2025-2026学年江苏天一中学高二第二册期中考试数学试题（平行班） 含答案

/江苏省天一中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学学科（平行班）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】【详解】因为，所以2.设随机变量，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过二项分布的期望，方差公式求解.【详解】因为随机变量，所以，解得，所以，所以.3.的展开式中的系数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】的展开式中含的项为，所以所求系数为.4.清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.24种 B.36种 C.64种 D.72种【答案】B【解析】【分析】根据分组分配问题解法，先分组再分配即可求解．【详解】根据题意，将4名青年志愿者分为三组，共有种情况，再分配到3个社区，共有种情况，所以共有种不同情况．5.若函数的导函数为，且，则（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，结合求解即可.【详解】由，得，由，得，解得.6.某知识过关题库中有三种难度的题目数分别为，其中小明完成型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】设小明选道类试题为事件，小明选道类试题为事件，小明选道类试题为事件，设小明答对试题为事件，则，，，，，，故，故C正确.7.若事件满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据对立事件的概率公式，可得，根据概率的加法公式，可得，结合全概率公式及条件概率公式，代入求解，即可得答案.【详解】由，得，又，所以，由，得，所以.8.甲、乙两人分别从10个不同的数中随机选择若干个数（也可以不选），分别构成集合，记中元素的个数为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】应用分步乘法原理得出任一选择方案发生的概率，甲、乙两人的选择中没有相同的数为，可能的选择方案数，进而求出概率即可.【详解】把甲和乙的选择合称为一个选择方案．因为甲、乙两人随机选择其中的若干个数，所以每个数被选中还是没被选中的概率均为．设甲选中的数的个数为，则没被选中的数的个数为，所以甲的这一选择发生的概率．同理，乙的某一种选择发生的概率，所以任一选择方案发生的概率．若甲、乙两人的选择中没有相同的数，设甲、乙两人选择的数的个数一共为，则可能的选择方案数为，当分别取时，根据分类加法计数原理，所有可能的选择方案数，则甲、乙两人的选择中没有相同的数的概率，所以．故选：D．关键点点睛：解题的关键点是，应用二项式定理的逆用即可求和.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【详解】令，得，故A正确；的展开式中，，，，，故B正确；令，得，令，得，，又，，故C错误，D正确．10.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（）A.B.第10行所有数字之和为C.第2026行的第1013个数最大D.第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3【答案】AB【解析】【分析】由组合数的性质计算可判断A；由杨辉三角的每行系数和性质可判断B；由杨辉三角图可知，第行有个数字，每行最中间项的系数最大可判断C；根据可判断D.【详解】对于，故A正确；对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知，第0行所有数字之和为，第1行所有数字之和为，第2行所有数字之和为，第3行所有数字之和为，第4行所有数字之和为，以此类推，第10行所有数字之和为，故B正确；对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；如果是偶数，则第个数字最大，故第2026行的第个数最大，故C错误；对于D，由题意，第15行，第4个数为，倒数第4个数为，即，故D错误.故选：AB.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.曲线在处的切线方程为B.函数的值域是C.若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为D.若过点至少可以作曲线的三条切线，则【答案】BC【解析】【分析】对于A，利用导数的几何意义求出切线方程；对于B，利用导数判断函数的单调性，从而求出的值域；对于C，当在点P处的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，求出点P坐标，用点到直线距离公式求出最值；对于D，设切点坐标，写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，构造函数，，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，，对于A，因为，且，所以曲线在处的切线方程为，故A错误；对于B，当时，，函数的单调递增，当时，，函数的单调递减，所以的最大值为，又当时，；当时，，所以函数的值域是，故B正确；对于C，当曲线在点P处的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，设点Px0,x0因为y=ex+x−1在上单调递增，所以e点P到直线的距离d=0−0+1对于D，设过点的切线切点为，则切线斜率为，故曲线在点处的切线方程为，将点的坐标代入切线方程得a−tet令，，则g't=令，解得或，所以函数的单调递减区间为、，令，解得，所以函数的单调递增区间为，故函数的极小值为，极大值为，又当时，；当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，即若过点至少可以作曲线的三条切线，则，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.5名学生进行拍照，其中A不站在两边，B站在最中间，则不同的排法种数为______.【答案】12【解析】【分析】先安排，，再安排其他3个人，得到答案【详解】A有两个位置可以选择，有一个位置可以选择，除了A和B，其他3个人有种选择，故不同的排法种数为.13.对于数字的结果可借助二项式的展开式进行计算，由此请写出的后三位数为______.【答案】【解析】【分析】将转化为，利用二项式定理展开，分析展开式中会对百位、十位、个位产生影响的项，当时，必为的倍数，则只需要考虑当的情况进行求解.【详解】由题意可知，，当时，必为的倍数，所以只需要考虑当的情况，首先考虑，此时该项为，由于的末位为0，所以的末三位均为0，依然不会对结果的百位、十位、个位产生影响，故只需考虑的情况.当时，，当时，，所以将这两项相加得到，取后三位即.故答案为：.14.若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】首先对不等式进行移项，将含的部分合并得到，观察到两边可以统一为函数，利用其单调性将问题转化为在上恒成立，进而通过求的最大值得到参数范围.【详解】不等式可化为.令，则，所以.设，则，所以单调递增.又，，则等价于，即在上恒成立，也即在上恒成立.令，则，令，则，解得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，要使在上恒成立，只需.所以实数的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数在时取得极大值4.（1）求实数a，b的值；（2）求函数在区间上的最值.【答案】（1）；（2）最大值为4，,最小值为0.【解析】【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.【小问1详解】，由题意得，解得.此时，，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，当时，，所以在单调递增，所以在时取得极大值.所以.【小问2详解】由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.又因为，，，，所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.16.若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为.（1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）（2）.（3）第4项和第5项【解析】【分析】（1）先根据题意求出的值，再求出展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和即可；（2）求出展开式的通项公式求解，令为整数即可；（3）设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果.【小问1详解】由题，可得，即，即，又，所以，令，得，故系数和为，各项的二项式系数和为，故展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为.【小问2详解】因展开式的通项公式为，，当时，为整数，即，，，所以展开式的有理项为.【小问3详解】因为展开式的通项公式为，，设展开式中第项的系数最大，则，即，解得或，故展开式的第4项和第5项的系数最大，又，，所以展开式系数最大的项为第4项和第5项.17.中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程．（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；（2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；（3）计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数．【答案】（1）480（2）360（3）540【解析】【分析】（1）采用插空法，先排其余四科，再插空；（2）特殊的先排，再用分步乘法；（3）先分组后分配.【小问1详解】第一步，先将另外四门课排好，有种情况；第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况；所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种；【小问2详解】第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况；第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况；第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；因此，所有选课种数为.【小问3详解】①将6个科目分成1、1、4三组，然后分给三名教师：种情况；②将6个科目分成1、2、3三组，然后分给三名教师：种情况；③将6个科目分成2、2、2三组，然后分给三名教师：种情况；综上，所有的课程安排共有种情况.18.教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表：

男生（人）女生（人）合计（人）运动达标8040120运动不达标206080合计100100200用频率估计概率．（1）从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率；（2）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望；（3）从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论）【答案】（1）（2）的分布列为数学期望（3）【解析】【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解；（2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望；（3）先确定服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的值.【小问1详解】由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为，设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件，则；【小问2详解】由表可知，从男生中抽取一人“运动达标”的概率为，从女生中抽取一人“运动达标”的概率为，随机变量的可能取值为，，，，所以的分布列为数学期望.【小问3详解】由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为，服从二项分布，则要使得使概率取得最大值需且，则且，解得，为整数，所以，使概率取得最大值时的值为.19.已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若有且仅有1个零点，求的值；（3）若存在，使得对任意恒成立，证明：．【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）（3）证明见解析；【解析】【分析】（1）先求定义域，再对函数求导，利用导数即可得到单调区间；（2）由有且仅有1个零点，分离参数得到有且仅有1个解，令，利用导数得到的单调性和最小值，所以.（3）由对任意恒成立，得到，则只需证明即可，利用导数得到最大值为.因此，再令，得到时取得最大值，因此，即，故得证.【小问1详解】当时，，定义域为，求导得到，令，则当时，所以在内单调递减，且，即在内单调递减，且，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；综上所述，单调递增区间为，单调递减区