2025-2026学年山东济南西城实验中学高二下册4月阶段性学情检测数学试题 含答案

/济南西城实验中学高二阶段性学情检测数学试题2026.04注意事项：1．答卷前，考生务必将二维码贴在答题卡指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若，则（）A.2 B. C.10 D.【答案】A【解析】【分析】对给定等式两边求导，赋值求出即可.【详解】由求导得：，则，解得，即，所以.故选：A2.函数在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式可得结果．【详解】，所以，则切线方程为，整理得．故选：D．3.已知函数在上单调递增，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题设可得在上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数的取值范围．【详解】因为函数，则，因为在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立，即，又，当且仅当，即时等号成立，所以函数在上的最大值为，所以，所以的取值范围为．4.已知奇函数的定义域为，当时，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知不等式构造函数，利用其单调性和奇偶性逐项求解判断.【详解】令，因为当时，，所以，所以在单调递增，定义域为，对，且，所以是偶函数，对于A、B：因为，即，所以，A、B错误；对于C：因为，即，所以，C正确；对于D：因为，即，所以，D错误.故选：C.5.已知函数，则（）A.0 B.64 C.-64 D.128【答案】B【解析】【分析】根据题目条件构造函数，根据函数的求导法则，求出函数导数，求出导数值即可.【详解】令，其中；则，代入，可得.故选：B.6.函数在区间上存在最大值与最小值，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】，令，解得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，因为函数在区间上存在最大值与最小值，所以，所以.7.，，当时，均有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将不等式变形，通过构造函数将条件转化为函数单调性问题，再利用导数研究恒成立，分离参数后根据自变量范围求出参数的最小值。【详解】，，当时，，整理可得，即，即，即，令，，则，，当时，，所以函数在上单调递减，即，，即，由，得，所以，即实数的取值范围是．故选：D．8.设，且，，，则它们的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可通过构造函数，利用函数的单调性比较大小，关键在于分析以及在上的单调性.【详解】首先比较的大小，令，求导得在上恒成立，所以在上单调递增.因为，所以.又因为在上恒成立，且，所以，所以，所以即.由于在上单调递增，则.其次比较的大小，令，求导得，因为，所以，所以且，所以，所以在上单调递减.所以又因为在上恒成立，所以，又因为在上单调递减，所以，即，由单调性可知.综合以及，所以二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，的导函数是，则（）A.B.在点处的切线斜率为C.在上的平均变化率为D.在处的瞬时变化率为【答案】BC【解析】【分析】利用复合函数的导数、导数的几何意义及平均变化率、瞬时变化率等知识逐项判断即可.【详解】对于A：由，故A错误；对于B：因为，故，故B正确；对于C：由在上的平均变化率为，故C正确；对于D：因为，当时，，故D错误.故选：BC.10.已知函数，则（）A.的图象关于点对称B.，使得在上单调递增C.若存在极值，则D.若有三个零点，则【答案】ACD【解析】【分析】求出即可判断A；利用导数分和两种情况讨论求出函数的单调区间及极值，即可判断BCD.【详解】对于A，因为，所以的图象关于点对称，故A正确；对于BCD，，当时，在上恒成立，所以在上单调递增，当时，令，得，当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以不存在，使在上单调递增，，要使有三个零点，必有极小值，解得，故B错误，CD正确.故选：ACD.11.对于函数，下列说法正确的是（）A.在上单调递减，在上单调递增B.C.设有3个不同的零点，则D.若方程有6个不等实数根，则【答案】BCD【解析】【分析】首先进行求导，借助单调性即可判断出AB；选项C，为数形结合思想，转化为，画图判断交点问题；选项D，为复合函数问题，为偶函数，图像关于轴对称，所以要使在时有3个解即可.【详解】解：对于A选项，的定义域为，所以A选项错误；对于B选项，，令可得，即函数在上单调递增，，即，所以B选项正确；对于C选项，令，即，有3个不同的零点等价于函数和函数有3个不同的交点，由图像可知，，解得，所以C选项正确；对于D选项，方程有6个不等实数根等价于函数和函数有6个不同的交点，由图像可知，，所以D选项正确．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的单调递增区间为______．【答案】和【解析】【分析】先求函数的导数，再令，解集即为单调增区间.【详解】由题知，令，即，解得或，所以单调递增区间为或故答案为：和.13.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．【答案】【解析】【详解】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f′（x0）（x−x0）．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．14.已知函数有两个极值点，则a的最小整数值为________．【答案】3【解析】【分析】由题意得出有两个变号零点，把进行同构变形为，利用导数知识得出问题等价于,即在上有两个不等的实根，然后通过确定函数的性质得出范围，从而得出的范围结论．【详解】的定义域是,,由题意在上有两个变号的零点，设，则在上有两个相异实根，等价于方程在上有两个相异实根，方程化为，即，设，则在上恒成立，所以在上是增函数，又，因此，即，所以问题等价于,即在上有两个不等的实根，设，则，当时，，在上递增，当时，，在上递减，所以函数在处取得极大值，作出的大致图象及直线，如图，由图可知当时，直线与函数的图象有两个交点，又，所以所求的范围是，从而的最小整数值为3.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）（3）【解析】【小问1详解】解：根据导数的运算法则，可得；【小问2详解】解：根据导数的运算法则，可得；【小问3详解】解：根据导数的运算法则，可得.16.已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值为，无极大值（2）【解析】【分析】（1）求，根据其正负性得出函数的单调性即可；（2）令，根据得出，接着利用导数得出的单调性，解不等式即可.【小问1详解】当时，，则，由得；得，则在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为，无极大值；【小问2详解】等价于，令，则在上恒成立，则，得，因为，则得；得，则在上单调递减，在上单调递增，则，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以当时，，综上，实数的取值范围为.17.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若在上有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.（2）【解析】【分析】（1）求导后根据的取值分类讨论单调性即可.（2）分离参数，构造新函数，分析其单调性和最值，进而得出结果.【小问1详解】根据题意，的定义域为，对其求导．当时，，在上单调递增；当时，由得，由得，由得，则在上单调递减，在上单调递增．综上，时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增．【小问2详解】因为在上有两个零点，所以，由得，令，对求导，得，又，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则有极大值，也就是最大值为，又当时，；当时，；当时，，所以在上有两个零点时，，所以，即的取值范围是．18.已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）设函数，已知有两个极值点．①求的取值范围；②求证：．【答案】（1）答案见解析（2）①；②证明过程见解析【解析】【分析】（1）求导，根据导数零点大小对分类讨论即可得解；（2）①根据分离参数即可求解；②理由韦达定理将转换为的函数，利用导数研究函数的单调性即可得证.【小问1详解】对函数求导得，，若，则，若，，此时在定义域上单调递增，若，则，当或时，，当时，，此时在上单调递增，在上单调递减，若，则，当或时，，当时，，此时在上单调递增，在上单调递减，综上所述，若，则在定义域上单调递增；若，则在上单调递增，在上单调递减；若，则在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】①，求导得，因为有两个极值点，所以有两个“变号”零点，即有两个零点，令，是一一对应的，从而有两个零点，设，该二次函数开口向下，对称轴是，注意到，所以，即的取值范围是；②由（2）①不妨设，即，等价于，由韦达定理有，，，令，，所以单调递增，从而.19.已知函数，且.（1）求;（2）已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有；（3）证明：对任意的，均有.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）构造函数，利用导数判断函数的单调性，可得，只需满足，计算即可得解；（2）先写出，将不等式变形，通过换元，构造函数，利用导数证其单调性，从而推导不等式成立；（3）由（1）中的结论，取得到，对不等式左边求