的7人中任选1人，有种，其余7个位置由剩下的7人全排列，有种，故满足甲不站左端的排法有A7但应剔除乙在最右边时的排法种，因此共有（种）．解法三（间接法）：8个人全排，共种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有种，乙在最右边时，有种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有种．因此共有（种）．17.如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，，，，，Q为PD的中点．（1）求证：平面ABQ；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线线垂直，即可证明线面垂直；（2）建立适当空间坐标系，利用法向量，即可求解二面角的正弦值.【小问1详解】平面，平面,,,又，且平面，平面，所以平面，所以，，为的中点，所以，又，且平面，平面，所以平面.【小问2详解】以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则则设平面ABQ的法向量为，则取，则，设平面BQE的一个法向量为，则，取，则所以二面角的正弦值为，故所求二面角的正弦值为.18.如图，圆锥是由直角旋转而成，母线，底面圆的半径为1，D是AB的中点，为底面圆上的一点且，（1）求点到平面ABC的距离；（2）求直线CD与平面AOB所成的角的正弦值；（3）求点O到直线CD的距离，【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标，先求出平面ABC的一个法向量，再根据点到平面距离的向量计算方法即可解答；（2）先求出平面AOB的一个法向量和直线CD的方向向量，再根据直线与平面所成角的向量计算方法即可解答；（3）先求出，，再根据点到直线距离的向量计算方法即可解答.【小问1详解】在所在平面内作，由题意可得面OBC，因为面OBC，面OBC，所以，，以O为原点，以OM、OB、OA所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，由题意可得：，，，，则，，设平面ABC的一个法向量，则，即，令，则所以点到平面ABC的距离为.【小问2详解】设直线CD与平面AOB所成角为，设平面AOB的一个法向量，因为，所以则，即，令，则，又因为，所以.【小问3详解】因为，，所以，，，所以.19.如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为，，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若是该空间几何体中过点，，的截面上的一点，且二面角的余弦值为，求点的轨迹长度.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据中点以及三角形的中位线可得线线平行，进而根据面面平行的判定可证结论；（2）由（1）可知直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，可证明平面，可得为直线与平面所成的角，计算即可；（3）建立空间直角坐标系，根据面面平行的性质可得截面，设，利用坐标法求得平面的一个法向量，根据向量的夹角公式可得，进而计算可求得点轨迹的长度.【小问1详解】因为，，的中点分别为，所以，又平面，平面，所以平面，平面，又，且平面，所以平面平面，【小问2详解】由（1）可知直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，由题